2024-2025学年春季1月高三全国各地优质联考试卷合集（一）（学生版）_2025年2月_2502032024-2025学年春季1月高三全国各地优质联考数学试卷合集

0  的图象向右平移 π 个单位长度后得到函数gx 3  的图象，若函数gx  π π 在区间 , 3 2  上单调递减，则ω的最大值为 ( ) A. 6 B. 5 C. 3 D. 2 x2 y2 7. 已知F 1 ，F 2 分别是椭圆C: a2 + b2 =1a>0,b>0  的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，过点A的直线l 与椭圆C相交于另一点P，且F 1 F 2  =PF 2  ，椭圆C的 1 离心率为 ，则直线l的斜率为 ( ) 2 3 1 A. ± B. ± 2 2 2 1 C. ± D. ± 3 3 8. 定义fx  =fx  的实数根x为fx  的“坚定点”，已 知a>0，且a≠1，则下列函数中，不存在“坚定点”的 是 ( ) A. fx  B. fx =asinx  =lnax C. fx  =x3+2x2+ax+a D. fx  =eax 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小 题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6 分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知x>y>0，则下列结论一定正确的是 ( ) 1 1 x+y A. < B. >2 x y xy 1 1 C. 0.2x>0.2y D. < lnx lny 10. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A B C D 中， 1 1 1 1 M，N分别为线段B C ，BB 上的动点(包括端点)，点 1 1 1 P在底面ABCD内运动(包括边界)，则下列说法正确 的有 ( ) A. 存在唯一的M，P，使得MP⊥AC 1 B. 存在唯一的M，P，使得MP⎳AC 1 C. 若M为线段BC 的中点，且MP⎳平面ABD ，则 1 1 1 1 2 动点P的轨迹的长度为 2 D. 若M为线段BC 的中点，则MP+PA 的最小值 1 1 1 21 为 2 11. 在平面直角坐标系中，已知F 1-3,0  ，F 23,0  ，O为 原点，P为平面内的动点，且PH垂直于y轴，垂足为 H，则满足下列条件的动点 P 的轨迹为椭圆的是 ( ) A. PF 1  +PF 2  =10 B. PF 1  ⋅PF 2  +PO  2=41 PH C.  PF 1  +PF 2  5 = 6 PH D.  PF 1  -PF 2    5 = 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出一个半径为 13，且与直线2x-3y+6=0相切 于点3,4  的圆的方程： ． 13. 已知a，b，c成等差数列，若直线l:ax+by+c=0与 b+c 45 曲线y=ex-1+lnx-3相切，则 = ． a 数学徐一一 ·45·14. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD= 5， AD=BC=3，BD=2，现将△ABD沿BD折起，得到 三棱锥A-BCD，且AC= 6，则三棱锥A-BCD外 接球的表面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 1 △ABC的面积S= b2-ab 4  x2 y2 17. 已知O为坐标原点，椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2 tanC． (1)证明：C=2A； (2)若CD为∠ACB的平分线，交AB于点D，且a= 6 ，CD=1，求BD的长． 5 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯 形，AB∥CD，AD=DC=2，AB=4，△PBD为等边 三角形，且平面PBD⊥平面ABCD． (1)作出点B在平面PAD的射影E，并证明； (2)求平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值．  3 的左、右顶点分别为A，B，点P-1, 2  在椭圆C上， 直线PA，PB的斜率分别为k ，k ，且k +k =1． 1 2 1 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过P的直线l交C于另一点Q，且由点P，Q， 9 A，B组成的以PA为一边的四边形的面积为 ，求l的方 2 程． 46 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·46·18. 已知函数fx  =x2-2x  ex． (1)求fx  的单调区间； (2)当x<0时，fx  0 k>0，则x 的取值范围为 ( ) 0 1-ln2 A. -∞, ln2  ln2 B. -∞, 1-ln2  1-ln2 C.  ,+∞ ln2  ln2 D.  ,+∞ 1-ln2  6. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，在我国有四五 千年的历史，是青少年们十分熟悉的玩具如图所示的 陀螺可近似看作一个圆锥与一个圆柱的组合体，圆柱 和圆锥的底面半径均为6cm，高均为9cm，若该陀螺是 由一个球形材料前去多余部分制成，则该球形材料的 表面积的最小值为 ( ) A. 52πcm2 640π B. cm2 3 4000π C. cm2 3 D. 400πcm2 7. 已 知 函 数 f x  = x-1  3 + a 与 g x  = bx2 b≠0 x2-2x+2  的图象依次交于A，B，C三点，且 恒有AB  =BC  8. 已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，AD=2AB=4PA=4，点M，N分别 为线段AD，CD上一点，E为BC的中点，当PM+ MN+EN取得最小值时，三棱锥P-EMN的体积为 ( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 2 3 3 4 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题 给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分)   9. 设a，b是两个非零向量，下列命题正确的是 ( )     A. 若a⋅b=0，则a∥b    B. 若a⋅b=a a ，则 = ( ) b A. 2 B. 1 C. -1 D. -2   ⋅b    ，则a∥b       C. 若a⊥b，则a⋅b=a⋅b  2   D. 若a+b    =a-b    ，则a⊥b 10. 已知O为坐标原点，抛物线y2=2pxp>0  上有异于 原点的Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  两点，F为抛物线的焦点， 以A,B为切点的抛物线的切线分别记为PA，PB，则 ( ) p2 A. 若xx = ，则A,F,B三点共线 1 2 4 B. 若yy =-p2，则A,F,B三点共线 1 2 π C. 若∠APB= ，则A,F,B三点共线 2 1 D. 若 FA  1 + FB  2 = ，则A,F,B三点共线 p 11. 设 a 1 ，a 2 ，⋯，a na 1 ≤a 2 ≤⋅⋅⋅≤a n  、b ，b ，⋯， 1 2 b nb 1 ≤b 2 ≤⋅⋅⋅≤b n  为两组正实数，c ，c ，⋯，c 是b ， 1 2 n 1 b ，⋯，b 的任一排列，我们称S=ac +a c +a c +⋅⋅ 2 n 1 1 2 2 3 3 ⋅+a c 为这两组正实数的乱序和，S =a b +a b + n n 1 1 n 2 n-1 a b +⋅⋅⋅+a b 为这两组正实数的反序和，S =ab + 3 n-2 n 1 2 1 1 a b +a b +⋅⋅⋅+a b 为这两组正实数的顺序和.根据 2 2 3 3 n n 排序原理有S ≤S≤S ，即反序和≤乱序和≤顺序 1 2 和.则下列说法正确的是 ( ) A. 数组1,2,3,4  和1,3,5,7  的反序和为30 B. 若A=x2+x2+⋅⋅⋅+x2，B=xx +x x +⋅⋅⋅ 1 2 n 1 2 2 3 +x x +x x ，其中x ，x ，⋯， n-1 n n 1 1 2 x nx 1 ≤x 2 ≤⋅⋅⋅≤x n  都是正实数，则A≤B C. 设正实数a ，a ，，a 的任一排列为c ，c ，c ，则 1 2 3 1 2 3 a a a 1 + 2 + 3 的最小值为3 c c c 1 2 3 D. 已知正实数x ，x ，⋯，x 满足x +x +⋅⋅⋅+x = 1 2 n 1 2 n x2 x2 x2 x2 P，P为定值，则F= 1 + 2 +⋅⋅⋅+ n-1 + n 的 x x x x 2 3 n 1 P 最小值为 2 48 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·48·三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 2 12. 已知王明在射箭游戏中射一箭中靶的概率为 ，若每 3 箭是否中靶相互独立，则王明射3箭恰好有2箭中靶 的概率为 ． π 13. 已知 tanx+ 7  2 =- ，x 为第二象限角，则 4 10π sinx+ 21  = . 14. 欧拉函数φn  n∈N*  的函数值等于所有不超过n 且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个整 数称为互质整数)，例如：φ3  =2，φ4  =2.记a = n φ10n  φ5n  ，数列a n  16. 如图，在平行六面体ABCD-A B C D 中，侧面 1 1 1 1 ABBA 是菱形且与底面ABCD垂直，M是棱AB 的 1 1 1 1 中点，N是线段BD上一点，且BD=4BN，MN⊥ BD，AB= 3AB=AD=2 3. 1 (1)证明：侧面BCCB是矩形； 1 1 的前n项和为S n ，若S n +n-1≤ (2)求直线CC 1 与平面A 1 MN所成角的正弦值. λa 恒成立，则实数λ的取值范围为 . n 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.) 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 acosB+bcosC=c． (1)求证：△ABC是等腰三角形． (2)若A=30°，△ABC的周长为2+ 3，求△ABC的 面积． 17. 已知函数fx  =x-alnx． (1)求曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线方程； (2)求fx  的单调区间； (3)若关于x的方程x-alnx=0有两个不相等的实 数根，记较小的实数根为x 0 ，求证：a-1  x >a． 0 49 数学徐一一 ·49·18. 甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2， ⋯，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸 牌上的数字为a，随后将纸牌放回(后面每次抽牌记录 数字后都需将纸牌放回)，接下来甲有2种选择： ①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若a+b> N，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一 次； ②直接结束抽牌，记b=0，换由乙抽牌一次． 记乙抽到的纸牌上的数字为c，若a+b+c≤N，则乙 赢，否则甲赢．游戏结束． (1)若甲只抽牌1次，求甲赢的概率； (2)若甲抽牌2次，求甲赢的概率； (3)当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件 时，甲选择②赢得游戏的概率更大？