2024-2025学年春季1月高三全国各地优质联考试卷合集（一）（学生版）_2025年2月_2502032024-2025学年春季1月高三全国各地优质联考数学试卷合集

2024-2025 学年春季 1月高三全国各地优质联考试卷合集（一）（学生版）
目录
卷1-湖北省部分市州2025届高三上学期元月期末联 卷16-湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上
考数学试卷3 学期阶段性检测（五）48
卷2-湖北省十堰市2024-2025学年高三上学期期末 卷17-湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期1月
考试数学试题6 综合自主测试数学试题51
卷3-湖北省随州市2024-2025学年高三上学期1月期 卷18-湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上
末数学试题9 学期月考试卷（四）数学试题55
卷4-安徽省A10联盟2025届高三上学期12月质检考 卷19-湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期月考
试数学试题12 （四）数学试卷58
卷5-安徽省部分学校2025届高三上学期12月联考数 卷20-湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考
学试卷15 （四）数学试卷62
卷6-福建省2024-2025学年高三上学期12月测评数 卷21-江苏省南京市江宁高级中学、镇江第一中学等
学试题18 2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷65
卷7-甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期 卷22-江苏省盐城市、南京市2024-2025学年高三上
末联考数学试题21 学期期末调研考试数学试卷68
卷8-广东省部分学校2024-2025学年高三上学期12 卷23-2025届豫赣新三省G20示范高中12月高三联
月联考数学试卷24 考数学试卷71
卷9-广西2024-2025学年高三上学期期末调研考试 卷24-辽宁省点石联考2024-2025学年高三上学期期
数学试题27 末考试数学试题74
卷10-广西名校2025届高三上学期第二次调研考试数 卷25-山东省滨州市2024-2025学年高三上学期1月
学试卷30 期末考试数学试题77
卷11-河北省省级联考2024-2025学年高三上学期1 卷26-山东省齐鲁名校联盟大联考2024-2025学年高
月期末数学试题33 三上学期12月月考数学试题80
卷12-河南省2024-2025学年高三上学期TOP二十 卷27-山东省烟台市2024-2025学年高三上学期1月
名校调研考试三数学试题36 期末学业水平诊断数学试题83
卷13-河南省名校联盟2024-2025学年高三上学期 卷28-山东省淄博市2024-2025学年高三上学期摸底
12月联考数学试卷39 质量检测（1月）数学试题86
卷14-黑龙江省六校2024-2025学年高三上学期期末 卷29-浙江省杭州市部分学校2025届高三上学期期末
联合考试数学试卷42 联考数学试题89
卷15-湖南省名校教育联盟2024-2025学年高三上学 卷30-重庆缙云教育联盟2025届高三上学期第一次诊
期12月大联考数学试题45 断性质量检测数学试题92
1
数学徐一一 ·1·卷1-湖北省部分市州2025届高三上学
期元月期末联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知命题p:log x>log y，命题q:5x>5y，则命题p是
5 5
命题q的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
    2. 已知单位向量a,b满足a+2b     ⊥a，则a与b的夹角
为 ( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
3 6 3 6
π
3. 若复数z=cos -θ
4
 +3i是纯虚数，则θ的值可以
为 ( )
5π 3π 9π
A. 2π B. C. D.
4 4 4
4. 若随机变量ξ的分布列如下表，表中数列a n  为等差
数列，则Pξ=5  的取值是 ( )
ξ 3 4 5 6 7
P a a a a a
1 2 3 4 5
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 4 5
5. 函数fx 
a
= ln2x
x

1
在x= 处的切线与直线y=
2
3x+5垂直，则a= ( )
1 1 1 1
A. - B. - C. D.
6 12 6 12
6. 已知抛物线y2=2px(p>0),O为坐标原点，M是抛
 
1
物线上任意一点，F为焦点，且MN = MF，则直线
2
ON的斜率的最大值为 ( )
1
A. B. 1 C. -1 D. 2
2
7. 正方体ABCD-A B C D 的棱长为3，平面ABCD
1 1 1 1
内一动点Q满足QA  =2QB  ，当三棱锥Q-DD A 1
的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为
( )
A. 24π B. 27π C. 54π D. 56π
8. 已知a≠0,ax2+bx+c 
π π
cos x+
6 3
 ≤0对x∈
0,8 
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小
题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是 ( )
   
A. 回归直线y=bx+a恒过样本中心点x,y
1
恒成立，则2b+c- 的最小值为 ( )
a
A. 4 B. 6 C. 2 3 D. 2 2
 ，且至
少过一个样本点
B. 用决定系数R2刻画回归效果时，R2越接近1，说明
模型的拟合效果越好
C. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，
标准差变大
D. 基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥x 时，我们
a
就推断H 不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯
0
错误的概率不超过α
π
10. 如图所示，已知角α,β0<α<β<
2
 的始边为x轴
的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A,B,M为线
段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则下列说
法正确的是 ( )
β-α A. ∠BOC=
2
  
B. OB⋅OA+1=|OM|2
  
C. OC⋅OA=OM 
D. 点M的坐标为
α+β β-α 1 1
cos cos , sinα+ sinβ
2 2 2 2

11. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y
=kx+1k∈R  表示过点0,1  的直线族(不包括直
线x=0)．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每
一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的
每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．已知直
线族 ax + by = 1a,b∈R  ，则下列说法正确的是
( )
A. 若a=cosθ,b=sinθ θ∈0,2π    ，则该直线族的包
络曲线为圆
cosθ sinθ
B. 若a= ,b= m>n>0,θ∈0,2π
m n
   ，则
该直线族的包络曲线为椭圆
3 1 C. 当a= 2t ,b=- 2t3 (t>0)时，点x 0 ,2x3 0  x 0 >0 
可能在直线族ax+by=1上
D. 当a2+b=0时，曲线x2=4yx≠0  是直线族ax+
by=1的包络曲线
3
数学徐一一 ·3·三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 等比数列a n  的前n项和为S ，且a +a =4,a +a n 1 4 2 5
=8，则S = ．
6
13. 若A,B为曲线x2+y2=2x  +2y  上任意两点，则A,
B两点间距离的最大值为 ．
14. 已知x∈0,e 
m
，若不等式
x21-lnx 
-2en-1≥0恒
n
成立，则 的最大值为 ．
m
四、解答题：共77分．解答应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤．
15. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且
3π
a 1+sin2C =b,C∈0,
4
 ．
(1)求A；
(2)若b=2,csin2B= 3bsinC，求△ABC的周长．
16. 已知函数fx  =lnx-ax+1．
(1)a=1时，求fx  的极值；
(2)若不等式ax2-x+1  ≥fx 
17. 如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的正
方形，△PAB是以P为顶点的等腰直角三角形，O为
AB的中点，Q为PD的中点，PD= 6．
(1)证明：PO⊥BC；
(2)过B,Q两点的平面与直线AP,CP分别交于点
M,N，且平面BNQM∥AC，求平面BNQM与平面PCD
夹角的余弦值．
恒成立，求实数a的
取值范围．
4
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·4·x2 19. 某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依
18. 已知椭圆M: +y2=1的左，右焦点为F,F，点P是
a2 1 2
次展示在参与者面前，参与者可以选择当前展示的这
 
椭圆上任意一点，PF ⋅PF 的最小值是-2．
1 2 件产品，也可以不选择这件产品，若选择这件产品，该
(1)求椭圆M的方程；
活动立刻结束；若不选择这件产品，则看下一件产品，
(2)设A,B为椭圆的上，下顶点，C,D为椭圆上异于 以此类推，整个过程参与者只能继续前进，不能返回，
k
A,B的两点，记直线AC,BD的斜率分别为k,k ，且 2 = 直至结束．同学甲认为最好的一定留在最后，决定始
1 2 k
1 终选择最后一件，设他取到最大价值产品的概率为P；
1
3．
同学乙采用了如下策略：不取前k(1≤k<n)件产品，
(ⅰ)证明：直线CD过定点S；
自第k+1件开始，只要发现比他前面见过的每一个产
(ⅱ)设直线AC与直线BD交于点Q，直线QS的斜
品的价值都大，就选择这件产品，否则就取最后一件，
1 1 1
率为k 3 ，试探究 k , k , k 满足的关系式． 设他取到最大价值产品的概率为P 2 ．
1 2 3
(1)若n=4,k=2，求P和P；
1 2
(2)若价值最大的产品是第k+m件(1≤m≤n-
k)，求P；
2
(3)当n趋向于无穷大时，从理论的角度(即k∈R)，
n-1 1
求P 的最大值及P 取最大值时k的值．(取 =
2 2 i
i=k
n
ln )
k
5
数学徐一一 ·5·卷2-湖北省十堰市2024-2025学年高
三上学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A=x∣1-x≥0 
x-2
,B=x ≤0  x  ，则A
∩B= ( )
A. 0,1  B. -1,0 
C. 1,2  D. 0,1 
1
2. 下列双曲线，焦点在y轴上且渐近线方程为y=± x
2
的是 ( )
x2 x2 y2 A. -y2=1 B. - =1
4 2 8
y2 x2 y2
C. - =1 D. -x2=1
3 12 4
3. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且BD=

3BC，则AD= ( )
   
A. 4AC-3AB B. 3AC-2AB
   
4 1 1 2
C. AC- AB D. AC- AB
3 3 3 3
π
4. 已知sin- +α
2

8. 已知函数fx
3 α
=- ，则sin = ( )
5 2
2 5 2 5
A. B. ±
5 5
5 5
C. D. ±
5 5
5. 已知x>0，且x,x+1,x2,2x的中位数为1，则x=
( )
1 2 3
A. B. C. 1 D.
3 3 2
6
6. 已知正三棱锥P-ABC的体积为 ,AB= 3，则
4
该三棱锥外接球的表面积为 ( )
7π 9π
A. 7π B. C. 9π D. 2 2
2π
7. 在△ABC中，∠ACB= ,D为AB上一点，CD⊥
3
AC,AD=2DB=2，则△ABC的面积为 ( )
3 3 3 3 3
A. B. C. D.
2 4 4 2

x 
= x-3
  , x≤2
 ，若实数a、b、c满
-x+4, x>2
足a<b<c，且fa  =fb  =fc 
1 1 1
，则 + + 的 a b c
取值范围为 ( )
11
A.  ,1 12 
11 7
B.  , 12 6 
5 7
C.  ,
6 6

