文档内容
南京市 2020 年初中学业水平考试数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.计算 的结果是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
利用有理数的减法法则转化为加法，再计算即可．
【详解】解：
故选D．
【点睛】本题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键．
2.3的平方根是（ ）
A. 9 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据平方根的概念即可求解．
【详解】∵
∴3的平方根是 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的概念，解决本题的关键是熟记平方根的定义．
3.计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法，从而可得答案．
【详解】解：
故选B．
【点睛】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的除法，掌握以上运算的运算法则是解题的关键．
4.党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置，根据国家统计局发布的数据，
年年末全国农村贫困人口的情况如图所示，根据图中提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A. 2019年末，农村贫困人口比上年末减少551万人
B. 2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少超过9000万人
C. 2012年末至2019年末，连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上
D. 为在2020年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少551万农村人口的任务
【答案】A
【解析】
【分析】
用2018年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即可判断A；
用2012年年末全国农村贫困人口数减去2019年年末全国农村贫困人口数，即可判断B；
根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，通过计算即可判断C；
根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，即可判断D．
【详解】A、1660-551=1109，即2019年末，农村贫困人口比上年末减少1109万人，故本选项推断不合理，
符合题意；
B、2012年末至2019年末，农村贫困人口累计减少：9899-551=9348，所以超过9000万人，故本选项推断
合理，不符合题意；C、9899-8249=1650，8249-7017=1232，7017-5575=1442，5575-4335=1240，4335-3046=1289，3046-
1660=1386，1660-551=1109，所以连续7年每年农村贫困人口减少1000万人以上，故本选项推理合理，不
符合题意；
D、根据2012～2019年年末全国农村贫困发生率统计图，知：2019年末，还有551万农村人口的脱贫任务，
故本选项推理合理，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条
形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
5.关于x的方程 （ 为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断
根的正负即可．
【详解】解： ，
整理得： ，
∴ ，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为 、 ，
∵ ，
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相
等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系： ，
6.如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形 的顶点
C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点 的坐标是 ，则点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而
求出点D的坐标．
【详解】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形
OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线
是解答本题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（将答案填在答题纸上）
7.写出一个负数，使这个数的绝对值小于3__________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义及有理数的大小比较方法求解即可．
【详解】解：∵|-1|=1，1<3，
∴这个负数可以是-1．
故答案为：-1（答案不唯一）．
【点睛】一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
8.若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由分式有意义的条件可得答案．
【详解】解：由题意得：
故答案为：【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
9.纳秒 是非常小的时间单位， ，北斗全球导航系统的授时精度优于 ，用科学计数法
表示 是__________．
【答案】 s．
【解析】
【分析】
根据科学记数法的表示形式进行表示即可．
【详解】∵ ，
∴ =20×10-9s，
用科学记数法表示得 s，
故答案为： s．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
10.计算 的结果是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则计算出分母，最后约分即可．
【详解】
，故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的加减法法则是解题的关键．
11.已知x、y满足方程组 ，则 的值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
先解方程组求解 ，从而可得答案．
【详解】解：
① 得： ③
③－②得：
把 代入①：
所以方程组的解是：
故答案为：
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
12.方程 的解是__________．【答案】
【解析】
【分析】
去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】解：
经检验： 是原方程的根．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，注意要检验.