(结果用含N的式子 表示) 参考公式：若数列a n  的通项公式为a n =n2，则a n  nn+1 的前n项和S = n  2n+1  19. 如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫 做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点M作x轴的垂线交 其“伴随圆”于点N，称点N为点M的“伴随点”．已知 x2 y2 椭圆E: + =1a>b>0 a2 b2 ． 6  1 上的点 3, 2  的一 个“伴随点”为 3,1  ． (1)求椭圆E的方程； (2)过点-3,0  的直线l与椭圆E交于不同的两点 A,B，点C与点A关于x轴对称． (ⅰ)证明：直线BC恒过定点； (ⅱ)记(ⅰ)中的直线BC所过的定点为T，若B,C在 直线x=-3上的射影分别为B ,C (B ，C 为不同的两 1 1 1 1 点)，记△TBB ，△TCC ，△TBC 的面积分别为S,S ,S ， 1 1 1 1 1 2 3 S +S 求 1 2 的取值范围． S 3 50 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·50·卷17-湖南省长沙市雅礼中学2025届高 三上学期1月综合自主测试数学试题 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中 一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为 ( ) A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 2. 已知集合A= -5,-1,1,5  ，B= xa0)在区间 2 π 3π  , 2 4  上单调递增，则ω的取值范围是 ( ) A. 0,4  2 B. 0, 3  ∪  8 ,4 3  1 C. 0, 3  ∪  5 ,3 2  D.   5 ,3 2  7. 已知数列a n  a 满足a =1，a = n (n∈N*). 1 n+1 1+ a n 记数列a n  的前n项和为S ，则 ( ) n 3 A. 0,b>0 a2 b2  的左焦点为 F，过F的直线l交圆x2+y2=a2于A，B两点，交C的 右支于点Q，若FA  =AB  =BQ  ，则C的离心率为 . 14. 数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研 究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》 中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音 工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的 应用.已知对于正整数a,nn≥2  ，若存在一个整数x， 使得n整除x2-a，则称a是n的一个二次剩余，否则 为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个 整数a，记事件A=“a与12互质”，B=“a是12的二 次非剩余”，则PA  = ；PB∣A  = . 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知函数 fx  =aex+x+2，曲线y= fx  在点 1,f1    处的切线与x轴平行． (1)求实数a的值； (2)若对于任意x∈e,+∞  ，fx  16.“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、 滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼 结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学 们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项 目均采用2n-1n≥2,n∈N∗ ≤λx恒成立，求实 数λ的取值范围．  局n胜的单败淘汰制， 即先赢下n局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱 的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子 游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 p0P，求p的取值范 3 3 2 围. 52 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·52·17. 如图，在底面为正方形的四棱锥 E - ABCD 中， 18. 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，直线l过 ∠EAB=60°，∠EAD=45°，AE=2AB=2. 点F交C于A,B两点，C在A,B两点的切线相交于 点P,AB的中点为Q，且PQ交C于点E．当l的斜率 为1时，AB (1)求证：AB⊥平面BCE.   (2)若EF=λAB(λ>0)，且三棱锥F-BCE的体积 是四棱锥E-ABCD体积的一半. ①求点C到平面AEF的距离； ②求平面AEF与平面BCF所成二面角的正弦值.  =8． (1)求C的方程； (2)若点P的横坐标为2，求QE  ； (3)设C在点E处的切线与PA,PB分别交于点M, N，求四边形ABNM面积的最小值． 53 数学徐一一 ·53· 19. 定义两个 n 维向量 a i = x i,1 ,x i,2 ,⋯,x i,n   ，a = j x j,1 ,x j,2 ,⋯,x j,n    的数量积a ⋅a =x x +x x +⋯ i j i,1 j,1 i,2 j,2     +x x (i,j∈N )，a ⋅a =a2，记x 为a 的第k个分 i,n j,n + i i i i,k i  量(k≤n且k∈N + ).如三维向量a 1 =2,1,5   ，其中a 1 的第2分量a =1.若由n维向量组成的集合A满足 1,2 以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素； ②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意       两个元素a，a ，满足a2=a2=T(T为常数)且a ⋅a i j i j i j =1.则称A为T的完美n维向量集. (1)求2的完美3维向量集： (2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由： (3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所 有元素的第k分量和S =T. k 54 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·54·卷18-湖南省长沙市第一中学2024- 2025学年高三上学期月考试卷（四）数学 试题 一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合A={x∣00,b>0 a2 b2  的左、右焦点 分别为F，F，点P在C的左支上，当 PF 1 1 2  PF 2  取最大值 2 1 时，C的离心率的取值范围为 ( ) 8a A. 1,3  B. 1,2  C. 1, 3  D.  2,3  8. 若等差数列a n  对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分) 1 1 1 1 9. 实数a，b，c，d满足： > >0> > ，则下列 a b c d 不等式正确的是 ( ) A. c20  ，其中a>0，a≠1. (1)若y=x与y=fx  相切，求实数a的值； (2)当a>1时，证明：x-1  x2fx  1 -f x      ≥0； (3)若不等式fx  1 +f x  x2 19. 如图，已知椭圆的标准方程为 +y2=1，F，F 分别 2 1 2 为椭圆的左、右焦点，点A为椭圆上一动点，且在x轴 上方，延长AF，AF 分别交椭圆于点B，C. 1 2 ≥2a恒成立，求实数a的 取值范围. (1)证明：△ABC的周长大于4 2； (2)若AF 1  =3AF 2  ，求直线BC的方程； (3)求△ABC面积的最大值. 57 数学徐一一 ·57·卷19-湖南省长沙市雅礼中学2025届高 三上学期月考（四）数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合M= x∈Z∣x-1   <3  ,A= -1,0  ,B= 1,2,3,4  ，则 ( ) A. A∪B=M B. B⊆M C. ∁ A⊆B D. A∩B≠∅ M 2. 已知a>b>c>0，则 ( ) A. a+c>2b+c B. ac D. ac0)的准线l:x=- ，直 2 线l:y=kx+m(k≠0)与抛物线C交于M,N两点，P 为线段MN的中点，则下列结论正确的是 ( ) k A. 若m=- ，则以MN为直径 圆与l相交 2 B. 若m=-2k，则OM⊥ON(O为坐标原点) C. 过点M,N分别作抛物线C的切线l ，l ，若l ，l 交 1 2 1 2 于点A，则AP⊥l 5 D. 若|MN|=1，则点P到直线l的距离大于等于 8 58 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·58·三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲、乙 两人击中无人机的概率分别为0.5、0.4，且甲、乙射击 互不影响.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率 为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那 么无人机被击落的概率为 . x2 y2 13. 已知F 1 ，F 2 为椭圆C: a2 + b2 =1a>b>0  的左右 焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且PQ  =F 1 F 2  =2PF 2  ，则椭圆C的离心率为 . 14. 欧拉函数φn  表示不大于正整数n且与n互素(互 素：公约数只有 1) 的正整数的个数. 知 φn  = 1 n1- p 1  1 1- p 2  1 ⋯1- p r  ，其中p ，p ,⋯,p 是 1 2 r n的所有不重复的质因数(质因数：因数中的质数).例 如φ100  1 =100×1- 2  1 1- 5  =40.若数列a n  是首项为3，公比为2的等比数列，则φa 1  +φa 2  + φa 3  +⋯+φa 100  Y的分布列和数学期望． nad-bc 附：χ2= = . 四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤) 15. 竹编是某地的地方特色，某地区相关部门对该地居民 在过去两年内学习竹编次数进行了详尽统计，然后随 机抽取了80名居民的学习数据，现将整理后的结果呈 现如下表： 学习竹编 合 0 1 2 3 4 5 6 次数 计 男 1 3 5 7 9 9 6 40 女 5 6 7 7 6 5 4 40 合计 6 9 12 14 15 14 10 80 (1)若将这两年学习竹编的次数为3次及3次以上的， 称为学习竹编“先锋”，其余的称为学习竹编“后起之秀”． 请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立 性检验，能否认为性别因素与学习竹编有关系； 学习竹编 性别 合计 后起之秀 先锋 男生 女生 合计 (2)若将这两年内学习竹编6次的居民称为竹编“爱 好者”，为进一步优化竹编技术，在样本的“爱好者”中，随 机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男性人数为Y，求  2 a+b  c+d  a+c  b+d  ，n=a+b+c +d α 0.1 0.05 0.01 x 2.706 3.841 6.635 α 59 数学徐一一 ·59·16. 