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2019 年山东省日照市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题所给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的
1. 2的倒数是（ ）
A. 2 B. C. D. -2
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，由此即可得出答案.
【详解】∵2× =1，
∴2的倒数是 ，
故选B .
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键.
2. 近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做
中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选D．
【点睛】此题主要考查中心对称图形与轴对称图形的识别,解题的关键是熟知其定义.
3. 在实数 ， ， ， 中有理数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可．
【详解】解：在实数 ， ， ， 中 ＝2，有理数有 ， 共2个．
故选B．
【点睛】此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别.
的
4. 下列事件中，是必然事件 是（ ）
A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6
B. 13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
C. 射击运动员射击一次，命中靶心
D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】B
【解析】
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，即发生的概率是1的事件．
【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件；
B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必然事件；
C．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件；
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件；
故选B．
【点睛】此题主要考查事件发生的概率，解题的关键是熟知必然事件的定义.
5. 如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A B. C. D.
.
【答案】C
【解析】
【详解】从上面可得：第一列有两个方形，第二列只有一个方形，只有C符合.
故选C
6. 如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当 时， 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线的性质得到∠2=∠3，再根据直角的定义即可求出∠2的度数.
【详解】∵直尺的对边平行，
∴∠2=∠3，
∵∠3=90°-∠1=35°，
∴∠2=∠3=35°
故选B.【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质定理.
7. 把不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无
解了确定不等式组的解集，再把不等式组 的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x＜1，
故不等式组的解集为：﹣3≤x＜1，
在数轴上表示为：【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故选C．
【点睛】此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的性质.
8. 如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度
为（ ）
A. 11米 B. （36﹣15 ）米 C. 15 米 D. （36﹣10 ）米
【答案】D
【解析】
【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt ABE，利用已知条件可求BE；而
乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE． △
【详解】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
△
∴BE＝30×tan30°＝10 （米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10 ）（米）．
∴甲楼高为（36﹣10 ）米．
故选D．
【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
9. 在同一直角坐标系中，函数y＝kx+1与y＝ （k≠0）的图象大致是（ ）
A. B.
C D.
.
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况分析：k>0与k<0时分别进行讨论即可得.
【详解】当k>0时，y=kx+1图象经过第一、二、三象限； 在第二、四象限；
当k<0时，y=kx+ 1图象经过第一、二、四象限； 在第一、三象限；
只有选项D符合条件.
故选D
【点睛】本题考核知识点：一次函数和反比例函数.解题关键点：理解函数图象的位置问题.
10. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，
第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ）
A. 1000（1+x）2＝3990
B. 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990
C. 1000（1+2x）＝3990
D. 1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
【答案】B
【解析】
【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
100（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题
得解．
【详解】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额
为100（1+x）2万元，
依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990．
故选B．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知增长率问题的求解.
11. 如图，是二次函数 图象的一部分，下列结论中：
① ；② ；③ 有两个相等的实数根；④ .其中正确结
论的序号为（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
【详解】①∵抛物线开口向上，且与y轴交点为(0,-1)
∴a＞0，c＜0
∵对称轴 ＞0
∴b＜0
∴
∴①正确；
②对称轴为x=t,1＜t＜2，抛物线与x轴的交点为x1,x2.
其中x 为（m,0）, x.为(n,0)
1 2
由图可知2＜m＜3，可知n>-1，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
则当x=-1时，y＞0，
则
则②错误；
③由图可知c=-1
△=b2—4a(c+1)=b2,且b≠0
∴③错误
④由图可知，对称轴x=
且1＜ ＜2
∴
故④正确；
故选D.
【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键.
12. 如图，在单位为1的方格纸上，△ ，△ ，△ ， ，都是斜边在 轴上，斜边长分
别为2，4，6， 的等腰直角三角形，若△ 的顶点坐标分别为 ， ， ，则依
图中所示规律， 的坐标为（ ）
A. B.
C. D.【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】A
【解析】
【分析】观察图形可以看出 ； ； 每4个为一组，由于 ， 在
轴负半轴上，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．
【详解】解：观察图形可以看出 ； ； 每4个为一组，
，
为
在 轴负半轴上，纵坐标 0，
、 、 的横坐标分别为0， ， ，
的横坐标为 ．
的坐标为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，解题的关键是主要是根据坐标变化找到规律，再依据规
律解答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分，不需写出解答过程请将答案直接写
在答题卡相应位置上
13. 已知一组数据8，3，m，2的众数为3，则这组数据的平均数是_____．
【答案】4．
【解析】
【分析】直接利用众数的定义得出m的值，进而求出平均数；
【详解】解：∵一组数据8，3，m，2的众数为3，
∴m＝3，
∴这组数据的平均数： ＝4，
故答案为4．
【点睛】此题主要考查平均数，解题的关键是熟知众数、平均数的定义.