2 5
D.  ,
3 6

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题
给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，
部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知虚数z满足z2=z，则 ( )
1 3 A. z的实部为- B. z的虚部为
2 2
C. z  =1 D. z可能为纯虚数
10. 已知m∈N + ，函数fx  =xx2-2x  m，则下列说法正
确的是 ( )
A. 若m为奇数，则x=2是fx  的极小值点
B. 若m为奇数，则x=0是fx  的极大值点
C. 若m为偶数，则x=2是fx  的极小值点
D. 若m为偶数，则x=0是fx  的极大值点
11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线E:3x2+3y2-
2xy  =8就是其中之一，则下列四个结论中正确的是
( )
A. 曲线E关于原点对称，且关于直线y=x对称
B. 曲线E上任意一点到原点的距离都不超过2
C. 若Mx,y  是曲线E上的任意一点，则3y-x的最
大值为 35
D. 已知P1,1  ，直线y=kxk>0  与曲线E交于A,
B两点，则PA  +PB  为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数 fx  是定义在R上的奇函数，若gx  =
fx  +2，g3  =1，则g-3  = .
13. 已知ω∈N + ，函数fx  π =sinωx+ 6  在  π , π 4 3  上
单调递减，则ω的最大值为 .
14. 由数字1，2构成一个9位的数字序列，含有连续子序
列 1221 的数字序列有 个.(例如 122122211，
212112211符合题意) 6
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·6·四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤.
15. 现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民
并不喜欢.为了调查人们是否喜欢这种交通方式，某同
学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城
市随机调查了100名市民，得到了一个市民是否喜欢
骑“共享单车”的样本，具体数据如下2×2列联表：
A B 总计
喜欢 40 10 50
不喜欢 20 30 50
总计 60 40 100
(1)根据2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独
立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况
有关联？
(2)为进一步了解A城市的拥堵情况，该同学从样本
中A城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法
抽取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中
喜欢骑“共享单车”的人数为X，求随机变量X的分布列
及数学期望.
附表格及参考公式：χ2=
n(ad-bc)2
a+b  c+d  a+c  b+d 
16. 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD 中，底面ABCD
1 1 1 1
是边长为2的正方形，侧棱DD =6，点E、F分别在侧
1
棱AA、CC 上，且AE=CF=2.
1 1 1
(1)求平面BEF与平面ABCD夹角的余弦值；
(2)已知O为底面ABCD 的中心，在BB 上是否存
1 1 1 1 1
BG
在点G，使得OG⎳平面BEF？若存在，求出 ；若不
BB
1
存在，请说明理由.
，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
7
数学徐一一 ·7·17. 已知等比数列 a n  的前 n 项和为 S ，且 S = n n
a -1 n+1 .
2
(1)求a n  的通项公式；
(2)若b n =2n-1  a n ，记数列b n  的前n项和为T， n
若T -1≤4n⋅λ恒成立，求λ的取值范围.
n+1
18. 已知抛物线E:x2=2py的焦点F在直线x+2y-2=
0上，A,B,C是E上的三个点.
(1)求E的方程；
(2)已知C-2,y
C

19. 设函数y=fx
，且直线AB经过点F，AC⊥
BC，求直线AB的方程；
(3)已知A,B在y轴的两侧，过点A,B分别作抛物线
E的切线l,l ，且l 与l 交于点Q，直线y=1与l 和l 分
1 2 1 2 1 2
别交于点M,N，求△QMN面积的最小值.
 在区间D上有定义，若对任意x ,x 1 2
∈D,x 1 >x 2 ，都满足fx 1  -fx 2  >kx 1 -x 2  2，则称
函数y=fx  在区间D上为k级速增函数.
(1)判断函数fx  =2x3+x在区间R上是否为1级
速增函数，说明理由；
(2)若函数y=fx  在区间0,+∞  上为2级速增函
数，且f1  =1，证明：对任意n∈N + ，n≥2,fn  >2n-1
恒成立；
(3)若fx  =xex在区间0,+∞  上为k级速增函数，
求k的取值范围.
8
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·8·卷3-湖北省随州市2024-2025学年高
三上学期1月期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若存在实数x，使得mx2-m-2  x+m<0成立，则
实数m的取值范围为 ( )
A. -∞,2  B. -∞,0 
1 3
∪ ,
3 2

2 C. -∞,
3
 D. -∞,1 
2. 已知函数fx  =xx-c  2在x=2处有极小值，则c
的值为 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6
  
3. 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(m,-1)，若
  
c⎳2a+b  ，则m等于 ( )
1 1
A. -2 B. -1 C. - D.
2 2
4. 已知等比数列a n  的公比为q(q>0且q≠1)，若a 6
+8a =a +8a ，则q的值为 ( ) 1 4 3
1 1 A. B. C. 2 D. 4
4 2
5. 如图，AC=2R为圆O的直径，∠PCA=45°，PA垂
直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合
的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列不正确
的是 ( )
A. 平面ANS⊥平面PBC
B. 平面ANS⊥平面PAB
C. 平面PAB⊥平面PBC
D. 平面ABC⊥平面PAC
6. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，
∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率
为
A. 5 B. 2 C. 3 D. 2
7. 1+x  2+1+x  3+⋯+1+x 
8. 在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过
5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能
放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有 ( )
A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 108种
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给
出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得
6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如果函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所
示，则以下关于函数y=f(x)的判断正确的是 ( )
A. 在区间(2,4)内单调递减
B. 在区间(2,3)内单调递增
C. x=-3是极小值点
D. x=4是极大值点
10. 下列命题正确的是 ( )
A. 零向量是唯一没有方向的向量
B. 零向量的长度等于0

  a
C. 若a，b都为非零向量，则使

a
9的展开式中x2的系数
是 ( )
A. 60 B. 80 C. 84 D. 120


b
+

b 

=0 成立的
 
条件是a与b反向共线
     
D. 若a=b，c=b，则a=c
11. 树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党
成立100周年”党史知识竞赛．经统计，得到前200名
学生分布的饼状图和前200名中高一学生排名分布的
频率条形图(如图)，则下列说法正确的是 ( )
A. 成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多
30
B. 成绩第1~100名的100人中，高一人数不超过一半
C. 成绩第1~50名的50人中，高三最多有32人
D. 成绩第51~100名 50人中，高二人数比高一的多
9
数学徐一一 ·9·三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. 若命题“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0是假命题”，则
实数a的取值范围是 .
13. 若函数fx  =x3-ax2+2x-1有极值，则实数a的
取值范围是 ．
14. 设等差数列a n  的前n项和为S .若a =10,S = n 1 4
28，则S 的最大值为 .
n
四、解答题：本题共5小题，共77分
tanα
15. 已知 =-1，求下列各式的值：
tanα-1
sinα-3cosα
(1) ；
sinα+cosα
(2)sin2α+sinαcosα+2.
  
16. 若平面上的三个力F,F,F 作用于一点，且处于平衡
1 2 3

状态，已知F
1


=1N,F
2

17. 记数列{a }的前n项和为S ，对任意正整数n，有
n n
2S =na ，且a =3. n n 2
(1)求数列{a }的通项公式； n
(2)对所有正整数m，若a <2m<a ，则在a 和
k k+1 k
a 两项中插入2m，由此得到一个新数列{b }，求{b }的
k+1 n n
前40项和.
 
6+ 2
= N，F 与F 的夹角
2 1 2
为45°，求:

(1)F 的大小;
3
 
(2)F 与F 的夹角的大小.
1 3
10
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·10·18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD， 19. 已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|=
AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB= 2|PM|.
BC，E是PC的中点．求证： (1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B(6，0)，点A在轨迹C运动，求线段AB
上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE．
11
数学徐一一 ·11·卷4-安徽省A10联盟2025届高三上学
期12月质检考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已 知 集 合 A = x  5-2x  3+x   >0   , B =
x   x=2k,k∈Z   ，则A∩B元素个数为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 已知复数z满足z4+3i  =6-8i  ，则z  = ( )
A. 2 B. 5 C. 2 D. 5
3. 设等差数列a n  的前n项和为S ，若a =-4,S = n 2 5
-15，则S = ( )
8
A. -7 B. -9 C. -12 D. -14
4. 已知圆柱和圆锥的底面半径及高均相等，且圆锥侧面
展开图为一个半圆，则该圆柱和圆锥的侧面积的比值
为 ( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
5. 已知2sinα-cosβ= 2,sinβ-2cosα=2,sinα-β 
1 tanα = ，则 = ( )
3 tanβ
1 1
A. B. 7 C. - D. -7
7 7
6. 已知 fx  =ex-e-x，若正实数m,n满足 f2m  +
fn-3  =f0  2 1 ，则 + 的最小值是 ( )
m n+1
9 4
A. B. C. 2 D. 4
4 3
7. 已知函数fx  =cosωx-sinωx(ω>0)的一条对称
7π π
轴为 x = ，一个对称中心为点  ,0
24 24
 ，且在
π
0,
2
 内仅有3个零点，则ω的值为 ( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
8. 已知可导函数fx  的定义域为R,fx  是fx  的导
函数，且 f3x-1  ,f2x+1  均为奇函数，f0  =1，
则f2022  +f2024  +f2026 
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每
小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得
6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知S n 是数列a n
= ( )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
 的前n项和，2S =3a -1，则下 n n
列结论正确的是 ( )
A. 数列a n  是等差数列
B. 数列a n  是递增数列
C. a =3n-1
n
3n-1
D. S =
n 2
10. 设函数fx  =x-a  2 x-2  a∈R  ，则 ( )
A. 当a=-1时，fx  的图象关于点0,-2  对称
B. 当a=0时，方程fx  +sin1=0有3个实根
C. 当a≥2时，a是fx  的极大值点
D. 存在实数a，fx  <fx+1  恒成立
11. 已知圆C:x2+(y+2)2=8，点A在直线x-y+6=0
上，过A作圆C的两条切线AM,AN(M,N为切点)，则
下列结论正确的是 ( )
A. AM  的最小值为2 6
B. 当AN⊥x轴时，四边形AMCN的面积为6 2
C. 原点O到直线MN距离的最大值为 2
D. △AMN的外接圆恒过两个定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
  
12. 若向量a、b满足a 
 
=3，a-b 
 
= 23，a⋅b=1，则
 
a+b  = ．
x2 y2
13. 设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点
a2 b2
分别为F 1 ,F 2 ,P是C上一点，且PF 1  -PF 2 

=4,FF ⋅ 1 2  
FP=FP 2．若△PFF 的面积为16，则C的离心率为
1 1 1 2
．
14. 若直线x=1上一点P可以作曲线x=lny的两条切
线，则点P纵坐标的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必
要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且
b 3-cosC 
π
=csinB+
2
 ．
(1)若c= 3b，求cosC的值；
(2)记△ABC的面积为S，当cosB取得最小值时，求
S
的值．
a2
12
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·12·16. 已知函数fx  =xlnx-a,a∈R．
(1)解不等式：-a<fx 
e
< -a；
2
(2)若函数gx  =fx 
17. 如图，在平行六面体ABCD-A B C D 中，AB= 1 1 1 1
AA =2AD=2,∠AAD=∠BAD=60°．
1 1
+ax2存在两个极值点x,x ， 1 2
求实数a的取值范围．
(1)求证：平面ABD⊥平面ABCD；
1
(2)若平面ABCD⊥平面ADDA ，点E在线段CD
1 1 1
上，且直线BD与平面ABE所成角为45°，求平面ABE
1 1
与平面AAB夹角的余弦值．
1
13
数学徐一一 ·13·x2 y2 18. 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点F与抛
a2 b2
1
物线x=- y2的焦点重合，且抛物线的准线截C所得
4
弦长为 2．
(1)求C的方程；
(2)若过点F的直线l与C交于A,B两点(A在x轴
上方)，与y轴交于点E．
   