13.将一次函数 的图象绕原点 逆时针旋转 ，所得到的图像对应的函数表达式是
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一次函数互相垂直时系数之积等于-1，进而得出答案；
【详解】∵一次函数的解析式为 ，
∴设与x轴、y轴 的交点坐标为 、 ，∵一次函数 的图象绕原点 逆时针旋转 ，
∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为 、 ，
令 ，代入点得 ， ，
∴旋转后一次函数解析式为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．
14.如图，在边长为 的正六边形 中，点P在BC上，则 的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接 过 作 于 ，利用正六边形的性质求解 的长，利用 与 上的高相等，
从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 过 作 于 ，
正六边形 ,故答案为：
【点睛】
本题考查的是正多边形的性质，同时考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌
握以上知识是解题的关键．
15.如图，线段AB、BC的垂直平分线 、 相交于点 ，若 39°，则 =__________．
【答案】78
【解析】
【分析】
如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的
定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51 -∠A，∠COF =51 -∠C，利用平角的定义得到
∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180 ，计算即可求解．【详解】如图，连接BO并延长，
∵ 、 分别是线段AB、BC的垂直平分线，
∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90 ，
∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90 -39 =51 ，
∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，
∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，
∴∠AOG =51 -∠A，∠COF =51 -∠C，
而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180 ，
∴51 -∠A+2∠A+2∠C+51 -∠C+39 =180 ，
∴∠A+∠C=39 ，
∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78 ，
故答案为：78 ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅
助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
16.下列关于二次函数 （ 为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图
象形状相同；②该函数的图象一定经过点 ；③当 时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的
顶点在函数 的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当 时，y的值即可
得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数 的顶点坐标，再代入函
数 进行验证即可得．
【详解】 当 时，将二次函数 的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移 个单位
长度即可得到二次函数 的图象；当 时，将二次函数 的图象先向左平
移 个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到二次函数 的图象
该函数的图象与函数 的图象形状相同，结论①正确
对于
当 时，
即该函数的图象一定经过点 ，结论②正确
由二次函数的性质可知，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当 时，
即该函数的图象的顶点 在函数 的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题
考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答17.计算：
【答案】
【解析】
【分析】
先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后约分化简即可．
【详解】解：
．
【点睛】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，
有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
18.解方程： .
【答案】
【解析】
【分析】
将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
【详解】解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x=-1，x=3
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，
这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
19.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求证：BD=CE.【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：根据全等三角形的判定定理 ASA可以证得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的对应边相
等”可得AD =AE ，继而可得结论．
试题解析：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）,
∴AB-AD=AC-AE，
即：BD=CE.
20.已知反比例函数 的图象经过点
（1）求 的值
（2）完成下面的解答
解不等式组
解：解不等式①，得 ．
根据函数 的图象，得不等式②得解集 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
【答案】（1）2；（2） ， ，见解析，
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式①的解集；根据反比例函数的图像求出不等式②的解
集，进而求出公共部分即可．
【详解】解：（1）因为点 在反比例函数 的图像上，
所以点 的坐标满足 ，
即 ，解得 ；
（2） ，
解不等式①，得 ；
∵y=1时，x=2，
∴根据函数 的图象，得不等式②得解集 ．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
从中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用反比例函数图象解不等式，以及不等式组的解
法，求出反比例函数解析式是解答本题的关键．
21.为了了解某地居民的用电量情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量（单位： ）进行
调查，整理样本数据得到下面的频数分布表：
组别 用电量分组 频数
1 50
2 100
3 34
4 11
5 1
6 1
7 2
8 1
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
（1）该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第 组内．
（2）估计该地1万户居民六月份的用电量低于 的大约有多少户．
【答案】（1）2；（2）7500【解析】
【分析】
（1）将200个数据按大小顺序排列最中间两个数的平均数即为中位数，进而可解决问题；
（2）求出用电量低于 的户数的百分比，根据总户数求出答案．.
【详解】解：（1）将200个数据按大小顺序排列最中间两个数即第100和101个数，它们的平均数即为中
位数，这两个数都落在第2组，
故答案为：2；
（2） （户）
因此，估计该地1万户居民六月的用电量低于 的大约有 户.