14. 如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为_____cm．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】1
【解析】
【分析】先根据中点定义求BC的长，再利用线段的差求CD的长．
【详解】解：∵C为AB的中点，AB＝8cm，
∴BC＝ AB＝ ×8＝4（cm），
∵BD＝3cm，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm），
则CD的长为1cm；
故答案为1．
【点睛】此题主要考查线段的长度，解题的关键是熟知线段长度的运算关系.
15. 规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（a，b），那么向量 可以表示为： ＝
（a，b），如果 与 互相垂直， ＝（x，y）， ＝（x，y），那么xx+yy＝0．若 与
1 1 2 2 1 2 1 2
互相垂直， ＝（sinα，1）， ＝（2，﹣ ），则锐角∠α＝_____．
【答案】60°．
【解析】
【分析】根据平面向量垂直的判定方法得到：2sinα+1×（﹣ ）＝0，结合特殊角的三角函数值解答．
【详解】解：依题意，得2sinα+1×（﹣ ）＝0，
解得sinα＝ ．
∵α是锐角，
∴α＝60°．
故答案是：60°．
【点睛】此题主要考查三角函数的求解，解题的关键是根据题意得到三角函数的关系.【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
16. 如图，已知动点A在函数 的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA交以
A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x
轴、y轴于点M、N，当NF＝4EM时，图中阴影部分的面积等于_____．
【答案】2.5π．
【解析】
【分析】作DF⊥y轴于点D，EG⊥x轴于G，得到 GEM∽△DNF，于是得到 ＝ ＝4，设GM＝
△
t，则DF＝4t，然后根据 AEF∽△GME，据此即可得到关于t的方程，求得t的值，进而求解．
【详解】解：作DF⊥y轴△于点D，EG⊥x轴于G，
∴△GEM∽△DNF，
∵NF＝4EM，
∴ ＝ ＝4，
设GM＝t，则DF＝4t，
∴A（4t， ），
由AC＝AF，AE＝AB，
∴AF＝4t，AE＝ ，EG＝ ，
∵△AEF∽△GME，
∴AF：EG＝AE：GM，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
即4t： ＝ ：t，即4t2＝ ，
∴t2＝ ，
图中阴影部分的面积＝ ＝2π+ π＝2.5π，
故答案为2.5π．
【点睛】此题主要考查扇形面积的求解，解题的关键是熟知反比例函数、一次函数及相似三角形的判定与
性质及扇形面积的求解.
三、解答题：本大题共6小题，满分68分。请在答题卡指定区域内作16题图答解答时应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17. （1）计算：| ﹣2|+π0+（﹣1）2019﹣（ ）﹣1；
（2）先化简，再求值：1﹣ ÷ ，其中a＝2；
（3）解方程组：
【答案】（1）﹣ ；（2） ， ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题；
（3）根据解方程组的方法可以解答此方程组．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解：（1）| ﹣2|+π0+（﹣1）2019﹣（ ）﹣1
＝2﹣ +1+（﹣1）﹣2
＝﹣ ；
（2）1﹣ ÷
＝1﹣
＝1﹣
＝
＝
当a＝2时，原式＝ ；
（3） ，
①×4+②，得
11x＝22，
解得，x＝2，
将x＝2代入①中，得
y＝﹣1，
故原方程组的解是 ．
【点睛】此题主要考查实数的运算与方程组的求解，解题的关键是熟知实数的运算法则及加减消元法的运
用.
18. 2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：
（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或
画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
【答案】（1）40，补图详见解析；（2）108°；（3） ．
【解析】
【分析】（1）由一等奖人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等奖人数求出二等奖人
数即可补全图形；
（2）用360°乘以二等奖人数所占百分比可得答案；
（3）画出树状图，由概率公式即可解决问题．
【详解】解：（1）本次比赛获奖的总人数为4÷10%＝40（人），
二等奖人数为40﹣（4+24）＝12（人），
补全条形图如下：【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°× ＝108°；
（3）树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是 ＝ ．
【点睛】此题主要考查统计图的运用及概率的求解，解题的关键是根据题意列出树状图，再利用概率告诉
求解.
19. “一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在
原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件产
品的实际定价是多少元？
【答案】每件产品的实际定价是160元．
【解析】
【分析】设每件产品的实际定价是x元，则原定价为（x+40）元，根据“按原定价需花费5000元购买的产
品，现在只花费了4000元”建立方程，解方程即可．
【详解】解：设每件产品的实际定价是x元，则原定价为（x+40）元，
由题意，得【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
＝ ．
解得x＝160．
经检验x＝160是原方程的解，且符合题意．
答：每件产品的实际定价是160元．
【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解.
20. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点
O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．
（1）求证：四边形EHFG 是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）AE＝5．
【解析】
【分析】（1）由“ASA”可证 COF≌△AOE，可得EO＝FO，且GO＝HO，可证四边形EHFG是平行四边
形； △
（2）由题意可得EF垂直平分AC，可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长．
【详解】证明：（1）∵对角线AC的中点为O
∴AO＝CO，且AG＝CH
∴GO＝HO
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB
∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA
∴△COF≌△AOE（ASA）
∴FO＝EO，且GO＝HO
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）如图，连接CE【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵∠α＝90°，
∴EF⊥AC，且AO＝CO
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
在Rt BCE中，CE2＝BC2+BE2，
∴AE△2＝（9﹣AE）2+9，
∴AE＝5
【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的证明与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的运用.
21. 探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3）、B（2，5）、C
（4，9），有k ＝ ＝2，k ＝ ＝2，发现k ＝k ，兴趣小组提出猜想：若直线y＝kx+b
AB AC AB AC
（k≠0）上任意两点坐标P（x，y），Q（x，y）（x≠x），则k ＝ 是定值．通过多次验证和查
1 1 2 2 1 2 PQ
阅资料得知，猜想成立，k 是定值，并且是直线y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率．
PQ
请你应用以上规律直接写出过S（﹣2，﹣2）、T（4，2）两点的直线ST的斜率k ＝ ．
ST
探究活动二
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直
时，这两条直线的斜率之积是定值．
如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．请求出直线DE与直线DF
的斜率之积．
综合应用
如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结
论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】探究活动一： ；探究活动二：﹣1；综合应用：y＝﹣x+9．
【解析】
【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）运用公式分别求出k 和k 的值，再计算k ×k ＝﹣1；
DE DF DE DF
（3）先求直线MN的斜率k ，根据切线性质可知PQ⊥MN，可得直线PQ的斜率k ，待定系数法即可求
MN PQ
得直线PQ解析式．
【详解】解：（1）∵S（﹣2，﹣2）、T（4，2）
∴k ＝ ＝
ST
故答案为
（2）∵D（2，2），E（1，4），F（4，3）．
∴k ＝ ＝﹣2，k ＝ ＝ ，
DE DF
∴k ×k ＝﹣2× ＝﹣1，
DE DF
∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于﹣1．
（3）设经过点N与⊙M的直线为PQ，解析式为y＝k x+b
PQ
∵M（1，2），N（4，5），
∴k ＝ ＝1，
MN
∵PQ为⊙M的切线【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴PQ⊥MN
∴k ×k ＝﹣1，
PQ MN
∴k ＝﹣1，
PQ
∵直线PQ经过点N（4，5），
∴5＝﹣1×4+b，解得 b＝9
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+9．
【点睛】此题主要考查直线与圆的关系，解题的关键是根据已知条件得到斜率的定义与求解方法.
22. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c
经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形
AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+ PA的
值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣6x+5， B（5，0）；（2）当M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积
等于18；（3）PC+ PA的最小值为 ，理由详见解析.
【解析】
【分析】（1）由直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．
（2）从x轴把四边形AMBC分成 ABC与 ABM；由点A、B、C坐标求 ABC面积；设点M横坐标为
m，过点M作x轴的垂线段MH，△则能用m△表示MH的长，进而求 ABM的△面积，得到 ABM面积与m
的二次函数关系式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取△得最大值，进而求点△M坐标和四边形
AMBC的面积最大值．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（3）作点D坐标为（4，0），可得BD＝1，进而有 ，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根
据两边对应成比例且夹角相等可证 PBD∽△ABP，得 等于相似比 ，进而得PD＝ AP，所以当C、
△
P、D在同一直线上时，PC+ PA＝PC+PD＝CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长．
【详解】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5
∴C（0，5）
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1
∴A（1，0）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5
当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x＝1，x＝5
1 2
∴B（5，0）
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）
∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S ＝ AB•OC＝ ×4×5＝10
ABC
△
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）
∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴S ＝ AB•MH＝ ×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8
ABM
△
∴S ＝S +S ＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18
四边形AMBC ABC ABM
△ △
∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD
∴BD＝5﹣4＝1
∵AB＝4，BP＝2
∴
∵∠PBD＝∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴
∴PD＝ AP
∴PC+ PA＝PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+ PA＝PC+PD＝CD最小
∵CD＝
∴PC+ PA的最小值为
【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、圆的性质及相似三角形的判断与性质.【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