①记EA=λ FA,EB=λ FB,λ ,λ ∈R，求证：λ +λ
1 2 1 2 1 2
为定值；
②求OA|2+ 
19. 若数列a n
OB|2的最小值．
 满足：∀n∈N*，若存在M>0，都有a < n
M，则称这个数列a n  为下界数列，并把其中最小的
值M叫做临界值，记为M .
0
(1)记数列  1 3n  前n项和为A n ，证明：数列A n  是
下界数列；
1
(2)记数列  n  前n项和为B n ，判断数列B n  是否
为下界数列，并说明理由；
(3)若数列a n +1  是首项及公比均为2的等比数列，
n 1 记b n = a a ，数列b n
k=1 k k+1
 的临界值为M ，证明：M ≤ 0 0
5
．
12
14
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·14·卷5-安徽省部分学校2025届高三上学
期12月联考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A={x|x3-16x=0},B={x||x-1|>2}，
则A∩B= ( )
A. 0  B. -4,4 
C. -4,0  D. 4 
2. 若复数z满足 2-i 

z=3+i，则z的共轭复数z=
( )
A. 1-i B. 1+i C. 2+i D. 2-i
3.“∀x∈1,2  ,x2+ax+1≤0”的一个充分不必要条件
是 ( )
A. a≥-1 B. a≤-2
5
C. a≤- D. a≤-3
2
4. 已知A-5,1  ,B1,1  ,C1,-2  三点，点P在圆x2+
y2=1上运动，则PA  2+2PB  2+3|PC|2的最大值与
最小值之和为 ( )
A. 96 B. 98 C. 100 D. 102
5. 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已
知a=3,b=4,C=2B，则cosC= ( )
1 1 1 1
A. - B. - C. D.
4 8 4 8
6. 已知a=log 2,b=log 4,c=log 6，则a,b,c的大小关
3 6 9
系是 ( )
A. b>c>a B. c>a>b
C. c>b>a D. a>b>c
7. 已知函数f(x)=ln( 1+x2-x)+x3，函数g(x)满足
∀x∈R,g(x-4)+g(-x)=0，若函数h(x)=f(x+2)
-g(x)恰有2025个零点，则所有零点之和为 ( )
A -4050B. -4048C. -2026D. -2024
8. 记数列a n  的前n项和为S ，若a2 =a2+2a +1， n n+1 n n
且a 1 =0，则S 20 
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在
每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
 
9. 已知平面向量a=(1,2),b=(3,1)，则 ( )
  
A. (a-b)⊥a
 
B. a⎳b
  π
C. a与b的夹角是
4
  3 1
D. a在b上的投影向量是 ,
2 2
的最小值为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

10. 如图，在棱长为1 正四面体ABCD中，点O是顶点
A在底面BCD内的射影，M为AO的中点，则 ( )
A. BM⊥CM
B. BM⊥AD
2
C. 点D到平面BCM的距离为
2
D. 三棱锥M-BCD的外接球体积为 6π
11. 已 知 函 数 f x  = asin sinx  +
bcoscosx  ab≠0,x∈R  ，则下列说法错误的是
( )
A. fx 
3π
的图象关于直线x= 对称
2
B. 存在a,b，使得fx  为奇函数
C. 当a=b=1时，∃x 0 ∈0,π 
π
，使得fx - 0 2  <0
D. 当a=b=1时，fx  的最小值为cos1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 数据7.4，7.5，7.5，7.8，8.0，8.0，8.2，8.4，8.4，8.5的
第70百分位数是 ．
x2 y2 13. 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦
a2 b2
点分别为F,F ，若C上存在一点P，使得∠PFF =
1 2 1 2
45°,∠PFF=105°，则C的离心率e= ．
2 1
14. 对 任 意 实 数 a , b , c , d ，均 有 ( ac + bd ) 2 ≤
a2+b2  c2+d2  ，当且仅当ad=bc时等号成立，这个
不等式称为柯西不等式．若关于x的方程e2x+e-2x+
λex+e-x  = 1 - μ 有实根，则 λ2+ μ2的最小值为
．
15
数学徐一一 ·15·四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说 x2 y2
17. 已知椭圆E: + =1(a>b>0)的一个焦点F与
a2 b2
明、证明过程或演算步骤．
抛物线y2=4x的焦点重合，左、右顶点分别为A,B，且
15. 从甲、乙两名同学中选派一人代表班级参加学校活
E 上存在点 P，使得直线 PA 与 PB 的斜率之积为
动，制定如下规则：将大小、材质相同的1个红球和2个
3
- ．
黑球放入抽签箱中，由班长随机摸出2个球，若颜色相 4
同，则甲得1分，若颜色不同，则乙得1分，每次摸球记 (1)求E的方程．
录结果后将小球放回，重新摸取，首先得3分的一人将 (2)过点F作直线l 交E于G,H两点(与A,B均不重
1
被选派． 合)，过原点O作直线l 的平行线l 交E于M，N两点，是
1 2
(1)求每次摸球甲得分的概率． 否存在常数λ，使得|MN|2=λGH
(2)现有两个方案：①增加1个红球；②增加1个黑球．
为了使选派结果更加公平，应选哪个方案？
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，O,M,N分别为棱AD,
PC,PD的中点，PO⊥平面ABCD,PO=2，四边形
ABCD是边长为4的正方形.
(1)求证：OM⎳平面PAB；
(2)求平面OMN与平面OMD夹角的余弦值．
 恒成立？若存在，求出
λ的值；若不存在，请说明理由.
16
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·16·18. 已知函数fx  =x+lnx．
(1)记fx  的图象在点 1,f1    处的切线方程为y=
gx  ，证明：当x>0时，fx  ≤gx 
1
< x2+4x+1；
2
(2)若当x>1时，xfx  -x2>a-2 
19. 16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三
角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等
式.
积化和差：
x-a，求实数 1
sinαsinβ= cosα-β
a的最大整数值． 2
 -cosα+β    ,
1
cosαcosβ= cosα-β
2
 +cosα+β    ，
1
sinαcosβ= sinα+β
2
 +sinα-β    ,
1
cosαsinβ= sinα+β
2
 -sinα-β    ．
和差化积：
α+β α-β
sinα+sinβ=2sin cos ,
2 2
α+β α-β
sinα-sinβ=2cos sin ，
2 2
α+β α-β
cosα+cosβ=2cos cos ,
2 2
α+β α-β
cosα-cosβ=-2sin sin ．
2 2
运用上面的公式解决下列问题：
(1)证明：cos2α-sin2β=cosα+β  cosα-β  ；
(2)若α+β+γ+ω=π，证明：sinα+β  sinα+γ 
=sinαsinω+sinβsinγ；
(3)若函数fx 
sinx sin3x sin5x
= + + +⋯
2 4 6
sin99x
+ ,x∈0,2π
100
 ，判断fx  的零点个数，并说明理
由．
17
数学徐一一 ·17·卷6-福建省2024-2025学年高三上学
期12月测评数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 A = x   -1≤x≤1

 ，B = x   x∈A

 ，则
∁ A∩B A  = ( )
A. 0,1  B. -1,0 
C. -1,0  D. 0,1 

2. 若z=1+i，则z2-z  = ( )
A. 2 B. 3 C. 10 D. 2 3
3. 已知角 α 的终边经过点 1,2 
π
，则 tanα+
4
 =
( )
1 1
A. B. - C. 3 D. -3
3 3
4. 设甲：x∈0,1 
1 1
，乙：x3<x5，则 ( )
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5. 设等差数列a n  的前n项和S ，若a =2，S =66， n 2 11
则数列 1

a + a
n n+1
 前99项和为 ( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6. 若直线y=3ex为函数fx  =axa>0且a≠1  的图
象的一条切线，则a= ( )
A. e B. e3 C. 3e D. e2
x2 y2
7. 已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
 的左、右焦点
分别F，F.A是C上的一点(在第一象限)，直线AF
1 2 2
与y 轴的负半轴交于点B，若AF 1 ⊥BF 1 ，且BF 2  =
4F 2 A  ，则双曲线C的离心率为 ( )
30 3 2 10
A. B. C. 3 D.
5 2 5
8. 已知函数 f x  = sinωx+φ  ω>0,0<φ≤π  ，且
π f-
3
 =0，则满足 fx  在区间 0, π
 6

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题
给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，
部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在正方体ABCD-ABCD 中，则 ( )
1 1 1 1
A. 直线AC与BD 所成的角为90°
1 1
B. 直线AC与BC 所成的角为60°
1
C. 直线BD与平面ABCD 所成的角为45° 1 1
D. 直线BD与平面ACD 所成的角为30° 1
 
10. 已知O为△ABC内部的一点，满足OB⋅OC =0，

OC
上 最大值
ω
为 的ω的取值的个数为 ( )
3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4


= 2OB 
   
= 2，5OA + 3OB + 2OC = 0，则
( )

A. OA  =1
3
B. cos∠AOB=-
5
12
C. △ABC的面积为
5
  
3 1
D. AO= AB+ AC
10 5
11. 设抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛
物线C上位于第一象限的一个动点，过A作抛物线C
的切线交y轴于点M，交l于点N，过 A 作直线AP
⊥l，垂足为P，则下列说法正确的是 ( )
A. 若△AFP为等边三角形，则AF  =3
B. AN⊥PF
C. P，M，F三点共线
8 3
D. △AFN的面积的最小值为
9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若偶函数 fx  满足 fx  + fx+2  =2，则 f1  =
.
1 1 1 4b
13. 已知a>b>0，a+ =b+ ，则 + 的最小
a b b2 a
值为 .
14. 已知三棱锥S-ABC的各个顶点均在半径为1的球
O的球面上，AB=AC，SA=2，则三棱锥S-ABC
的体积的最大值为 .
18
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·18·四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文
字说明、证明过程及演算步骤.
15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
3c π
已知 =2sinA+
b 3

x2 y2
17. 已知椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
(1)求B；
2b
(2)设D为AC边的中点，若BD= ，且△ABC
2
3
的面积为 ，求△ABC的周长.
2
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AD⎳平面PBC，PC与底面ABCD所成的角为45°，
PA=AD=2，BC=1，AB= 3.
(1)证明：AD⊥平面PAB；
(2)求二面角A-PC-D的正弦值.