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边 17. 已知在钝角△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为 形，侧棱PA⊥平面ABCD，点M在棱DP上，且DM a,b,c,b=a+1，c=a+2，且a为正整数. =2MP，点N是在棱PC上的动点(不为端点). (1)求边长a；   (2)已知CA=3CD，求sin∠CBD. (1)若N是棱PC中点，完成： (i)画出△PBD的重心G(在图中作出虚线)，并指出 点G与线段AN的关系： (ii)求证：PB∥平面AMN； (2)若四边形ABCD是正方形，且AP=AD=3，当 点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取 最大值. 60 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·60·x2 y2 18. 已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的左、右焦点 分别为F,F，且焦距为4，左顶点为E，过右焦点F 的 1 2 2 动直线l交双曲线C于A,B两点，当直线l垂直于x轴 时，AB  19. 已知函数fx =6. (1)求双曲线C的方程； (2)若动直线l与双曲线C的左支交于点A，右支交于 S 点B，求 △AEF1 的取值范围. S △BEF2  =aex-sinx-a. (1)当a=3时，求曲线y=fx  在点 0,f0    处的切 线方程； (2)当a>0时，函数fx  π 在区间0, 2  内有唯一 极值点x. 1 (i)求实数a的取值范围； (ii)求证：fx  在区间0,π  内有唯一的零点x ，且 0 x <2x. 0 1 61 数学徐一一 ·61·卷20-湖南省长沙市长郡中学2025届高 三上学期月考（四）数学试卷 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 设集合A= x-14  ，则A∩ ∁ R B  = ( ) A. x-1≤x<2  B. x-10，b> 1 3 0，则maxa,b, +  a b  x2 y2 8. 如图，过原点O的直线AB交椭圆C: + =1(a a2 b2 >b>0)于A,B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线 AP,AQ，且分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP   3 于点 M ，若 AM = AP，则椭圆 C 的离心率为 4 ( ) 1 3 1 3 A. B. C. D. 3 3 2 2 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小 题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知函数f(x)=x3-x+1，则 ( ) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点 C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 10. 已知复数z ,z 在复平面内对应的点均在以原点为圆 1 2 z +z 心的单位圆上，且 1 2 =1，则 ( ) zz 1 2 3 A. z +z =1 B. z 与z 实部之和为 1 2 1 2 2   C. z2-z2为纯虚数 D. z3+z3+2=0 1 2 1 2 11. 已知函数fx 的最小值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3  的定义域为R，且fx+2  是奇函数， 函数gx  =2-x  fx  ，且gx  在2,+∞  上单调递 增，则下列命题为真命题的是 ( ) A. f-x+2  =-fx+2  B. gx  在-∞,2  上单调递减 C. 若a<4-b<2，则g2  ga+2  ，则a<0 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 c-b  sinC=a+b  sinA-sinB  .则A= . 62 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·62·13. 第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月 12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参 观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这 一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行 “购物抽奖送航模”活动.盒中装有5个除颜色外均相 同的小球，其中2个是红球，3个是黄球.每位顾客均 有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出1球，若取出 的是红球，则可领取“隐形战机歼-35A”模型，该小球 不再放回；若取出的是黄球，则可领取“隐形战机歼 -20S”模型，并将该球放回盒中.则在第2位顾客抽中 “歼-20S”模型的条件下，第1位顾客抽中“隐形战机 歼-35A”模型的概率为 . 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享 有“数学王子”的美誉，函数y=x  称为高斯函数，其 中x∈R，x  表示不超过x的最大整数，例如：-2.1  =-3，3.1  =3.已知函数fx  x 8 = + ，则 x2+3x+4 9 函数y= fx    的值域是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.) 15. 在数列a n  中，a 1 =2，a2 n +a2 n+1 -2a n +2  a n+1 -2  -4=0. (1)求证：数列a n  是等差数列； n+2 (2)设数列 n2+n  ⋅ 2    an  16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=PC=CB=BA 1 = AD=2，AD⎳CB ，∠CPD=∠ABC=90°，平 2 面PCD⊥平面ABCD． (1)求证：PD⊥平面PCA； (2)点Q在棱PA上，CQ与平面PDC所成角的正弦 6 值为 ，求平面PCD与平面CDQ夹角的余弦值. 3 的前n项和为S ，若 n S +λ<0恒成立，求λ的取值范围. n 63 数学徐一一 ·63·17. 已知椭圆E: x2 + y2 =1(a>b>0)与抛物线y2= 18. 已知函数fx a2 b2 4x有相同的焦点，M为椭圆上一点，F,F 分别为椭圆 1 2 E的左、右焦点，且△MFF 的面积的最大值为 3，过 1 2 点F 做斜率之和为3的两条直线l 和l ,l 与椭圆E交 1 1 2 1 于A,B两点，l 与椭圆E交于C,D两点，线段AB,CD 2 的中点分别为P,Q. (1)求E的标准方程； (2)直线PQ是否过定点？若是，求出定点坐标；若不 是，请给出理由.  =lnx+ex-1. (1)求fx  的导函数fx  的极值； (2)不等式fx  ≥kx-1对任意x∈1,+∞  恒成立， 求k的取值范围； (3)对任意k∈R，直线y=kx+b与曲线y=fx  有 且仅有一个公共点，求b的取值范围. 19. 集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中 的两个非空有限子集 A 和 B，定义和集 A + B = a+ba∈A,b∈B  .记符号A  表示集合A中的元素 个数.当A  ≥2时，设a ,a ,⋯,a 1 2 A  是集合A中所有 元素按从小到大顺序的一种排列，记集合GA  = a -a k=1,2,⋯,A k+1 k   -1  . (1)已知集合A=1,3,5  ,B=1,2,6  ，求A+B, A+B  的值； (2)已知集合A=1,3,5  ,B=1,2,6  ,C= 1,2,6,x  ，若A+B=A+C，求 GC    的值； (3)已知A  =B  =mm≥3,m∈N*  ，记集合 GA,B  ={x|x∈GA  或x∈GB  }. (ⅰ)当m=3时，证明：A+B  =5的充要条件是 GA,B    =1； (ⅱ)若 GA    =1,A+B  =2m，求 GA,B    的所有 可能取值. 64 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·64·卷21-江苏省南京市江宁高级中学、镇江 第一中学等2024-2025学年高三上学期 12月联考数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知全集 U = 1,2,3,4,5,6  ，A = 1,2,3,4  ，B = 3,4,5  ，则1,2  = ( ) A. A∩∁ U B  B. A∪∁ U B  C. ∁ U A  ∩B D. ∁ U A  ∪B 2. 在(2x-1)5的展开式中，x2的系数为 ( ) A. -80 B. -40 C. 40 D. 80 3. 一次歌唱比赛中，5位评委给选手的评分(满分10 分)依次为：x，y，8，7，9.若这组数据的平均数为8， 方差为2，则|x-y|的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知函数f(x)=sin(x+φ)(0<φ<2π)，它的导函数 f(x)的图象如图所示，那么φ= ( ) π 2π 7π 5π A. B. C. D. 6 3 6 3 5. 已知复数z，则“z      8. 在ABC中，AB=3，BD=DC，AE=2EC，AD与   BE 的交点为 O，若 AO ⋅ BC =-2，则 AC 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知x>0，y>0，且x+2y=1，则 ( ) 2 A. x2+y2的最小值为 9 1 2 B. + 的最小值为9 x y C. 2x+4y的最小值为2 2 D. log x+log y的最小值为-3 2 2 10. 圆C经过点A(-6,0)，B(0,8)，则 ( ) 25π A. 当圆C关于y轴对称，周长为 2 25 B. 当圆心C在第四象限时，半径大于 3 C. 圆C和直线4x-3y+10=0一定有公共点 D. 当圆C被x，y轴截得的弦长相等时，半径为5 2 11. 正三棱台ABC-ABC 中，AB=2AB =6，AA 与 1 1 1 1 1 1 底面所成角的正切值为3，所有顶点在球O的表面上， 则 ( ) A. AA ⊥BC 1 B. 三棱锥A -ABC的体积为18 1 C. 球O的表面积为60π D. 经过三点A ，B ，O 平面截底面△ABC的交线 1 1 7 长为 1 2 =1”是“z+ ∈R”的 ( ) z 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 12. 已知lga=0.4771，lgx=-1.5229，则x= (用 C. 充分且必要条件 D. 既不充分又不必要条件 含a的代数式作管). x2 π 4 6. 双曲线C: -y2=1的右焦点F，过原点O的直线 13. 已知0<β<α< ，tan(α-β)= ，tanα-tanβ 3 2 3 与C相交于P，Q两点，若PF⊥QF，则△PFQ的面 =2，则cosαcosβ= . 积为 ( ) 14. 下面给出一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两 1 3 A. B. 1 C. D. 2 项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到 2 2 一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造， 7. 