【点睛】本题考查频数分布表，利用统计表获取信息的能力，以及利用样本估计总体，利用统计表获取信
息时，必须认真观察、分析、研究统计表，才能作出正确的判断和解决问题．
22.甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点随机选择2个景点游览．
（1）求甲选择的2个景点是A、B的概率．
（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）列举出所有可能出现的结果，利用概率公式求解即可；
（2）根据树状图求得恰好只有两人选择相同的情况，再根据概率公式求解即可．
的
【详解】（1）解：用列表法表示所有可能出现 结果如下：
（1）共有9种可能出现的结果，其中选择A、B的有2种，∴P = ；
（A、B）
（2）共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种，
∴P = ．
（景点相同）
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解
答的关键．
23.如图，在港口A处的正东方向有两个相距 的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东 方
向航行至D处， 在B、C处分别测得 ， 求轮船航行的距离AD (参考数据：
， ， ， ， ， ）
【答案】20km
【解析】
【分析】
过点 作 ，垂足为 ，通过解 和 得 和 ，根
据 求得DH，再解 求得AD即可．【详解】解：如图，过点 作 ，垂足 为
在 中，
在 中，
在 中，
（km）
因此，轮船航行的距离 约为
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24.如图，在 中， ，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作
，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质证明 ，利用平行线证明 ，利用圆的性质证明
，再证明 即可得到结论；
（2）如图，连接 ，利用平行线的性质及圆的基本性质 ，再利用圆内接四边形的性质证
明 ，从而可得结论．
【详解】证明：（1） ，
，
，
，
又 ,四边形 是平行四边形．
（2）如图，连接
，
四边形 是 的内接四边形
【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接
四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
25.小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地， 设小丽出发第 时， 小丽、小明离地的距离分别为
、 ， 与x之间的数表达式 ， 与x之间的函数表达式是
．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为 ．（2）小丽发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
【答案】（1）250；（2）当小丽出发第 时，两人相距最近，最近距离是
【解析】
【分析】
（1）由x=0时，根据 - 求得结果即可；
（2）求出两人相距的函数表达式，求出最小值即可．
【详解】解（1）当x=0时， =2250， =2000
∴ - =2250-2000=250（m）
故答案为：250
（2）设小丽出发第 时，两人相距 ，
则
即
其中
因此，当 时
S有最小值，
也就是说，当小丽出发第 时，两人相距最近，最近距离是
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
26.如图，在 和 中，D、 分别是AB、 上一点， ．（1）当 时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中
的空格
（2）当 时，判断 与 是否相似，并说明理由
【答案】（1） ， ；（2）相似，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据 证得 ，推出 ，再证明结论；
△ △
（2）作DE∥BC， ∥ ，利用三边对应成比例证得 ，再推出 ，
△
证得 ，即可证明 ．
△ △【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
△ △
∴ ，
∵ ，
∴ ，
△ △
故答案为： ， ；
（2）如图，过点D、 分别作DE∥BC， ∥ ，
DE交AC于点E， 交 于点 ，
∵DE∥BC，
∴ ，
△ △
∴ ，同理： ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
△ △
∴ ，
∵DE∥BC，
∴ ，
同理： ，
∴ ，又 ，
∴ ．
△ △
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质，正确作出辅助线是解答第2
问的关键．
27.如图①，要在一条笔直的路边 上建一个燃气站，向 同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，
试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于 的对称点 ，线 与直线 的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气
站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在 直线上另外任取一点 ，连接
， ， 证明 ， 请完成这个证明．
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形
的铺设管道的方案（不需说明理由），
①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示
②生态保护区 是圆形区域，位置如图④所示．【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析，②见解析
【解析】
【分析】
（1）连接 ，利用垂直平分线的性质，得到 ，利用三角形的三边关系，即可得到答案；
（2）由（1）可知，在点C处建燃气站，铺设管道的路线最短．分别对①、②的道路进行设计分析，即可
求出最短的路线图．
【详解】（1）证明：如图，连接
∵点A、 关于l对称，点C在l上
∴ ，
∴ ，
同理 ，
在 中，有
∴ ；
（2）解：①在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB（如图，其中D是正方形的顶点）．②在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是 （如图，其中CD、BE都与圆相切）．
【点睛】本题考查了切线的应用，最短路径问题，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确
确定点C的位置，从而确定铺设管道的最短路线．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。
试卷地址：在组卷网浏览本卷
组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。
关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。
学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。
钱老师 QQ：537008204 曹老师 QQ：713000635