1
的离心率为 ，
2
3
且点1,
2
 在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
12
(2)若与圆O:x2+y2= 相切的直线l(直线l的斜
7
率存在)交椭圆C于A,B两点，O为坐标原点，设直线
OA的斜率为k ，直线OB的斜率为k ，证明：OA⊥OB.
1 2
19
数学徐一一 ·19·18. 设函数fx  =x-a  lnx-a 
(1)当a=0时，求fx  的极值；
(2)已知a∈Z，若fx  单调递增，求a的最大值；
(3)已知a>0，设x 0 为fx  的极值点，求fx 0 
19. 设正整数m≥3(m为常数)，数列a,a ,⋯,a 各项均 1 2 m
为正数，且任意两项均不相等，设集合 S = m
aa i j
的最
大值.
  1≤i<j≤m,i∈N*,j∈N*   ，对有限集S，记S  为
S中的元素个数.
(1)若m=4，a 1 =1，a 2 =2，a 3 =4，a 4 =8，求S 4  ；
(2)证明：2m-3≤S m 
mm-1
≤

2
(3)若S m  =2m-3，且m≥6，证明：存在集合X,Y，
使得X∪Y=a 1 ,a 2 ,⋯,a m  ，X∩Y=∅，X  ≥3，Y  ≥
3，X中的元素按照某种次序排列后成等比数列，Y中的
元素按照某种次序排列后也成等比数列，且这两个数列的
公比相同.
20
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·20·卷7-甘肃省多校2024-2025学年高三
上学期1月期末联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合A=xlnx<1  ，B=x-1≤x≤1  ，则A∩
B= ( )
A. x-1≤x<1  B. x-1≤x<e 
C. x0<x≤1  D. x0<x<e 
2. 在复平面内，复数9i(8+5i)对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已
2π
知a=6，A= ，则△ABC外接圆的半径为 ( )
3
A. 2 3 B. 4 3 C. 6 D. 12
4. 直线l:3x+4y+1=0被圆C:x2+y2-4x+6y+4=
0截得的弦长为 ( )
A. 2 2 B. 4 3 C. 2 3 D. 4 2
π
5. 已知tan -α
4

6 8. 已知正三棱锥P-ABC的体积为 ,AB= 3，则
4
该三棱锥外接球的表面积为 ( )
7π 9π
A. 7π B. C. 9π D.
2 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题
给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，
部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好
的哈密瓜中挑选了100个称重(单位：kg)，并整理数
据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方
图，下面结论正确的是 ( )
A. m=0.1
B. 估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为30%
C. 估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至
1 sin2α+2
=- ，则 = ( ) 1.6kg之间
2 3-cos2α
D. 估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg
13 1 26 1
A. - B. C. D. - 之间
14 2 29 2
6. 某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发 10. 若(2x-1)9=a 0 +a 1 (x+1)+a 2 (x+1)2+⋯+a 9 (x+
现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫 1)9，则 ( )
星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦 A. a =-39
0
点F处，已知卫星接收天线的口径(直径)为10m，深度 B. a +a +a +⋯+a =39-1
1 2 3 9
为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到 C. a =-7×66
5
顶点的距离为 ( ) D. a 1 + a 2 +⋯+ a 9 =39-29
2 22 29
11. 若函数f(x)=sinx+acosx图象的一条对称轴方程
2π
为x= ，则 ( )
3
3
A. a=
3
3
B. a=-
3
π
C. f(x)图象的一条对称轴为直线x=-
3
A. 5 m B. 25 m C. 25 m D. 5 m D. f(x)在- π , 5π
3 12 6 4 3 6
7. 已知函数f(x)=   2 a a x, x x - ≥ 2 1 ,x<1, 满足∀x 1 ,x 2 ∈R且
x ≠x ，(x -x )[f(x )-f(x )]<0，则a的取值范围
1 2 2 1 1 2
为 ( )
A. (0,1) B. (1,+∞)
C. (1,2] D. (0,1)∪(1,+∞)
 上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
x2 y2
12. 椭圆C: + =1的两个焦点为F，F，椭圆C上
16 25 1 2
有一点P，则△PFF 的周长为 .
1 2
    
13. 已知向量a=(-1,2)，b=(3,λ)，若(b-a)⊥a，则cos
21  
‹a,b›= .
数学徐一一 ·21·5 14. 已知函数f(x)=9lnx+ +2x+7，则函数f(x)的
x
1
最小值为 ；若过原点可向曲线y=f(x)- +
2x
a作两条切线，则a的取值范围是 .(注：当x→0
1 时，lnx+ →+∞)
x
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列a n  的前n项和为S ，且S =3n2+ n n
kn+k.
(1)求a n  的通项公式；
1
(2)若b n = a a ，求数列b n n n+1 
16. 现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民
并不喜欢.为了调查人们是否喜欢这种交通方式，某同
学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城
市随机调查了100名市民，得到了一个市民是否喜欢
骑“共享单车”的样本，具体数据如下2×2列联表：
A B 总计
喜欢 40 10 50
不喜欢 20 30 50
总计 60 40 100
的前n项和T. n (1)根据2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独
立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况
有关联？
(2)为进一步了解A城市的拥堵情况，该同学从样本
中A城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法
抽取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中
喜欢骑“共享单车”的人数为X，求随机变量X的分布列
及数学期望.
附表格及参考公式：χ2=
n(ad-bc)2
a+b  c+d  a+c  b+d 
，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
22
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·22·17. 已知函数f(x)=(x+a)ex. x2 y2
19. 已知双曲线Γ: - =1(a>0,b>0)的左，右顶点
(1)若f(x)在x=2处取得极值，求实数a的值； a2 b2
分别为A ，A ，左焦点为M(-c,0)，O为坐标原点，A
(2)若f(x)<e2x恒成立，求实数a的取值范围. 1 2 1
是线段OM的中点.
(1)求双曲线Γ的离心率.
(2)过点M且斜率不为0的直线l与双曲线Γ的左，右
两支的交点分别为Q，P.
①若直线l的斜率为1，QP
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯
形，侧面 PCD 为正三角形，且平面 PCD ⊥ 平面
ABCD，AD⎳BC，AD⊥AB，AD=AB=1，BC=
2.
(1)证明：PC⊥BD.
(2)已知Q为侧棱PB上一点，PD⎳平面QAC.
PQ
①求 的值；
PB
②求直线DQ与平面QAC所成角的正弦值.
 =6，求双曲线Γ的方程；
②连接QO并延长，交双曲线Γ于点R，证明：AR⊥
1
A P.
2
23
数学徐一一 ·23·卷8-广东省部分学校2024-2025学年
高三上学期12月联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数z=i2-3i  在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若集合A= x|0<x+1<3  ，B= x|x2+x=0  ，则
( )
A. -1∈(A∩B) B. 0∈(A∩B)
C. B⊆A D. A∩B=∅
3. 抛物线3y=8x2的准线方程是 ( )
3 3
A. y= B. y=-
32 32
2 2
C. x= D. x=-
3 3
4. 等比数列a n  的前n项和为S ，若a =8a =1，则S n 1 4 3
= ( )
11 7
A. 7 B. 5 C. D.
8 4
5. 函数fx  =lnx+2x的图象在点1,2  处的切线与坐
标轴所围成的三角形的面积为 ( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 6 8
6. 如图，侧面展开图为扇形AOD的圆锥和侧面展开图
 
为扇环ABCD的圆台的体积相等，且OB=λOA，则
λ3= ( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8
7. 已知正项等差数列 a n 
a +a +⋯+a
满足 1 3 2n-1 = a +a +⋯+a
3 5 2n+1
n n∈N∗
n+2
 a ，则 2024 = ( )
a
2
A. 2 B. 2024 C. 1012 D. 4048
8. 已知 fx  是定义在R上的奇函数，且当x>0时，
fx  =x-a．若∀x∈R,fx-a2  ≤fx  ，则a的取
值范围为 ( )
A. -∞,0  ∪2,+∞  B. -∞,2 
C. 0,2  D. -∞,0 
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小
题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6
分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某地发起“寻找绿色合伙人--低碳生活知识竞赛”
活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了n份，将得分
(满分100分)进行适当的分组(每组为左闭右开的区
间)，画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落
在90,100  内的人数为10，则 ( )
A. m=0.01
B. n=100
C. 估计参赛选手得分的平均分低于70分(同组数据
用该组区间的中点值作代表)
D. 估计参赛选手得分的中位数在70,80  内
10. 已知函数fx 
2sinx
= ，则 ( )
5-cos2x
A. fx  为奇函数
B. fx  的最小正周期为π
C. fx  的图象关于直线x=π对称
D. fx 
1
的最大值为 3
11. 双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲
线C:x2+y2  2=ax2-y2  是双纽线，关于曲线C，下
列说法正确的是 ( )
A. a=9
B. C上存在点x 0 ,y 0  ，使得 x2+y2>3 0 0
3 2
C. C上的点的纵坐标的最大值为
4
D. 若直线y=kx与C恰有一个公共点，则k的取值范
围为-∞,-1  ∪1,+∞ 
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
   
12. 若两个单位向量 a，b 满足 a+3b 
 
= 3，则 a ⋅ b =
．
13. 甲、乙、丙等5人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同
24
一侧，则不同的站法共有 种．
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·24·π 14. 已知α，β∈0,
3
 ，且sin(2α+β)+2sin2αcosβ= 17. 如图，在多面体ABCDFE中，AE⊥平面ABCD，平
面 FCD ⊥ 平面 ABCD，AB ∥ CD，AB ⊥ AD，
3sinβ，则cosβ的最小值为
△FCD为等腰直角三角形，且CF⊥DF，AD=CD=
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说
2AB=2AE，
明、证明过程或演算步骤．
15. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知c=
1,b+2cosB=2a．
(1)求C的值；
(2)求△ABC周长的最大值．
(1)证明：BF∥平面ADE.
(2)求平面BEF与平面DEF的夹角的余弦值.
16. 某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽
奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银
奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖
2 1
和银奖的概率分别为 和 ，且每次中奖情况相互
3 3
独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其
中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会．
(1)求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金
金额的概率；
(2)记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为X，求X的
分布列与期望．
25
数学徐一一 ·25·18. 已知A2,1  是椭圆E: x2 + y2 =1(a>b>0)上的 19. 已知函数fx
a2 b2
3
一点，且E的离心率为 ，斜率存在且不过点A的直 2
线l与E相交于P，Q两点，直线AP与直线AQ的斜
1
率之积为
4
(1)求E的方程.
(2)证明：l的斜率为定值.
(3)设O为坐标原点，若l与线段OA(不含端点)相
交，且四边形OPAQ的面积为2 3，求l的方程.
 的定义域为I，区间D⊆I，若x ∈D， 0
fx 0  =x 0 ，则称x 0 是fx  在D上的不动点，集合A=
x 0 ∣fx 0   =x 0 ,x 0 ∈D  为fx  在D上的不动点集.
(1)求函数fx 
3x+4
=2x- 在0,+∞
x
 上的不动
点集；
(2)若函数gx 
π π
=ax-sin2x在- ,
2 2
 上有且只
有一个不动点，求a的取值范围；
(3)若函数hx  =x3-3m2-1  x+1m>0  在R上
的不动点集为x 1 ,x 2 ,x 3  ，求x2+x2+x2的取值范围. 1 2 3
26
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·26·卷9-广西2024-2025学年高三上学期
期末调研考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A=1,2,3,4  ，B= x   y= x-2   ，则A∩
B= ( )
A. 1,2  B. 3,4 
C. 2,3,4  D. 1,2,3,4 
2+i
2. 复数z= 的实部为 ( )
4-i
6 2 7 7
A. B. C. D.
17 5 17 15
  
3. 若非零向量a，b满足a 

=2b 
  
，且(a-3b)⊥a，则
 
cos‹a,b›= ( )
1 3 1 2
A. B. C. D.
3 4 6 3
1
4. 已知sinα=tanβ= ，则cos2αtan2β= ( )
3
7 7 7 7
A. B. - C. D. -
12 12 24 24
5. 如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm，杯内
的底部半径为3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的水面
直径为12cm，且杯子的容积为252πcm3，则该杯子的
高度为 ( )
A. 12cm B. 13cm C. 14cm D. 15cm
6. 已知函数f(x)=x3-3x，a=log 2，b=log 3，c=
3 0.25
log 2，则 ( )
5
A. f(b)<f(c)<f(a) B. f(c)<f(a)<f(b)
C. f(c)<f(b)<f(a) D. f(a)<f(c)<f(b)
π
7. 将函数f(x)=sin2ωx+
6