已知 f(x)=x3+x-sinx，g(x)为偶函数，当x≥0 又得到一个新的数列；重复以上操作，现将数列1，2按 时，g(x)=f(x)，设a>b>0，则 ( ) 3 照上述方法进行构造；第一次得到的新数列为1， ， 2 A. f(a)+f(-b)>g(b)+g(-a) 5 3 7 2；第二次得到的新数列为1， ， ， ，2；第三次得 B. f(a)+f(-b)>g(b)-g(-a) 4 2 4 C. f(b)+f(-a)>g(a)+g(-b) 9 5 11 3 13 7 15 到的新数列为1， ， ， ， ， ， ， ，2； 8 4 8 2 8 4 8 D. f(b)+f(-a)>g(a)-g(-b) ⋯，记第n次得到的新数列为1，x ，x ，x ，⋯，x ，2， 1 2 3 k 且 T = x + x + x +⋯+x . ①当 n = 5 时，k = n 1 2 3 k ，②T+T +⋯+T = ，(用数值作答) 1 2 10 65 数学徐一一 ·65·四、解答题：本大题共5小题，共77分. 17. 平面上，动点P到直线l:y= 2x和l :y=- 2x的距 1 2 15. 平面四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠ADC=90°， 离分别为d 1 和d 2 ，且d2 1 +d2 2 =4，记点P的轨迹为E. ∠BAC=∠DAC，AB=CD=2 (1)求E的方程； (1)记∠BAC=α，求tanα； (2)过点T(0,2)的直线l与E相交于M，N两点，若 (2)求△ABD的面积. 在x轴上存在点S，使得△SMN为正三角形，求直线l的 方程. 16. 如图，边长为6的正三角形ABC中，E为AC的三等 分点(靠近点C)，D,F分别为BC,AB的三等分点(靠 近点B,C).将△CDE沿DE折起到△PDE的位置，连 结PA,PF，取PA中点G，连结GE,GF. (1)求证：GF⎳平面PDE； (2)若平面PDE⊥平面ABDE，求二面角G-EF- D的大小. 66 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·66·18. 设P是坐标平面上一点，曲线Γ是函数y=f(x)的图 象，若过点P恰好能做Γ的k条切线(k∈N)，则称点 P是函数y=f(x)的“k度点”. (1)在A0,-1  ，B1,2  ，C3,1  这三个点中，选出函 数fx  19. 一种掷骰子走跳棋的游戏：如图，棋盘上有编号依次 为0，1，2，3，⋯，20的格子，共21个.一枚棋子开始 在0号格子中，玩家每掷一次骰子(一种质地均匀的正 方体形状玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6)， =lnx的“1度点”，无需说明理由； 棋子向前跳动一次.若掷出的骰子子点数不小于3点， x 则跳1格(从i号格子跳到i+1号格子，i∈N)；否则， (2)若点(a,0)是函数f(x)= 的“2度点”，求实数 ex 跳2格(从i号格子跳到i+2号格子，i∈N).当棋子跳 a的取值范围； 到19号格子或20号格子时，游戏结束. 1 (3)求证：∀k∈N*，点(k,lnk)是函数f(x)= x- (1)棋子跳动3次后，记棋子所在格子编号为X，求X 2 x3的“3度点”. 的分布列； (2)设棋子跳到编号为n的格子的概率为p (n∈N)， n 其中规定p =1. 0 ①求证：p n+1 -p n  (0≤n≤18,n∈N)为等比数列； ②游戏组织者规定：跳到19号格子，游戏失败，玩家 付给组织者3a(a>0)元；跳到20号格子，游戏胜利，组织 者付给玩家8a元.问此种规则对游戏组织者是否有利？ 说明理由. 0 1 2 3 4 ⋯⋯ 19 20 67 数学徐一一 ·67·卷22-江苏省盐城市、南京市2024- 2025学年高三上学期期末调研考试数学 试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题 纸的指定位置填涂答案选项． 1. 已知集合S=-1,1  ，集合T=yy=sinx  ，则S∪ T= ( ) A. ∅ B. S C. T D. R  2. 已知向量a=1,m   ，b=2,-1    ．若a⊥b，则实数 m的值是 ( ) 1 1 A. -2 B. 2 C. - D. 2 2 3. 设 a 为实数，则“a < 1”是“a-1  a-2  > 0”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在 1+ 33x  8的展开式中，系数为整数的项数是 ( ) A. 9 B. 4 C. 3 D. 2 5. 若函数fx  =x2-2xsinα+1有零点，则cos2α的取 值集合为 ( ) A. -1,1  B. 0  C. 1  D. -1  6. 设函数 fx  =2sinωx+φ  ω>0,φ  π  < 2  ，若 fx  的图象经过点0,1  ，且fx  在0,π  上恰有2个零点， 则实数ω的取值范围是 ( ) A.   5 ,+∞ 3  B.   11 , 17  6 6  C.   5 , 8 3 3  D.   11 ,+∞  6  8. 已知点F，F 是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一 1 2   点，△PFF 的内切圆的圆心为Q．若5QF +3QF + 1 2 1 2   3QP=0，则椭圆Ω的离心率为 ( ) 1 2 3 3 A. B. C. D. 2 5 7 8 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X (单位：克)．若X~N600,σ2 7. 第15届中国国际航空航天博览会于2024年11月12 日至17日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造 “空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的 中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国 际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、 丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有1人，每人 只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条 件下，甲与乙不到同一观展区的概率为 ( ) 5 3 2 1 A. B. C. D. 6 4 3 2  ，其中σ>0，则 ( ) A. PX<600  1 = 2 B. P592605  D. σ越小，PX<598  越大 10. 设z ，z 为复数，则下列说法中正确的有 ( ) 1 2 A. z 1  +z 2  =z 1 +z 2     B. z +z =z +z 1 2 1 2 C. 若z 1  =z 2  ，则z2=z2 1 2 D. 若z2<0，则z 为纯虚数 1 1 11. 已知曲线C：x3+y3=1，则 ( ) A. 曲线C关于直线y=x对称 B. 曲线C关于原点对称 C. 曲线C在直线x+y=0的上方 π D. 曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于 4 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分．请把 答案写在答题纸的指定位置上． 12. 函数fx  =x2+lnx的图象在点1,1  处的切线的斜 率为 ． 13. 已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，点E满   1 足PE = PD．设三棱锥P-ACE和四棱锥P- 3 V ABCD的体积分别为V和V，则 1 的值为 ． 1 2 V 2 14. 已知等差数列 a n  的公差不为0．若在 a n  的前 100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成 等差数列的概率为 ．(用最简分数作答) 68 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·68·四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要 x2 y2 17. 已知点 F ，F 分别为双曲线 E ： - = 1 2 a2 b2 的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸 1a>0,b>0 的指定区域内． 15. 在△ABC中，AB=6，BC=5． (1)若C=2A，求sinA的值； 9 (2)若△ABC为锐角三角形，cosA= ，求△ABC 16 的面积． 16. 如图，在所有棱长都为2的三棱柱ABC-ABC 中， 1 1 1 点E是棱AA 的中点，AB ⊥CE． 1 1 (1)求证：平面AABB ⊥平面ABC； 1 1   π (2)若∠AAB= ，点P满足AC =3AP，求直线 1 3 1 1 1 CP与平面AABB 所成角的正弦值． 1 1  的左、右焦点，点F到双曲线E的渐近线 1 的距离为2 2，点A为双曲线E的右顶点，且AF = 1 2AF． 2 (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形ABCD为矩形，其中点B，D在双曲线 E上，求证：直线BD过定点． 69 数学徐一一 ·69·18. 设函数fx  =ax+ka-x(k∈R，a>0，a≠1). (1)当k=4时，求fx  的最小值； (2)讨论函数fx  的图象是否有对称中心.若有，请 求出；若无，请说明理由； 1 (3)当k=0时，∀x∈-∞, 2  都有fx  19. 若数列a n 1 ≤ ， 1-2x 求实数a的取值集合.  满足：对任意n∈N*n≥3  ，总存在i、j ∈N*，使得a n =a i a ji≠j,i0,b>0)的右顶点，以OA为直径的圆与C b2 的一条渐近线交于另一点M，若AM  1 = b，则C的 2 离心率为 ( ) A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 6. 已知函数fx  =cos2ωx+ 3sinωxcosωx+m(ω> 3 0，m∈R)的最大值为 ，最小正周期为π，若函数 2 fx  在区间0,t  (t>0)上有且仅有1个零点，则t的 取值范围为 ( ) A.   π , 5π 2 6  B.   π , 5π 2 6  C.   5π , 11π 12 12  D.   5π , 11π 12 12  7. 设函数 fx  的定义域为 R，fx+1  为奇函数， fx+2  为偶函数，当x∈0,1  时，fx  =2x2+bx+ c.若f3  -f2  1979 =6，则f 2  8. 已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形， 且CA=CB=2AB=4.设E为空间内一点，且A，B， C，D，E五点在同一个球面上，若AE=2 3，则点E 的轨迹长度为 ( ) A. 2π B. 3π C. 4π D. 5π 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每 小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下说法正确的是 ( ) A. 两个变量的样本相关系数越大，它们的线性相关程 度越强 B. 设A、B为随机事件，且PA = ( ) 9 3 7 5 A. B. C. - D. - 4 2 4 2  、PB  ∈0,1  ，若 P B   A  =PB  ，则A、B相互独立 C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 χ2=4.881>3.841=x ，则依据α=0.05的独立 0.05 性检验，可以认为“X与Y没有关联” D. 若随机变量X∼N0,1  ，Y∼N2,4  ，则 PX>1  0  上的点到x轴 的距离的最大值为1，则 ( ) A. a=1 B. C上的点到原点的距离的最大值为1 2 C. C上的点到原点的距离的最小值为 2 D. 当点x 0 ,y 0  1 在C上时，x y ≤ 0 0 8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设1-2x  5=a +a x+a x2+⋯+a x5，则a +a + 0 1 2 5 1 2 ⋯+a = . 5 13. 已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，若C上存在三点 P,P,P，且F为△PPP 的重心，则△PPP 三边中线 1 2 3 1 2 3 1 2 3 71 长之和为 ． 数学徐一一 ·71·14. 三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c， 16. 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥PD,△PCD为等 - c 是1和 tanB 的等差中项，则角B= ；如 边三角形，四边形ABCD为直角梯形，AB⎳CD，AB a tanA ⊥BC,CD=2AB=2. 图，若D为△ABC外一点，在四边形ABCD中，边长 BC=2，∠DCB=∠B，∠CAD=30°，则CD的最小值 为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说 (1)证明：平面PAD⊥平面PDC； (2)若PA与平面ABCD所成的角为60°，求平面 明、证明过程或演算步骤. PBC与平面PAD夹角的余弦值. 15. 为普及人工智能相关知识，发展青少年科技创新能 力，并为中学生生涯规划提供方向，某知名高校联合当 地十所中学举办了“科技改变生活”人工智能知识竞 赛，并将最终从每所中学中各选拔一人进入高校进行 为期一周的体验式活动.结合平时训练的成绩，红星中 学的甲、乙两名学生进入校内最终选拔，组委会为此设 计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题 中，甲能正确解答其中4道，乙能正确解答每个题目的 2 概率均为 ，假设甲、乙两人解答每道题目相互独立， 3 现甲、乙从这6道题目中分别随机抽取3题进行解答： (1)求甲、乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对的题目个数为X，求X的分布列及数学 期望； (3)从期望和方差的角度进行分析，红星中学应选拔 17. 已知数列a n 哪个学生代表学校参加体验活动？  n2+n 的前n项积M n =2 2 ，数列b n  的前 n项和为S ，b =1，满足2S =nb . n 1 n n+1 (1)求数列a n  、b n  的通项公式； b (2)记c n = b b n+3 a ，数列c n n+1 n+2 n  的前n项和为T，若 n ∃n∈N*使t2+t-1<2T 成立，求实数t的取值范围. n 72 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·72·x2 y2 18. 已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的左右焦点分别 π 为F，F，上顶点为P，长轴长为4 2，∠FPF = . 1 2 1 2 2 (1)求椭圆C的方程. (2)若椭圆C上的两动点A，B均在x轴上方，且 1 AF⎳BF，求证： 1 2 AF 1  1 + BF 2  19. 已知函数 fx 的值为定值. (3)在(2)的条件下求四边形ABFF的面积S的取值 2 1 范围.  与 gx  的定义域的交集为 D. 若 fx  gx  ≥0对x∈D恒成立，则称fx  与gx  为同 1 号函数，例如xx+ -1 4x  1 1 =x2-x+ =x- 4 2  2 ≥0，则函数fx  =x与gx  1 =x+ -1为同号函 4x 数.若存在区间m,m+2  ，使得fx  gx  ≥0对x∈ m,m+2  恒成立，则称fx  与gx  为部分同号函数. (1)设函数f 1x  =x-2lnx-1，f 2x  =x-2  2- 10-1，x2-1<0，命题q:∃x>0， lnx>0，则 ( ) A. p和q都是真命题 B. ¬p和q都是真命题 C. p和¬q都是真命题 D. ¬p和¬q都是真命题     3. 已知平面向量a，b满足a-b    =1，a+b   = 7，且b  3    在a上的投影向量为 a，则a与b的夹角为 ( ) 2 π π 2π 5π A. B. C. D. 6 3 3 6 1 4. cos290° +tan230° tan30°  = ( ) 1 1 A. - B. - C. 1 D. 2 4 2 5. 在高三一次调研考试时，某学习小组对本组6名同学 的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为 15 分 的 解 答 题 ，6 名 同 学 的 得 分 为 x ix i ∈Z,i=1,2,3,4,5,6  ，统计结果为：x 0，S <0，则 ( ) 18 19 A. S <0 B. a +a <0 20 8 14 a C. a 6 +a 17 <0 D. d 1 ∈-10,-9  7. 已知函数 fx  =ex-2m，gx  =x2-mx，若过点 m,0  的直线与曲线y=fx  和y=gx  8. 已知A-3,0 均相切，则 实数m的值为 ( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2  ，B3,0  ，O为坐标原点，点N是圆O: x2+ y2= 4 上任意一点，点 M 是圆 O 外一点，若 ∠AMN=∠BMN，MN⊥BN，则点M的轨迹方程为 ( ) y2 x2 A. - =1x≠0 4 5  x2 y2 B. - =1y≠0 4 5  x2 y2 C. - =1y≠0 4 3  y2 x2 D. - =1x≠0 4 3  二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小 题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知函数fx  =cos2x  -sin2x，则 ( ) A. fx  π 的一个周期为 2 B. fx  π 的图象关于直线x= 对称 4 C. fx  在区间 0, π  4  上单调递减 D. fx  ∈-1, 2  10. 如图，在正三棱柱ABC-A B C 中，AB=AA =2， 1 1 1 1 点Q在底面△ABC内，D，M，N，P分别为棱AB， AC ，BC ，BB 的中点，则下列结论正确的是 ( ) 1 1 1 1 1 1 A. 直线AB 与BC 所成角的余弦值为 1 1 4 π B. 若AQ= 5，则点Q的轨迹长度为 1 3   C. 若CQ=λCD0<λ<1  ，则BD⊥AQ 1 1 D. 过M，N，P三点的平面将三棱柱分成两部分的体 5 19 积之比为 (或 ) 19 5 11. 已知函数 fx  的定义域为 R，fx  的导函数为 fx  ，f2-x  +f4+x  =0，fx-1  =f5-x  ，当 x∈-2,0  时，fx  >0，则 ( ) A. fx  为偶函数 B. fx  的图象关于点-1,0  中心对称 5 C. f- 2  7 A k >0,k∈N* ≤ex-1+2x-3恒成立.  与椭圆C:6x2+8y2=3相似. (1)求A 与B 的关系； k k (2)若过原点的直线l分别被C 和C 截得的弦长 k k+1 为L 和L ，证明：A L2=A L 2； k k+1 k k k+1 k+1 1 (3)若A 1 = 4 ，B 2 =1，A，B两点在C 2 上，Px 0 ,y 0  为C 上的一个动点，且线段PA，PB的中点都在C 上，判 1 2 断△PAB的面积是否为定值，并说明理由. 76 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·76·卷25-山东省滨州市2024-2025学年高 三上学期1月期末考试数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已 知 全 集 U = x-30，ω>0，0<φ <π)的部分图象如图所示，则fx  的单调递减区间为 ( ) A.   π +2kπ, 7π +2kπ 12 12  (k∈ Z) B.   π +2kπ, 2π +2kπ 12 3  (k∈ Z) C.   π +kπ, 7π +kπ 12 12  (k∈Z) D.   π +kπ, 3π +kπ 2 2  8. 已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，两 条渐近线分别为l ，l ，经过右焦点F且垂直于l 的直 1 2 1   线分别交l ，l 于A，B两点，若FB=3FA，则双曲线 1 2 C的离心率为 ( ) 3 2 3 7 A. B. 3 C. D. 2 3 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在 第小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定义域为 R 偶函数 fx (k∈Z) 5 7. 已知三棱锥P-ABC各个顶点都在半径为 的球 2 O的球面上，且PA=PB=PC，AB=BC=2 2， ∠ABC=90°，则球心O到平面ABC的距离为 ( ) 3 5 5 A. B. C. 3 D. 2 2 4  ，满足 f1-x  = f1+x  ，当0≤x≤1时，fx  =x．则 ( ) A. fx  的一个周期为2 25 B. f 2  13 >f- 3  C. fx  1 1 1 > 的解集为- +2k, +2k 2 2 2  (k∈Z) D. f2k  =0(k∈Z) 10. 已知袋子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中 4个红球，2个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连 续摸取3次，则下列结论中正确的是 ( ) A. 若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率 4 为 9 B. 若每次取出的球不放回，则第2次取到红球的概率 1 为 3 C. 若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好 有一次取出红球的条件下，第3次取到红球的概率 3 为 5 D. 若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学 期望为2 11. 已知函数fx  =ex-x(其中e=2.71828⋅⋅⋅为自然对 数的底数)，则下列说法正确的是 ( ) A. y=fx  在R上单调递增 B. 曲线y=fx  在点 0,f0    处的切线方程为y=1 C. 若∀x>1，fax  ≥flnx  ，则正实数a的最小值 1 为 e D. 若em+lnm=2m，则m+lnm<0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．      12. 设θ为非零向量a与b的夹角，定义：|a×b|=|a|⋅        |b|sinθ．若|a|=2，|b|=5，a⋅b=-8，则|a×b|= ． 77 数学徐一一 ·77·13. 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，以F为 圆心的圆与抛物线C交于M,N两点，与准线l交于P, Q两点，且PQ  =4 3，设直线MF的斜率为k，则k  = ． 14. 如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ π = ，C是扇形弧上的动点，过点C作CD∥OQ，交 3 OP于点D，则△OCD的面积的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列a n  的前n项和S =n2+2n． n (1)求数列a n  的通项公式； (2)求数列 2an+ 1 S n  17. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已 知A=2B． (1)证明：a2-b2=bc；   (2)延长AB至点D，使得AB=3BD，试探究 CD-b 是否为定值？