3x+1, x≤1
8. 已知函数f(x)=
2x2-6x+8
(ω>0)的图象向右平移
π
个单位长度得到函数g(x)的图象，若曲线y=g(x)
6
π
关于直线x= 对称，则g(x)的最小正周期的最大
12
值为 ( )
π π π π
A. B. C. D.
4 6 2 8


 ，若函数g(x)
, x>1
=f(x)-m零点的个数为3或4，则m的取值范围是
( )
A. 2,4  B. [2,6)∪1 
C. (0,1)∪2  D. (0,1]∪[2,4]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题
给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，
部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点P(4m+3,-3m-4)，若点Q在圆C：(x-1)2
+y2=1上，则 ( )
A. 点P在直线3x+4y+7=0上
B. 点P可能在圆C上
C. PQ  的最小值为1
D. 圆C上至少有2个点与点P的距离为1
10. 下列命题是真命题的是 ( )
A. 若随机变量X~B(10,0.2)，则D(X)=1.6
B. 若随机变量X~N(1,4)，则P(X<0)=P(X>2)
C. 数据x ，x ，x ，x ，x 与数据x +1，x +1，x -
1 2 3 4 5 1 2 3
1，x +1，x +1的中位数可能相等
4 5
D. 数据x ，x ，x ，x ，x 与数据x +1，x +1，x -
1 2 3 4 5 1 2 3
1，x +1，x +1的极差不可能相等
4 5
2
11. 已知函数f(x)=x2+ ，则 ( )
x2
A. f(x)为偶函数
B. 曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线斜率为-2
1
C. ∃x∈(0,1)，f(x)≤f
x

D. 不等式f(x)+exlnx>1.8对x∈(0,+∞)恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
x2 y2 y2 x2 12. 若双曲线M： - =1与双曲线N： -
7 9 m m+8
=1(m>0)的焦距相等，则N的离心率为 .
13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
asinA+bsinB=csinC- 3bsinA，则C= .
14. 数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如
二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字
0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十
进制数为3×52+2×51+4=89.若由数字1，2，3，4
组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出
现，例如12334，则不同的五位五进制数共有
个.若从由数字2，3，4(可重复)组成的三位五进制数
中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概
率为 .
27
数学徐一一 ·27·四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤.
15. 某企业有甲，乙两条生产线，每条生产线都有A，B，
C三个流程，为了比较这两条生产线的优劣，经过长期
调查，可知甲生产线的A，B，C三个流程的优秀率分
别为0.9，0.9，0.8，乙生产线的A，B，C三个流程的优
秀率分别为0.8，0.85，0.92.已知每个流程是否优秀相
互独立.
(1)求甲生产线的三个流程中至少有一个优秀的概
率.
(2)为了评估这两条生产线哪个更优秀，该企业对A，
B，C三个流程进行赋分.当A流程优秀时，赋30分，当A
流程不优秀时，赋0分；当B流程优秀时，赋40分，当B流
程不优秀时，赋0分；当C流程优秀时，赋50分，当C流程
不优秀时，赋0分.记甲生产线的A，B，C流程的赋分分
别为X ，Y，Z ，乙生产线的A，B，C流程的赋分分别为
1 1 1
X 2 ，Y 2 ，Z 2 ，计算EX 1  +EY 1  +EZ 1  与EX 2  +
EY 2  +EZ 2 
y2
16. 已知抛物线M：x2=4y的焦点F为椭圆N： +
a2
x2
=1(a>b>0)的一个焦点，且N的短轴长为4.
b2
(1)求N的方程；
(2)过点F且倾斜角为45°的直线l与N交于A，B两
点，线段AB的中垂线与x轴交于点E，求△ABE的面积.
，并据此判断甲、乙哪条生产线更优秀. 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，
π
∠DAB= ，PD，BC的中点分别为 E，F，PA=
3
PD，AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD.
(1)证明：CE⎳平面PAF.
30
(2)若直线PB与平面PAF所成角的正弦值为 ，
20
求棱PB的长.
28
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·28·18. 设函数fx  2 = +ax.
ex+1
(1)证明：曲线y=f(x)关于点(0,1)对称.
(2)已知f(x)为增函数.
①求a的取值范围.
1
②证明：函数g(x)= ax2+2x-a-2lnex+1 2  存
在唯一的极值点.
③若不等式f-xex  +fm-2ex 
19. 定义：若存在 λ ∈ R，p ∈ (1, +∞)，使得数列
a n +λ⋅pn
<2对x∈[-4,2]
恒成立，求m的取值范围.
 (λ，p均为常数)是公差为d的等差数列，则
称a n  是(λ,p,d)和比等差数列，也称a n  是和比等
差数列，且λ称为该和比等差数列的系数.
(1)若数列b n  是(-2,3,-4)和比等差数列，且b = 1
1，求b n  的通项公式.
(2)设数列a n  的前n项和为S ，且S =2a +n2. n n n
①试问a n  是否为和比等差数列？若是，求该和比
等差数列的系数；若不是，请说明理由.
n i 4
②证明： < .
2i-a 3
i=1 i
29
数学徐一一 ·29·卷10-广西名校2025届高三上学期第二
次调研考试数学试卷
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的. )
1. 若复数 z = 2024 + 2025i，z = 2025 + 2024i，则
1 2
z 1 -z 2  =( ).
A. 2 B. 5 C. 2 D. 5
2. 已知函数fx  定义域为R，则命题p：“函数fx  为偶
函数”是命题q:“∃x 0 ∈R，满足 fx 0  = f-x 0  ”的
( ) .
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
  
3. 已知向量a，b的模相等且夹角为60°，若向量a与向
 
量λb-a垂直，则实数λ=( ).
A. 2 2 B. 3 C. 2 D. 2
4. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进
行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到
如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
( )
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元 农户比率估
计为6%
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率
估计为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于
4.5万元至8.5万元之间
5. 已知A，B分别为x轴、y轴上的动点，若以线段AB
为直径的圆过点C-2,2 
6. 设函数fx
，则线段AB的中点M的轨
迹方程为( ).
A. x+y+2=0 B. x-y+2=0
C. x-y-2=0 D. x+y-2=0
 =ln1+x4  1 -
1+3x 
，则不等式f2x 
>fx+1  的解集为( ).
1
A. - ,1
3

1
B. -∞,-
3
 ∪1,+∞ 
1 1
C. - ,
3 3

1
D. -∞,-
3

1
∪ ,+∞
3

7. 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面
上，SC是球O的直径.若平面SAC⊥平面SBC，SA
=AC，SB=BC，球O的体积为36π，则三棱锥S-
ABC的体积为 ( )
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
8. 如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出
的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长
x2 y2
线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E: - =
a2 b2
1a>0，b>0  的左、右焦点分别为F，F，从F 发出的 1 2 2
光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和
 
4
D，且cos∠BAC=- ，AB⋅BD=0，则E的离心率
5
为( ).
17 37 10
A. B. C. D. 5
3 5 2
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. )
9.已 知 min a,b 
a, a≤b
 =  ，函 数 f x
b, a>b
 =
minsinx,cosx  ，则( ).
A. fx 
π
关于直线x=- 对称 4
B. fx 
2
的最大值为
2
C. fx 
π π
在- ,
2 2
 上不单调
D. 在0,2π  ，方程fx  =m(m为常数)最多有3个解
30
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·30·10. 已知 O 为坐标原点，点 F1,0  是抛物线 C:y2=
2px(p>0)的焦点，过点F的直线交C于M,N两点，
P为C上的动点(与M,N均不重合)，且点P位于第一
象限，过点P向y轴作垂线，垂足记为点Q，点A2,5  ，
则 ( )
A. C:y2=4x
B. ∠OPQ+∠FON<180°
C. PA  +PQ  的最小值为 26
D. △OMN面积的最小值为2
11. 已知函数fx  =x3-3x2+ax-a+1，则 ( )
A. fx  至少有一个零点
B. 存在a，使得fx  有且仅有一个极值点
C. 点1,-1  是曲线y=fx  的对称中心
D. 当a≤0时，fx  在0,1  上单调递减
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分. )
12. 在单调递增的等差数列a n 
3
中，若a =1，a a = ， 3 2 4 4
则a = .
1
13. 已知3cos2α+β  +5cosβ=0 cosα+β   cosα≠0  ，
则tanα+β 
16. 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知
b+c
tanα的值为 .
14. 甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，
乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分2；
乙班的平均成绩为90分，方差为60分2．那么甲、乙两
班全部90名学生的平均成绩是 分，方差是
分2．
四、解答题(本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤. )
15. 已知函数f(x)=xlnx．
(1)求函数f(x)的图象在x=e处的切线方程；
(2)求函数f(x)的最小值.
 sinB-sinC  =a-c  sinA.
(1)求B；
 
3 3 (2)若△ABC的面积为 ，且AD=2DC，求BD
4
的最小值.
17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜
边的等腰直角三角形，BC⎳AD，CD⊥AD，平面
1
PAD⊥平面ABCD，BC=CD= AD=2.
2
(1)证明：PC⊥BD．
(2)M为PC的中点，求直线BM与平面PCD所成角
的正弦值.
31
数学徐一一 ·31·18. 随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食
堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广
大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，
同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐
厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老
师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月(30
天)选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况
A,A (午餐，晚餐)  A,B  B,A  B,B 
王同学 9天 6天 12天 3天
张老师 6天 6天 6天 12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计
概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐
的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，
求X的分布列和数学期望EX  ；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示
事件“某学生去A餐厅就餐”，PM  >0，已知推出优惠
套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠
套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：PMN 

>PMN 
a2 y2 x2
19. 记直线l:y= 为椭圆 + =1a>b>0
c a2 b2
．
 的上
x2
准线.已知椭圆C :y2+ =1(0<b <1,n∈N* n b2 n
n
 的
上、下焦点分别为F，G ，若椭圆C 上有一点P，记P
n n n n n
到上准线l n 的距离为d n ，且d n 是P n F n  与P n G n  的等
差中项.
(1)当b 取最大值时，求椭圆C 的离心率e ；
n n n
2n+3
(2)令b = ，△PFG 的面积为S ，判断数 n n+2 n n n n
列S n  的单调性并加以证明.
32
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·32·卷11-河北省省级联考2024-2025学年
高三上学期1月期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合M= x x-1    <2  ，N=xx≤2  ，则M∩
∁ R N  = ( )
A. -1,3  B. 2,3 
C. -1,+∞  D. 2,+∞ 
2. 在x2+ x  5的二项展开式中，x4的系数为 ( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
3. 已知等比数列a n  的前n项积为T ，若T =128，则 n 7
a = ( )
4
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
4. 已知圆x2+y2-2x+2y-10=0被直线x-y+2=
0所截，则截得的弦长为 ( )
A. 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 4
5. 设函数 f x  = sinωx+φ  ω>0  ，已知 f a  =
3 - ，fb
2
 1 = ，且 a-b
2
 的最小值为 π，则 ω =
( )
1 1
A. 2 B. 1 C. D.
2 4
M-2 6. 已知某一指数d= (其中数据M为常数，且M
lnN
≠2)可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指
数d的值越大，水质越好．若数据N由N 变化为N ，
1 2
对应的指数d由2.15提高到3.225，则 ( )
A. N =2N B. 2N =3N
1 2 1 2
C. N =N2 D. N2=N3
1 2 1 2
7. 已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的
正方形，PA=PB=2，PC=PD= 3，则直线CD到
平面PAB的距离为 ( )
69 69 23 23
A. B. C. D.
6 3 6 3
8. 已知函数 fx 
1
= -ex-2+sin2x-4
ex-2
 +4，若
fa-2  +f2a2  >8，则实数a的取值范围是 ( )
A. 2,+∞ 
3
B. -2,
2