并说明理由． c 的前n项和T． n 16. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面 ABCD为矩形，PA=AB=1，PC与平面PAD所成角 5 的正切值 ． 5 (1)求BC的长； (2)已知G是棱BC上一点，且点D到平面PAG的距 离为 2，求平面PAG与平面PBG的夹角的大小． 78 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·78·18. 设函数y=fx  的定义域为D，其导函数为fx  ，区 间I是D的一个非空子集．若对区间I内的任意实数 x，存在实数 t，使得 x + t ∈ D，且使得 fx+t  ≥ t+1  ⋅ fx  成立，则称函数y= fx  为区间I上的 “Mt  函数”． (1)判断函数fx  =cosx是否为0,π  π 上的“M 2  函数”，并说明理由； (2)若函数gx  =x2-ax是0,2  上的“M2  函 数”． (ⅰ)求a的取值范围； (ⅱ)证明：∀x∈1,2  ，gx+2  ≥6lnx-1  x2 y2 19. 已知椭圆E： + =1(a>b>0)的离心率为 a2 b2 2 ，短轴长为2． 2 (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线l与椭圆E相切于点P． (ⅰ)证明：直线OP与直线l的斜率之积为定值； (ⅱ)设椭圆E的右焦点F 关于l的对称点为F  ， 2 2 求证：直线F  P过定点． 2 ． 79 数学徐一一 ·79·卷26-山东省齐鲁名校联盟大联考2024 -2025学年高三上学期12月月考数学试 题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合A={x|x3-16x=0},B={x||x-1|>2}， 则A∩B= ( ) A. 0  B. -4,4  C. -4,0  D. 4  2. 若复数z满足 2-i   z=3+i，则z的共轭复数z= ( ) A. 1-i B. 1+i C. 2+i D. 2-i 3.“∀x∈1,2  ,x2+ax+1≤0” 一个充分不必要条件 是 ( ) A. a≥-1 B. a≤-2 5 C. a≤- D. a≤-3 2 4. 已知A-5,1  ,B1,1  ,C1,-2  三点，点P在圆x2+ y2=1上运动，则PA  2+2PB  2+3|PC|2的最大值与 最小值之和为 ( ) A. 96 B. 98 C. 100 D. 102 5. 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已 知a=3,b=4,C=2B，则cosC= ( ) 1 1 1 1 A. - B. - C. D. 4 8 4 8 6. 已知a=log 2,b=log 4,c=log 6，则a,b,c的大小关 3 6 9 系是 ( ) A. b>c>a B. c>a>b C. c>b>a D. a>b>c 7. 已知函数f(x)=ln( 1+x2-x)+x3，函数g(x)满足 ∀x∈R,g(x-4)+g(-x)=0，若函数h(x)=f(x+2) -g(x)恰有2025个零点，则所有零点之和为 ( ) A. -4050 B. -4048 C. -2026 D. -2024 8. 记数列a n  的前n项和为S ，若a2 =a2+2a +1， n n+1 n n 且a 1 =0，则S 20  二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在 每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．   9. 已知平面向量a=(1,2),b=(3,1)，则 ( )    A. (a-b)⊥a   B. a⎳b   π C. a与b的夹角是 4   3 1 D. a在b上的投影向量是 , 2 2 的最小值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3  10. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点O是顶点 A在底面BCD内的射影，M为AO的中点，则 ( ) A. BM⊥CM B. BM⊥AD 2 C. 点D到平面BCM的距离为 2 D. 三棱锥M-BCD的外接球体积为 6π 11. 已 知 函 数 f x  = asin sinx  + bcoscosx  ab≠0,x∈R  ，则下列说法错误的是 ( ) A. fx  3π 的图象关于直线x= 对称 2 B. 存在a,b，使得fx  为奇函数 C. 当a=b=1时，∃x 0 ∈0,π  π ，使得fx - 0 2  <0 D. 当a=b=1时，fx  的最小值为cos1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆柱的轴截面是边长为a的正方形，圆锥的轴截 面是边长为b的等边三角形，若圆柱与圆锥的表面积 b 相等，则 = ． a x2 y2 13. 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦 a2 b2 点分别为F,F ，若C上存在一点P，使得∠PFF = 1 2 1 2 45°,∠PFF=105°，则C的离心率e= ． 2 1 14. 对 任 意 实 数 a , b , c , d ，均 有 ( ac + bd ) 2 ≤ a2+b2  c2+d2  ，当且仅当ad=bc时等号成立，这个 不等式称为柯西不等式．若关于x的方程e2x+e-2x+ λex+e-x  = 1 - μ 有实根，则 λ2+ μ2的最小值为 80 ． 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·80·四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤． 15. 记S n 为数列a n  S 的前n项和，已知 n +1=a +n． n n (1)证明：a n  x2 y2 17. 已知椭圆E: + =1(a>b>0)的一个焦点F与 a2 b2 抛物线y2=4x的焦点重合，左、右顶点分别为A,B，且 E 上存在点 P，使得直线 PA 与 PB 的斜率之积为 3 是等差数列； - ． 4 (2)若a,a ,a 成等比数列，求S 的最大值． 1 4 6 n (1)求E的方程． (2)过点F作直线l 交E于G,H两点(与A,B均不重 1 合)，过原点O作直线l 的平行线l 交E于M，N两点，是 1 2 否存在常数λ，使得|MN|2=λGH 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，O,M,N分别为棱AD, PC,PD的中点，PO⊥平面ABCD,PO=2，四边形 ABCD是边长为4的正方形. (1)求证：OM⎳平面PAB； (2)求平面OMN与平面OMD夹角的余弦值．  恒成立？若存在，求出 λ的值；若不存在，请说明理由. 81 数学徐一一 ·81·18. 已知函数fx  =x+lnx． (1)记fx  的图象在点 1,f1    处的切线方程为y= gx  ，证明：当x>0时，fx  ≤gx  1 < x2+4x+1； 2 (2)若当x>1时，xfx  -x2>a-2  19. 16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三 角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等 式. 积化和差： x-a，求实数 1 sinαsinβ= cosα-β a的最大整数值． 2  -cosα+β    , 1 cosαcosβ= cosα-β 2  +cosα+β    ， 1 sinαcosβ= sinα+β 2  +sinα-β    , 1 cosαsinβ= sinα+β 2  -sinα-β    ． 和差化积： α+β α-β sinα+sinβ=2sin cos , 2 2 α+β α-β sinα-sinβ=2cos sin ， 2 2 α+β α-β cosα+cosβ=2cos cos , 2 2 α+β α-β cosα-cosβ=-2sin sin ． 2 2 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：cos2α-sin2β=cosα+β  cosα-β  ； (2)若α+β+γ+ω=π，证明：sinα+β  sinα+γ  =sinαsinω+sinβsinγ； (3)若函数fx  sinx sin3x sin5x = + + +⋯ 2 4 6 sin99x + ,x∈0,2π 100  ，判断fx  的零点个数，并说明理 由． 82 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·82·卷27-山东省烟台市2024-2025学年高 三上学期1月期末学业水平诊断数学试 题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合A=1,a  ,B=0,1-a,2a-1  ，若A⊆B，则 a= ( ) 1 A. -1 B. 1 C. D. 0 2 1 2.“ >1”是“lna<0”的 ( ) a A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 π 3. 若cosθ- 6  2 π = ，则sin2θ+ 3 6  = ( ) 1 1 5 5 A. - B. C. - D. 9 9 9 9     4. 已知向量a,b满足a+b     =2 5,a⊥a-2b   ，且b= 1,1   ，则a  = ( ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 3 5. 函数fx  8. 已知fx x2 =xln 的图象大致为 ( ) 1-x2 A. B. C. D. 6. 已知F为抛物线y2=2x的焦点，直线2x-y-4=0 与抛物线交于A,B两点，则△ABF的面积为 ( ) 17 3 17 A. B. 2 2 3 17 3 17 C. D. 4 8 7. 已知三棱锥P-ABC的底面△ABC的面积为6，顶 点P到底面三条边的距离均相等，且三个侧面的面积 分别为3,4,5，则该三棱锥的体积为 ( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 6 3  为定义在R上的奇函数，其导函数为gx  ， 且gx  -ex为奇函数，则不等式g1-2x  0，且 λ≠1)，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆. 若点P到点O0,0  与点A2,0  的距离之比为 2，则 ( ) A. 点P的轨迹方程为(x-4)2+y2=8 24 B. 点P到直线3x-4y+12=0距离的最小值为 5 C. 点P到圆x2+y2=1上的点的最大距离为5+2 2 D. 若到直线kx-y-2k=0的距离为 2的点P至少 有3个，则-1≤k≤1 11. 若数列a n  满足a n  <1，则称其为“H数列”.给定 数列A k-1k∈N*  ，若A 为“H数列”，定义A 上的 k-1 k-1 a+a T变换：从A 中任取两项a ,a ，将 i j 添加在 k-1 i j 1+aa i j A 所有项的最前面，然后删除a,a ，记新数列为A k-1 i j k (约定：一个数也视作数列)，下列结论正确的有 ( ) A. 若a 1 ∈0,1  ,a n+1 =2a n -sina n ，则数列a n  为“H 数列” B. 若a 1 ∈0,1  ,a n+1 =ln2-a n  +a n ，则数列a n  为 “H数列” C. 若无穷数列A 为“H数列”，则A 为“H数列” k k+1 1 1 1 1 D. 若数列A 为 , , ,⋯, ，则A 为 0 2 3 4 n n-2 n2+n-2 n>2 n2+n+2  83 数学徐一一 ·83·三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数fx  同时满足以下三个条件，则其一个解析式 可以为fx  = . ①在其定义域内有f-x  =fx  ；②∀x,x ∈ 1 2 0,+∞  ，有 fx 1  -fx 2    x 1 -x 2  <0；③fx 1  fx 2  = fx 1 x 2  . 13. 在三棱锥V-ABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA =VB=2VC=2，若点P为三棱锥V-ABC外接球 上一动点，则点 P 到平面 VAC 距离的最大值为 . x2 y2 14. 已知A,B为椭圆Γ: + =1a>b>0 a2 b2  上关于原 点O对称的两点(异于顶点)，点C在椭圆上且AC⊥  AB，设直线BC与x轴的交点为P，若|OP|2=2OA⋅  OP，则椭圆Γ离心率的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤. 15. 在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c， sinA-sinC a2-b2 且 = . sinC c2 (1)求B； (2)若b=2，求△ABC周长的取值范围. 16. 已知函数fx  2 =alnx+ ,a∈R. x+1 (1)若曲线y=fx  在x=1处的切线方程为ax-by +1=0，求实数a,b的值； (2)讨论函数fx  17. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB ∥CD,AB⊥AD，AB=BC=2CD=2,△PBC为等边 三角形. (1)证明：AP⊥BC； (2)若二面角A-BC-P的大小为120°，求直线CP 与平面APD所成角的正弦值. 的单调性. 84 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·84·x2 y2 18. 已知 O 为坐标原点 ，双曲线 Γ: - = a2 b2 1a>0,b>0  的一条渐近线方程为 3x-2y=0，且 点4,3  19. 已知数列a n 在Γ上. (1)求双曲线Γ的方程； (2)若直线l与Γ的右支交于点A,B(异于顶点)，且以 AB为直径的圆过Γ的右顶点. (i)直线l是否过定点？若是，求出该定点，若否，说明 理由；   (ii)设直线AB与y轴交于点M，求OA⋅OB+  6 OM 2的取值范围. 7  的前n项和S n =2a n -2n∈N*  . (1)求数列a n  的通项公式； (2)设b,b ,⋯,b 是a,a ,⋯,a 的任意排列，c 表示 1 2 n 1 2 n n b 其中同时满足条件①b =a 和② i+1 ∈ 1 1 b i   1 ,4 4  i=1,2,⋯,n-1  的排列的个数，T n 为数列c n  的 前n项和. (i)证明：c =T +n+2； n+3 n (ii)证明：c -1能被2整除. 2025 85 数学徐一一 ·85·卷28-山东省淄博市2024-2025学年高 三上学期摸底质量检测（1月）数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若z+1  i=z，则复数z的虚部是 ( ) 1 1 1 1 A. - B. C. - i D. i 2 2 2 2  2. 已知向量a=-6,2   ，b=m,m+2     ，若a⊥b，则b  = ( ) A. 10 B. 3 C. 4 D. 2 5 3. 已 知 集 合 A = e,log 0.2 0.3,20.2  ，集 合 B = xx1-x    >0  ，则A∩B子集的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 已知sinα-β  2 tanα 1 =- ， =- ，则sinα+β 3 tanβ 3  的 值为 ( ) 2 1 1 2 A. - B. - C. D. 3 3 3 3 5. 若圆柱、圆锥的底面半径和高都与球的半径相等，则 圆柱、圆锥、球的体积之比为 ( ) A. 1:2:3 B. 2:1:3 C. 3:1:2 D. 3:1:4 6. 已 知 函 数 f x  = x2-ax+1, x≥1   a>0,a≠1 log x+ax-1, 00，则必有a >0 9 1 C. 若a >1，00，则数列lgT n  一定是等差数列 11. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是由德国机械学家莱 洛研究发现的一种曲边三角形，在建筑、工业上应用广 泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心， 以边长2为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三 角形即为莱洛三角形，则 ( ) A. 莱洛三角形的周长为2π B. 以此莱洛三角形为底面做一个侧面与底面垂直且 高为10的柱形几何体，则该几何体的体积为20π- 20 3     C. 点P为弧AB上的一点，则PA⋅PB+PC  的最小 值为12-4 3  D. 点P为莱洛三角形曲边上的一动点，则PA⋅    PA+PB+PC  的最小值为18-4 21 86 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·86·三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2 12. x3- x  4 的展开式中，常数项为 ． 13. 已知数列a n  16. 某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位 参赛者从以下两种方式中选择一种参赛： ①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入 1 2 1 1 下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得 中，a =1，a = ， = + 1 2 3 a a a n n-1 n+1 “智慧星”称号； (n≥2，n∈N*)，则a = ． 2025 ②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即 14. 已知三棱锥S-ABC的底面ABC是边长为2的正三 能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选 角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心， 择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分 3 2 1 三棱锥S-ABC的体积为 3，则三棱锥S-ABC的 别为 , , ，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个 4 3 2 外接球半径等于 ． 1 问题的概率均为 ．两种方式下各个问题能否正确回答 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说 3 均互不影响，两人彼此之间也互不影响． 明，证明过程或演算步骤． (1)求甲没有获得“智慧星”称号的概率； 15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2， (2)求乙获得“智慧星”称号的概率． π b2，c2成等差数列，且B= ． 3 (3)记事件M=“乙正确回答问题的个数比甲正确回 答问题的个数多3个”，求事件M发生的概率． (1)求证：△ABC为等边三角形； (2)如图，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD， AD= 7，求sin∠BAD的值． 87 数学徐一一 ·87·17. 如图，三棱柱ABC-A B C 中，AB=BC=2，AC 1 1 1 =2 2，BB =4，点M，N分别为AC，AB的中点，且 1 BM= 14，AB⊥BN． 1 1 (1)证明：BM⊥平面ABC； 1 (2)求平面ACCA 与平面BMN夹角的余弦值． 1 1 1 18. 已知函数fx  =alnx-xa<2  ，曲线y=fx  在点 1,-1  处的切线与曲线y=x2+2x相切． (1)求a； (2)若函数gx  4 = f +1 x    + 4 +1  x  x+m  ，且曲 线y=gx  关于直线x=n对称， (i)求m和n的值； (ii)证明：gx  19. 已知数列a n >4．  ，从中选取第j 项、第j 项、⋯第j 项 1 2 t j 1 0)，则x+y的最小值 x y 为 ( ) A. 5 3 B. 9 C. 4+ 26 D. 10 6. 某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男 生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机 选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到 的是男生”，则P B   A  等于 ( ) 4 5 43 4 A. B. C. D. 11 8 55 7 7. 已知S n 是等差数列a n  的前n项和，且a >0，a + 7 6 a <0，则 ( ) 9 A. 数列a n  为递增数列 B. a >0 8 C. S 的最大值为S D. S >0 n 7 14 8. 已知当x=1时，函数fx  =alnx+bx2+3取得最大 值2，则f3  二、多选题(共18分) 9. 已知函数fx = ( ) 16 A. 2ln3+2 B. - 3 C. 2ln3-6 D. -4  =Asinωx+φ  A>0,ω>0,φ  π  < 2  的部分图象如图所示，下列说法正确的是 ( ) A. 函数y=fx  的最小正周期 为2π B. 函数y=fx  的图象关于直 5π 线x=- 对称 12 C. 函数y=fx  在  - 2π ,- π  3 6  单调递减 π D. 该图象向右平移 个单位可得y=2sin2x的图象 6 10. 已知抛物线C: y2=4x的焦点为F，准线l交x轴于 点D，直线m过D且交C于不同的A,B两点，B在线 段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于 点E，下列命题正确的是 ( ) A. 对于任意直线m，均有AE⊥PF   B. 不存在直线m，满足BF=2EB C. 对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切 D. 存在直线m，使AF  +BF  =2DF  11. 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O(O为球心) 的球面上，△ABC为等边三角形，M为AC的中点， AB=BD=2，AD= 2，且AC⊥BD，则 ( ) A. BM⊥平面ACD B. O∉平面ABC 2 3 C. O到AC的距离为 3 6 D. 二面角A-CD-O的正切值为 3 三、填空题(共15分) ex, x≤0  12. 设函数f(x)= -x2+x+1, x>0 ，若方程f(x)=b 4 有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是 ． x2 y2 13. 已知F,F 是椭圆C: + =1(a>b>0)的两个 1 2 a2 b2   焦点，P为椭圆C上的一点，且PF ⊥PF，若△PFF 1 2 1 2 的面积为9，则b的值为 ． 14. 甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各 3 玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为 ，乙每盘获胜的 4 2 概率为 .在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不 3 影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游 戏活动中共获胜3盘的概率为 . 89 数学徐一一 ·89·四、解答题(共77分) 2 15. 