3
C. -∞,-
2

3
D. -∞,-
2
 ∪2,+∞ 
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小
题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6
分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数z，则下列说法正确的是 ( )
A. 若z  =2，则z=±2
B. 若z+2i∈R，则z的虚部为-2
C. 若z2>0，则z∈R
D. 若z  =1，则1≤z-2  ≤3
10. 已知正数a，b满足2a+b=8，则下列说法正确的是
( )
A. ab≤8 B. 4a2+b2≤32
C. 4<a+b<8 D. a2+3b∈16,24 
11. 已知抛物线 C ：y2 = 2pxp>1  ，直线 l：y =
3
k x-
2
 ，O 为 坐 标 原 点 ；若 A 6,m+2  ，
B24,m+8  两点在抛物线C上，则下列说法正确的是
( )
A. m=±4
3
B. 抛物线C的准线方程为x=-
2
 
C. 若直线l与抛物线C交于P，Q两点，则OP⋅OQ
27
=-
4
D. 若直线l与抛物线C交于P，Q两点，则PQ  +k2
的最小值为6+2 6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知公差大于0的等差数列a n  满足a +a -a = 4 2 1
3，a 4 a 6 =-7，则数列a n  的前8项和为 ．
13. 在边长为2的等边三角形ABC中，点D为边BC的
中点，点P在三角形ABC所在的平面内，且满足DP 
  
=1，则PA⋅CA+CB  的最大值为 ．
14. 最近全国各地的旅游十分火爆，某旅游公司根据市场
调研的情况推出了A，B两个旅游路线方案，通过实践
发现，选择方案A旅游路线与选择方案B旅游路线的
游客比为3:1，该公司为了激励大家消费，设立优惠项
目，即选择方案A旅游路线优惠200元，选择方案B旅
游路线优惠100元(每位游客的选择相互独立)，已知
旅游公司的总优惠金额恰为100n的概率为R ，n∈
n
N*，则R 的关系式为 ．
n
33
数学徐一一 ·33·四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说 x2 y2
17. 已知点F 1 ，F 2 分别为椭圆C： a2 + b2 =1a>b>0
明、证明过程或演算步骤．
15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已
知角B为钝角，b=1，sin2C= 3ccosC．
(1)求角B；
(2)若过B作BH垂直AC于点H，求BH的最大值．
16. 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为直角梯
形，AD⎳BC，AB⊥AD，AB=BC，AD=3BC，
∠SAD=45°，点E在线段AD上，满足AE=2ED，点
F为SE的中点．
(1)证明：CF⎳平面SAB；
(2)若SE⊥平面ABCD，求直线SB与平面SAD所
成角的正弦值；
(3)在(2)的条件下，求平面SAB与平面SCD所成角
的余弦值．

的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点
P在椭圆C上，且满足直线PA与直线PB的斜率之积
3
为- ．
4
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若AB  =4，直线PF与椭圆C的另一个交点为 1
Q，且直线PA  与直线QB  相交于点M，O为坐标原点，
求OM  的取值范围．
34
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·34·18. 已知函数fx  =alnx+1  -sinkx，k∈N*，a∈R．
(1)若k=1，函数fx  在 0, π
 2
 上单调递减，求实数
a的取值范围；
(2)若a=1，k=2，求函数fx  在 - π , π
 4 4

19. 已知有限数列{a }满足a ∈Z，若给定一个正整数 n n
k，在数列{a }中存在一项或一些连续项的和为i，其 n
中i的值可以取遍{1,2,⋅⋅⋅,k}中的所有元素，则称数
列{a }为k级可分解数列．
n 上的零 (1)数列3，1，2是否为4级可分解数列？是否为5级
点个数． 可分解数列？请说明理由；
(2)若有限数列{a }为8级可分解数列，则数列{a }
n n
的项数最少为多少？
(3)若有限数列{a }为20级可分解数列，且a +a +
n 1 2
a +a +a +⋅⋅⋅+a <20，判断数列{a }的项数是否最少
3 4 5 n n
为6项，请说明理由．
35
数学徐一一 ·35·卷12-河南省2024-2025学年高三上学
期TOP二十名校调研考试三数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A=xx2≥4  ，B=x4x<64  ，则A∩B
= ( )
A. 2,3  B. 2,3 
C. -∞,-2  ∪2,3  D. -∞,-2  ∪2,3 
2. 若i2-z   =2，则z+z= ( )
A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i

3. 已知向量a=-3,7 

，b=4-5m,m+15 
 
，且a∥b，
则m= ( )
93 93 73 73
A. B. - C. D. -
22 22 32 32
4. 已知函数fx  满足：∀x∈R，fx  ⋅fx+6  =2，且
f2  =1，则f2024  = ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知函数fx  =2x2-kx-8在1,4  上单调，则实数k的
取值范围为 ( )
A. 2,8 
B. -8,-2 
C. -∞,-8  ∪-2,+∞ 
D. -∞,2  ∪8,+∞ 
6. 已知等差数列a n  满足a +a =22，前8项和S = 3 5 8
100；公比为正数的等比数列b n  满足b -b =12，b 4 2 3
=8，设c n =a bn ，T n 为数列c n  的前n项和，则当T < n
2024时，n的最大值是 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
1
7. 设正实数a，b，c满足2c2-bc+2b2- =0，则当
a
1 5
abc取得最大值时， + -6a的最大值为 ( )
c b
9 11
A. 4 B. C. 5 D.
2 2
π 3π π
8. 已 知 < α < ， < β < π ，
2 4 2
4sinαcosα1-2sin2α  1+sinβ  + 1-cos4α  cosβ=
4α β
0，则sin +
3 3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题
给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，
部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数fx
= ( )
3 1 1 3
A. B. C. - D. -
2 2 2 2
 =lnx-2  ，则 ( )
A. fx  的图象关于直线x=2对称
B. f2024  <f-2024 
C. fx  无零点
D. fx  在1,+∞  上单调递增
10. 数列 a n 
a +2a +⋅⋅⋅+2n-1a
满足 1 2 n =2n+1n∈N* n  ，
记数列a n -20  的前n项和为S ，则 ( ) n
A. a =2n+2 n
B. S =n2-19n
n
C. 数列a n  的前n项和为n2-17n
D. S 的最小值为-72
n
11. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中
一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正
常，每排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度变为
1
原来的 . 由检验知该地下车库一氧化碳浓度
3
y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y=
ft 
ft
，其中

ft 
=R(R为常数).已知空气中一氧化碳
浓度不高于0.5ppm为正常，人可以安全进入车库.若
刚好经过20+4log 2(分钟)，人就可以安全进入车库
3
了，则 ( )
ln3
A. R=- 4
-1 B. R=e 3
C. ft 
1
=243× 3 
t
4
D. 排气12分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数fx  =x3-ax的减区间为-1,1  ，则a的值
为 .
13. 如图，已知AB，CD是圆O的两条直径，E是OA的
    
中点，F是AE的中点，若FC⋅FD+EC⋅ED=kOC

⋅OD，则k= .
36
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·36·14. 已 知 函 数 f x  =
2sin ωx+φ 
3π π
ω>0,- <φ< 2 2  ，满足 f x 1  =
fx 2  =2的x 1 -x 2  的最小值为π，若函数fx  在区间
π 2π  ,
4 3
 内有零点，无最值，则 φ 的取值范围是
.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
15. 设函数y=a2x2+a2x+1，a∈R且a≠0，证明：对于
∀x∈R，a2x2+a2x+1≥0的充要条件是0<a  ≤2.
16. 已知函数fx 
3
=sin3xcos3x- 3sin23x+ .
2
(1)求fx  的单调递增区间；
(2)若fα 
5π
=1，求cos -12α
3

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
a2+c2-b2
的值.

1 1
 - c 2a  =bcosC.
(1)求B；
(2)设b=2 7，c=6，求sin2B+A  的值.
37
数学徐一一 ·37·18. 已知函数fx  =x3+ax2+bx+1a∈R  在x=0和
x=1处取得极值.
(1)求a，b；
(2)曲线y=fx  在相异的两点A x 1 ,fx 1    ，
B x 2 ,fx 2    处的切线分别为l 和l ，且l 和l 的交点在直 1 2 1 2
线x=1上.
9
(ⅰ)求2x2 1 +2x2 2 - 2 x 1 +x 2 
19. 若项数为m(m≥2，m∈N*)的数列 a n
+2xx 的值； 1 2
(ⅱ)求x +x 的取值范围.
1 2
 满足：①
a n  单调递增且a ≥0；②对任意的正整数i,j(1≤i≤ 1
j≤m)，都存在正整数k(1≤k≤m)，使得a +a =a
i j k
或a j -a i =a k ，则称数列a n  具有性质P.
(1)若a n =n1≤n≤3  ，b n =n-11≤n≤4  ，分别判
断数列a n  ，b n  是否具有性质P，并说明理由；
(2)若数列a n  具有性质P，证明：a =0且 1
m-2  a m =2a 1 +a 2 +⋅⋅⋅+a m-1  (m≥2且m∈N*)；
(3)若数列a n  具有性质P且m=6，a =4，求数列 3
a n  的通项公式.
38
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·38·卷13-河南省名校联盟2024-2025学年
高三上学期12月联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数z=1-i  2-i  i3，则复数z在复平面内所
对应的点的坐标为 ( )
A. (3，1) B. -3,-1 
C. 3,-1  D. -3,1 
2. 已知集合A= x x-1    ≤1  ，B=xx2-4x+3>0  ，
则A∩∁ R B  = ( )
A. 1,2  B. 0,1  C. 1,3  D. 0,3 
3. 曲线y=ex-2ax在x=0处的切线经过点2,-1  ，
则实数a的值为 ( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
4. 已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，体积是18 2π，
则圆锥的底面半径为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
5. 函数 fx  1 = 
2
 2sinx+cosx  11π 0≤x≤
12
 的值域是
( )
A. -1,2  B.   1 ,4 2 
C.   1 ,2
4
 D.   1 ,2
2

x2 y2
6. 已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
 的离心率为
5，双曲线C的一条渐近线与圆M:x2+y2-4x-2y
+1=0交于A,B两点，则AB  = ( )
3 11
A. 11 B.
5
2 55
C. 3 D.
5
7. 已知等差数列a n  的前n项和为S ，若S =9,S = n 3 9
3，则S = ( ) 16
400
A. - B. -44
9
134 136
C. - D. - 3 3
8. 已知函数 f x  为偶函数，当 x > x ≥ 0 时， 2 1
fx 2  -fx 1  >0．若对任意的 x∈R,f m2x-2-x x -x 2 1   
≤f4x+4-x  恒成立，则实数m的取值范围是 ( )
A. -3,3  B. -2 2,2 2 
C. -1,1  D. -4,4 
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小
题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6
分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 经过点P1,5  且在两坐标轴上的截距的绝对值相等
的直线方程可能为 ( )
A. y=5x B. y=x+4
C. y=2x+3 D. y=6-x
10. 如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC= 10,A∈平
面α，点B,C在平面α的同侧，AB，AC在平面α内的
射影AB,AC 的长分别为3，4，则 ( )
1 1
A. BC⎳平面α
B. BC =3 1 1
14 5
C. 四棱锥A-BCCB 的体积为
1 1 3
7
D. 平面ABC与平面BCCB 的夹角的正弦值为 1 1 9
x2
11. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: +y2=1的左、
4
右焦点分别为F,F,A为椭圆C的右顶点，B为椭圆C
1 2
的上顶点，P为椭圆C上与椭圆顶点不重合的动点，直
线PA与y轴交于点N，直线PB与x轴交于点M，则
( )
3
A. 椭圆C的离心率为
2
B. 当PF 1 ⊥PF 2 时，PF 1  ⋅PF 2  =3
C. AM  ⋅BN  =4
D. 当点P在第三象限时，若MN⎳AB，则OP  =
10
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
  3π  12. 已知向量a,b的夹角为 ,a
4
  =2,b    =3，若a在b方

向上的投影向量为λb，则λ= ．
13. 已知tanα-β  1 = ,tanα=2，则tan2αtan2β=
2
．
14. 已知函数 fx  x2, 0≤x≤1  =  ，若存在实数x 1 , lnx, x>1
x 2x 2 >x 1 ≥0  满足fx 1  =fx 2 
3x2+1
，则 1 的最大值 x2 2
为 ．
39
数学徐一一 ·39·四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的
文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 在△ABC中，内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，
且asinB+bsinA=2 3c-acosB 
17. 在前n项和为S n 的等比数列a n
．
(1)求A；
2 3 3
(2)若sinB= sinC，△ABC的面积为 ，求a． 3 2
16. 如图，在正方体ABCD-A B C D 中，E为BC的中
1 1 1 1
点，F为CC 的中点，P是AB 的中点．
1 1 1
(1)证明：平面DPD ⊥平面AEFD ；
1 1
(2)求直线DP与平面AEFD 所成角的正弦值．
1 1
 中，a =a2a ,S = 4 1 2 2
6．
(1)求数列a n  的通项公式；
(2)若a 1 >0，记b n =na n ，求数列b n  的前n项和T； n
1
(3)若a <0，记c +c =a ，且c = ，求数列
1 n n+1 n 1 2
c n  的通项公式．
40
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·40·18. 已知函数fx  =ax+1  lnx-a+1  x，其中a≠0．
(1)当a<0时，若函数fx  有两个零点，求实数a
取值范围；
(2)若x=1是函数fx 
19. 已知抛物线C:y2=2px(p为正整数)，M为直线x=
tt<0
的极小值点，求实数a的取值
范围．
 上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线，
切点分别为A,B，记点A,M,B的纵坐标分别为y ,y , 1 0
y (其中y <y )． 2 1 2
(1)证明：y,y ,y 成等差数列； 1 0 2
(2)若t=-2p，记等差数列y,y ,y 的公差为d．
1 0 2
(i)用p和y 表示d；
0
(ii)初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数
学分支．初等数论中有如下定理：若两个正整数的最大公
约数为1，且这两个正整数的乘积是某个正整数的平方，则
这两个正整数都为完全平方数．请用该定理证明下面的
问题：若y 为正奇数，d为正整数，且y ,d,p这三个数两两
0 0
之间的最大公约数都为1，证明：d一定可以表示为某两个
正整数的平方之和．
41
数学徐一一 ·41·卷14-黑龙江省六校2024-2025学年高
三上学期期末联合考试数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小
题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.“a=0”是“复数a+bia,b∈R  是纯虚数”的 ( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. 设集合P= y∣y=ex+1  ,M= x∣y=log 2x-2    ，
则集合M与集合P的关系是 ( )
A. M=P B. P∈M
C. M⊆P D. P⊆M
3. 记S n 为等差数列a n  的前n项和，若a +a =8，a 2 6 12
=16，则S = ( )
15
A. 140 B. 150 C. 160 D. 180
4. 已知O为坐标原点，F为抛物线E:x2=2pyp>0  的
焦点，A为E上的一点，AF垂直于y轴，B为y轴上
一点，且∠BAO=90°，若FB  =4 3，则p= ( )
A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 8 3
1
5.已知cosαsinβ= ,tanα=3tanβ，则sinα-β
6
 =
( )
7 1 7 1 A. - B. - C. D.
9 3 9 3
6. 已知函数 fx  log x,x≥1, = a
-x2+2a-1 
  (a>0
x+a-6,x<1
且a≠1)在定义域内是增函数.则a的取值范围是
( )
A. 2,3  B. 2,3 
C. 2,+∞  D. 1,4 
7. 已知 x2 -x - 2 1
2

11π 11π 11π 11π A. B. C. D.
8 6 4 2
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小
题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6
分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 维生素C又叫抗坏血酸，是种水溶性维生素，是高等
灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴
桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量(单
位：mg)，得到数据如下.则下列说法正确的是 ( )
猕猴桃102 104 106 107 113 116 119 121
132 134
柚 子109 113 114 116 117 121 121 122
131 132
A. 每100克柚子维生素C含量的众数为121
B. 每100克柚子维生素C含量的75%分位数为122
C. 每100克猕猴桃维生素C含量的极差高于每100
克柚子维生素C含量的极差
D. 每100克猕猴桃维生素C含量的平均数高于每
100克柚子维生素C含量的平均数
y2
10. 已知F,F 分别是双曲线x2- =1的左，右焦点， 1 2 2
M是左支上一点，且在x轴上方，过F 作∠FMF 角平
2 1 2 分线的垂线，垂足为N,O是坐标原点，则下列说法正
确的是 ( )
π
A. 若∠MFF = ，则直线MN 斜率为- 3
1 2 2
  π
B. 若∠MFF = ，则FM ⋅FN =2
1 2 2 2 2
C. 若∠MF 1 F 2 =α，则ON
n 的展开式中第9项是常数项，则展开
式中系数的绝对值最大的项是 ( )
A. 第6项 B. 第7项
C. 第8项 D. 第9项
8. 中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊
殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构
示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形
ABCD为矩形，EF∥AB，AB=2EF=2，△ADE与
△BCF都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，
D，E，F 都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为
( )
 =1
D. 若∠MF 1 F 2 =α，则ON  =cosα
11. 已知函数fx  =ax3-6ax2+1a≠0  有且仅有三个
不同的零点分别为x,x ,x ，则 ( )
1 2 3
1
A. a的取值范围是-∞,
32

1
B. a的取值范围是 ,+∞
32

C. xx x =-1
1 2 3
D. x +x +x =6
1 2 3
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
   
12. 平面向量a，b为单位向量，且a-2b 
 
⋅a+b  =-1，
 
则a+2b  = .
42
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·42·13. 已知函数fx  π =cosωx-
3
 ω>0  ，将fx  的图象
π
向右平移 个单位长度得到函数gx
6
 的图象，若
gx  是偶函数，fx  在0,π  上恰有4个零点，则ω=
.
14. 以maxMminM  表示数集M中最大(小)的数.设
a > 0,b > 0,c > 0 ，已知 a2c + b2c = 1 ，则
1 1 1
min max , ,

a b c
 

 = .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的
文字说明、证明过程及演算步骤.

15. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=
a,c-b 
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底
面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°.
(1)求证：直线BD⊥平面PAC；
(2)若点M为线段PC的中点，求二面角C-MB-A
的正弦值.
  
，b=(sinC+sinB,sinA+sinB)且a∥b．
(1)求角C；
3 3
(2)若c=3 2,△ABC的面积为 ，求△ABC的
2
周长．
17. 已知函数fx  =e2x-ax-1.
(1)讨论fx  的单调区间；
(2)若fx  在区间0,+∞  上存在唯一零点x ，证 0
明：x <a-2.
0
43
数学徐一一 ·43·18. 某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，
进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班
级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采
取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采
取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，
根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同
分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以3:0或
3:1取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中
以3:2取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第
6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为
p0<p<1  ．
(1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，
则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？
2
(2)在第6场比赛中，当p= 时，设甲所得积分为
3
X，求X的分布列及期望
(3)在第6场比赛中，记甲3:1取胜的概率为fp  ，求
fp 
x2 y2
19. 已知椭圆E: + =1a>b>0
a2 b2
的最大值．
 的离心率e=
2
.
2
(1)若椭圆E过点2, 2  ，求椭圆E的标准方程.
(2)若直线l 1 ,l 2 均过点Pp n ,0  0<p n <a,n∈N*  且
互相垂直，直线l 交椭圆E于A,B两点，直线l 交椭圆E
1 2
于C,D两点，M,N分别为弦AB和CD的中点，直线MN
与x轴交于点Qt n ,0 
1
，设p = . n 3n
①求t ；
n
②记a n =PQ  ，求数列 1  a
n
 的前n项和S . n
44
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·44·卷15-湖南省名校教育联盟2024-2025
学年高三上学期12月大联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A=x∣2x≤3  ，B=x∣x=2n-1,n∈N  ，
则A∩B= ( )
A. -1,0,1  B. -1,1 
C. 1  D. ∅
2. 等比数列a n  的前n项和为S ，a +a =3，a +a n 1 4 2 5
=6，则S = ( )
6
A. 27 B. 24 C. 21 D. 18
3. 已知复数z 在复平面内所对应的点位于第一象限，且
1
z 2 2 =
z 1 1+i 
，则复数z 在复平面内所对应的点位于
2 2
( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限

4. 已知向量a=cosθ,1 

，b=1,sinθ 
 
，若a-b 

⊥b，
3-cos2θ
则 的值为 ( )
sinθ+cosθ
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 已知fx 
2x⋅sinx
= 是偶函数，则a= ( )
2ax-1
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
6. 将函数fx 
π
=cosωx+
6
 ω>0  的图象向右平移
π
个单位长度后得到函数gx
3
 的图象，若函数gx 
π π
在区间 ,
3 2
 上单调递减，则ω的最大值为 ( )
A. 6 B. 5 C. 3 D. 2
x2 y2
7. 已知F 1 ，F 2 分别是椭圆C: a2 + b2 =1a>0,b>0 
的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，过点A的直线l
与椭圆C相交于另一点P，且F 1 F 2  =PF 2  ，椭圆C的
1 离心率为 ，则直线l的斜率为 ( )
2
3 1 A. ± B. ±
2 2
2 1
C. ± D. ±
3 3
8. 定义fx  =fx  的实数根x为fx  的“坚定点”，已
知a>0，且a≠1，则下列函数中，不存在“坚定点”的
是 ( )
A. fx 
B. fx
=asinx
 =lnax
C. fx  =x3+2x2+ax+a
D. fx  =eax
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小
题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6
分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 已知x>y>0，则下列结论一定正确的是 ( )
1 1 x+y
A. < B. >2 x y xy
1 1
C. 0.2x>0.2y D. < lnx lny
10. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A B C D 中，
1 1 1 1
M，N分别为线段B C ，BB 上的动点(包括端点)，点
1 1 1
P在底面ABCD内运动(包括边界)，则下列说法正确
的有 ( )
A. 存在唯一的M，P，使得MP⊥AC
1
B. 存在唯一的M，P，使得MP⎳AC
1
C. 若M为线段BC 的中点，且MP⎳平面ABD ，则
1 1 1 1
2
动点P的轨迹的长度为
2
D. 若M为线段BC 的中点，则MP+PA 的最小值
1 1 1
21 为
2
11. 在平面直角坐标系中，已知F 1-3,0  ，F 23,0  ，O为
原点，P为平面内的动点，且PH垂直于y轴，垂足为
H，则满足下列条件的动点 P 的轨迹为椭圆的是
( )
A. PF 1  +PF 2  =10
B. PF 1  ⋅PF 2  +PO  2=41
PH C. 
PF 1  +PF 2 
5 =
6
PH
D.