在① tanA 1+ acosB  1 = tanB  -1 cosA  ，② 2 acosB=b -cosA 3  这两个条件中任选一个，补充 在下面问题中并解答. 问题：在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，  b，c，AC    2 +AC⋅CB=-6，sinA= 15 ，且 ，求 4 a的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16. 已知数列a n  3 3a 满足a = ，a = n . 1 4 n+1 1+2a n (1)证明：  1 -1 a n  17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD， AD⊥AB，DC∥AB，PA=AD=DC=1,AB=2，E 为棱PB上一点． (1)若E是PB的中点，求证：直线CE⎳平面PAD；   (2)若PE=λPB，且二面角E-AC-B的平面角的 6 余弦值为 ，求三棱锥E-ABC的体积 3 是等比数列； a a 3 (2)设b = n n+1 ，证明：b +b +⋯+b < . n 3n 1 2 n 8 90 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·90·18. 已知点A0,- 3  ，B0, 3  ，曲线E上的点M与A, 19. 对于函数fx B两点的连线的斜率分别为k 和k ，且k ⋅k = AM BM AM BM λ，在下列条件中选择一个，并回答问题(1)和(2)． 3 3 条件①：λ= ；条件②：λ=- ． 4 4 问题： (1)求曲线E的方程； (2)是否存在一条直线l与曲线E交于P，Q两点，以 1 PQ为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出 + |OP|2 1 的值；若不存在，请说明理由． |OQ|2  ，若存在x 0 ∈R，使fx 0  =x 成立，则 0 称 x 0 为 fx  的不动点. 已知函数 fx  = ax2 + b+1  x+b-1  a≠0  . (1)当a=1,b=-3时，求函数fx  的不动点； (2)若对任意实数b，函数fx  恒有两个相异的不动 点，求a的取值范围； (3)在(2)的条件下，若fx  的两个不动点为x,x ， 1 2 且fx 1  -a +x = ，求实数b的取值范围. 2 a+1 91 数学徐一一 ·91·卷30-重庆缙云教育联盟2025届高三上 学期第一次诊断性质量检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合U= x∈N   x≤4   ，集合A=2,3,4  ，B= x   x+1∈A   ，则∁ UA∩B  = ( ) A. 1,2  B. 1,4  C. 0,1,2  D. 0,1,4  2. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是 ( ) 1 A. y= B. y=-x3 x C. y=xx  D. y=log x 1 2 3. 若zi3=1- 5i，则z  = ( ) A. 1 B. 7 C. 6 D. 3   π  4. 已知向量a与向量b的夹角为 ，且a 3    =1，2a-b   = 7，则b  = ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知圆M的方程为x2+y2+8x-8y-17=0，圆N 1 上任意一点P到定点O(0,0)，A(3,0)的距离比为 ， 2 则圆M与圆N的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切 6. 若在长方体ABCD-A B C D 中，AB=3,BC=1, 1 1 1 1 AA =4．则四面体ABBC 与四面体ACBD公共部 1 1 1 1 1 分的体积为 ( ) 3 10 2 A. B. C. D. 1 13 39 3 7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， a b c sinA 若 ， ， 成等差数列，则 cosA cosB cosC cosBcosC 的最小值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知函数fx  x =ln +x-1，gx x-2  =ex-e2-x，则 方程fx  =gx  二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在 每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知O为坐标原点，抛物线C:y2=4x的焦点为F，过 F的动直线l与C交于点A,B，点B，E在C的准线l 上，且BB∥x轴，则下列说法正确的是 ( ) A. AF 的所有实数解的和是 ( ) A. 6 B. 4 C. 2 D. 1  +9BF  的最小值为22 B. A,O,B三点共线 C. 存在点E，使得F到直线EA,EB的距离相等 D. 若EF⊥AB，则EA⊥EB 10. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有 “数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大 数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x∈R，用 x  表示不超过x的最大整数，则 y=x  称为高斯函 数，例如 -2.1  =-3，2.1  =2. 已知函数 fx  = sinx  +sinx  ，函数 gx  = fx    ，则下列4个命题 中，其中正确结论的选项是 ( ) A. 函数 gx  不是周期函数； B. 函数 gx  的值域是 0，1，2   C. 函数 gx  π 的图象关于 x= 对称： 2 π D. 方程 ⋅gx 2  =x只有一个实数根； 11. 对一列整数，约定：输入第一个整数a ，只显示不计 1 算，接着输入整数a 2 ，只显示a 1 -a 2  的结果，此后每输 入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对 值.设全部输入完毕后显示的最后的结果为p.若将从 1到2022的2022个整数随机地输入，则 ( ) A. p的最小值为0 B. p的最小值为1 C. p的最大值为2020 D. p的最大值为2021 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线x=1上一点P可以作曲线x=lny的两条切 线，则点P纵坐标的取值范围为 ． 13. 已知函数y=f(x)的定义域D={1,2,3,4}，值域A= {5,6,7}，则函数y=f(x)为增函数的概率是 ． 14. 过抛物线y2=4x上一动点P作圆C:(x-4)2+y2= r2(r>0)的两条切线，切点分别为A,B，若|AB|⋅|PC| 的最小值是12，则r= . 92 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·92·四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说 16. 某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A、 B两个套餐服务，顾客可自由选择A、B两个套餐之 明、证明过程或演算步骤． 一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，下表是 15. 已知等差数列{a }的前n项和为S ，数列{b }是等 n n n App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 比数列，满足a =b ，a =5，a +a =19，S =11(b 1 1 2 3 4 11 4 +1). 星期t 1 2 3 4 5 6 (1)求数列{a }和{b }的通项公式； n n 销售量y(张) 218 224 230 232 236 90 (2)对任意的正整数n，设c = n  (a n -1)b n -2 ,n为奇数 2n 经计算可得：y  = 1  6 y =205, 6 ty =4004, 6 t2=  (b n +1 n )(b n+2 +1) ，求c i ； 6 i=1 i i=1 i i i=1 i (-1)2(n-1)b ,n为偶数 i=1 91. n (3)若对于数列{a }，在a 和a 之间插入b 个1(k n  n k k+1 k x-x  i ∈N*)，组成一个新的数列{d n }，记数列{d n }的前n项和 参考公式：b= i=1 为T，求T . n 2025   y-y i   n  x-x i i=1  n   xy-nx⋅y i i = i=1 , n   2 x2-x2 i i=1    a=y-bx. (1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系 统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除 周六数据，求y关于t的经验回归方程； 1 (2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为 ，选 3 2 择B套餐的概率为 ，并且A套餐包含两张优惠券，B套 3 餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的 概率为P，求P； n n (3)请根据下列定义，解决下列问题： (i)定义：如果对于任意给定的正数σ，总存在正整数 N 0 ，使得当n>N 0 时，a n -a  <σ(a是一个确定的实数)， 则称数列a n  收敛于a. (ii)运用：记(2)中所得概率P 的值构成数列 n P n  n∈N+  .求P 的最值，并证明数列P 收敛. n n 93 数学徐一一 ·93·a 17. 已知函数g(x)=1-2lnx- (a>0)，且g(x)的极 x2 值点为x ． 0 (1)求x ； 0 (2)证明：2gx 0  19. 用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管(如图1)： 将该矩形铁皮围成一个圆柱体(如图2)，再用一个与圆 柱底面所成45°的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将 这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．现使用长 2 +2≤ ； 为2π，宽为π的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得 a 到的直角圆形弯管的体积最大时(不计拼接损耗部 分)，解答下列问题． (1)求该直角圆形弯管的体积； (2)已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭 圆，求该椭圆的离心率； (3)如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的 一条母线剪开，并展成平面图形(如图4)，证明：该截口展 18. 已知椭圆M: x2 +y2=1的左，右焦点为F,F，点P是 开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该 a2 1 2   正弦型函数的最小正周期与振幅． 椭圆上任意一点，PF ⋅PF 的最小值是-2． 1 2 (1)求椭圆M的方程； (2)设A,B为椭圆的上，下顶点，C,D为椭圆上异于 k A,B的两点，记直线AC,BD的斜率分别为k,k ，且 2 = 1 2 k 1 3． (ⅰ)证明：直线CD过定点S； (ⅱ)设直线AC与直线BD交于点Q，直线QS的斜 1 1 1 率为k ，试探究 , , 满足的关系式． 3 k k k 1 2 3 94 2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·94·