PF 1  -PF 2   
5
=
6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 写出一个半径为 13，且与直线2x-3y+6=0相切
于点3,4  的圆的方程： ．
13. 已知a，b，c成等差数列，若直线l:ax+by+c=0与
b+c 45 曲线y=ex-1+lnx-3相切，则 = ．
a
数学徐一一 ·45·14. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD= 5，
AD=BC=3，BD=2，现将△ABD沿BD折起，得到
三棱锥A-BCD，且AC= 6，则三棱锥A-BCD外
接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
15. 已知△ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，
1
△ABC的面积S= b2-ab
4

x2 y2
17. 已知O为坐标原点，椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
tanC．
(1)证明：C=2A；
(2)若CD为∠ACB的平分线，交AB于点D，且a=
6
，CD=1，求BD的长．
5
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯
形，AB∥CD，AD=DC=2，AB=4，△PBD为等边
三角形，且平面PBD⊥平面ABCD．
(1)作出点B在平面PAD的射影E，并证明；
(2)求平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值．

3
的左、右顶点分别为A，B，点P-1,
2
 在椭圆C上，
直线PA，PB的斜率分别为k ，k ，且k +k =1．
1 2 1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过P的直线l交C于另一点Q，且由点P，Q，
9
A，B组成的以PA为一边的四边形的面积为 ，求l的方
2
程．
46
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·46·18. 已知函数fx  =x2-2x  ex．
(1)求fx  的单调区间；
(2)当x<0时，fx  <ax恒成立，求实数a的取值范
围；
(3)关于x的方程fx 
19. 某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买
特定商品．参与此活动的商品有1积分的签字笔，2积
分的草稿本和2积分的便利贴．要求每天必须用积分
购买商品且每天只能购买一次．花2积分购买草稿本
=b有两个不相等的正实数解 或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．
b+2be+4e2 (1)假设梅菊同学充值4积分，则该同学有多少种方
x ，x ，且 3-1<x <x ，求证：x -x < ．
1 2 1 2 2 1 2e2 式用完积分(只写出答案，不用写过程)；
(2)假设代仕同学有n点积分，该同学用完n点积分
的方式种数记为a ，求a 表达式；
n n
1
(3)设b n = a ，记b n
2n-1
 的前n项和为S ，证明：S n n
4
< ．
3
47
数学徐一一 ·47·卷16-湖南省长沙市第一中学2024-
2025学年高三上学期阶段性检测（五）
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合A=a,a2  ，B=1,4  ，若1∈A，则A∪B
中所有元素之和为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 若复数z=2+i  1+ai  为纯虚数a∈R  ，则z  =
( )
A. 3 B. 3 C. 5 D. 5
1
3. 已知x+
2x2

n
的展开式中第3项与倒数第3项的二
项式系数之和等于 72，则该展开式中的常数项为
( )
21 63 21 9
A. B. C. D.
2 16 16 32
4. 已知某种零件的尺寸(单位：mm)在[83.8,86.2]内的
为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态
分布N85,σ2  ，且P(X<83.8)=0.1，则估计该企业生
产的2000个该种零件中合格品的个数为 ( )
A. 1600 B. 1400 C. 800 D. 20
5. 已知函数fx  =2x-kx-b恰有一个零点x ，且b> 0
k>0，则x 的取值范围为 ( ) 0
1-ln2
A. -∞,
ln2

ln2
B. -∞,
1-ln2

1-ln2 C.  ,+∞
ln2
 ln2 D.  ,+∞
1-ln2

6. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，在我国有四五
千年的历史，是青少年们十分熟悉的玩具如图所示的
陀螺可近似看作一个圆锥与一个圆柱的组合体，圆柱
和圆锥的底面半径均为6cm，高均为9cm，若该陀螺是
由一个球形材料前去多余部分制成，则该球形材料的
表面积的最小值为 ( )
A. 52πcm2
640π
B. cm2
3
4000π
C. cm2 3
D. 400πcm2
7. 已 知 函 数 f x  = x-1  3 + a 与 g x  =
bx2 b≠0
x2-2x+2
 的图象依次交于A，B，C三点，且
恒有AB  =BC 
8. 已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA
⊥平面ABCD，AD=2AB=4PA=4，点M，N分别
为线段AD，CD上一点，E为BC的中点，当PM+
MN+EN取得最小值时，三棱锥P-EMN的体积为
( )
1 1 2 3 A. B. C. D.
2 3 3 4
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题
给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，
部分选对的得部分分，有选错的得0分)
 
9. 设a，b是两个非零向量，下列命题正确的是 ( )
   
A. 若a⋅b=0，则a∥b
  
B. 若a⋅b=a
a
，则 = ( ) b
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2


⋅b 
 
，则a∥b
     
C. 若a⊥b，则a⋅b=a⋅b 
2
  D. 若a+b    =a-b    ，则a⊥b
10. 已知O为坐标原点，抛物线y2=2pxp>0  上有异于
原点的Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  两点，F为抛物线的焦点，
以A,B为切点的抛物线的切线分别记为PA，PB，则
( )
p2
A. 若xx = ，则A,F,B三点共线
1 2 4
B. 若yy =-p2，则A,F,B三点共线
1 2
π
C. 若∠APB= ，则A,F,B三点共线 2
1 D. 若
FA 
1 +
FB 
2 = ，则A,F,B三点共线
p
11. 设 a 1 ，a 2 ，⋯，a na 1 ≤a 2 ≤⋅⋅⋅≤a n  、b ，b ，⋯， 1 2
b nb 1 ≤b 2 ≤⋅⋅⋅≤b n  为两组正实数，c ，c ，⋯，c 是b ， 1 2 n 1
b ，⋯，b 的任一排列，我们称S=ac +a c +a c +⋅⋅
2 n 1 1 2 2 3 3
⋅+a c 为这两组正实数的乱序和，S =a b +a b +
n n 1 1 n 2 n-1
a b +⋅⋅⋅+a b 为这两组正实数的反序和，S =ab +
3 n-2 n 1 2 1 1
a b +a b +⋅⋅⋅+a b 为这两组正实数的顺序和.根据 2 2 3 3 n n
排序原理有S ≤S≤S ，即反序和≤乱序和≤顺序 1 2
和.则下列说法正确的是 ( )
A. 数组1,2,3,4  和1,3,5,7  的反序和为30
B. 若A=x2+x2+⋅⋅⋅+x2，B=xx +x x +⋅⋅⋅
1 2 n 1 2 2 3
+x x +x x ，其中x ，x ，⋯，
n-1 n n 1 1 2
x nx 1 ≤x 2 ≤⋅⋅⋅≤x n  都是正实数，则A≤B
C. 设正实数a ，a ，，a 的任一排列为c ，c ，c ，则
1 2 3 1 2 3
a a a
1 + 2 + 3 的最小值为3
c c c
1 2 3
D. 已知正实数x ，x ，⋯，x 满足x +x +⋅⋅⋅+x = 1 2 n 1 2 n
x2 x2 x2 x2
P，P为定值，则F= 1 + 2 +⋅⋅⋅+ n-1 + n 的
x x x x 2 3 n 1
P
最小值为
2
48
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·48·三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
2
12. 已知王明在射箭游戏中射一箭中靶的概率为 ，若每
3
箭是否中靶相互独立，则王明射3箭恰好有2箭中靶
的概率为 ．
π
13. 已知 tanx+
7

2
=- ，x 为第二象限角，则
4
10π
sinx+
21
 = .
14. 欧拉函数φn  n∈N*  的函数值等于所有不超过n
且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个整
数称为互质整数)，例如：φ3  =2，φ4  =2.记a = n
φ10n 
φ5n  ，数列a n 
16. 如图，在平行六面体ABCD-A B C D 中，侧面
1 1 1 1
ABBA 是菱形且与底面ABCD垂直，M是棱AB 的
1 1 1 1
中点，N是线段BD上一点，且BD=4BN，MN⊥
BD，AB= 3AB=AD=2 3.
1
(1)证明：侧面BCCB是矩形；
1 1
的前n项和为S n ，若S n +n-1≤
(2)求直线CC
1
与平面A
1
MN所成角的正弦值.
λa 恒成立，则实数λ的取值范围为 .
n
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.)
15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
acosB+bcosC=c．
(1)求证：△ABC是等腰三角形．
(2)若A=30°，△ABC的周长为2+ 3，求△ABC的
面积．
17. 已知函数fx  =x-alnx．
(1)求曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线方程；
(2)求fx  的单调区间；
(3)若关于x的方程x-alnx=0有两个不相等的实
数根，记较小的实数根为x 0 ，求证：a-1  x >a． 0
49
数学徐一一 ·49·18. 甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，
⋯，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸
牌上的数字为a，随后将纸牌放回(后面每次抽牌记录
数字后都需将纸牌放回)，接下来甲有2种选择：
①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若a+b>
N，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一
次；
②直接结束抽牌，记b=0，换由乙抽牌一次．
记乙抽到的纸牌上的数字为c，若a+b+c≤N，则乙
赢，否则甲赢．游戏结束．
(1)若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；
(2)若甲抽牌2次，求甲赢的概率；
(3)当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件
时，甲选择②赢得游戏的概率更大？(结果用含N的式子
表示)
参考公式：若数列a n  的通项公式为a n =n2，则a n 
nn+1
的前n项和S =
n
 2n+1 
19. 如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫
做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点M作x轴的垂线交
其“伴随圆”于点N，称点N为点M的“伴随点”．已知
x2 y2
椭圆E: + =1a>b>0
a2 b2
．
6

1
上的点 3,
2
 的一
个“伴随点”为 3,1  ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点-3,0  的直线l与椭圆E交于不同的两点
A,B，点C与点A关于x轴对称．
(ⅰ)证明：直线BC恒过定点；
(ⅱ)记(ⅰ)中的直线BC所过的定点为T，若B,C在
直线x=-3上的射影分别为B ,C (B ，C 为不同的两
1 1 1 1
点)，记△TBB ，△TCC ，△TBC 的面积分别为S,S ,S ，
1 1 1 1 1 2 3
S +S
求 1 2 的取值范围．
S
3
50
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·50·卷17-湖南省长沙市雅礼中学2025届高
三上学期1月综合自主测试数学试题
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中
一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为
( )
A. 中位数 B. 众数
C. 平均数 D. 方差
2. 已知集合A= -5,-1,1,5  ，B= xa<x<a+3  ，
若 A ∩ B 中有 2 个元素，则实数 a 的取值范围是
( )
A. -2,-1  B. -2,-1 
C. -2,2  D. -5,-1 
3. 已知数列a n  是等差数列，若s、t、p∈N*，则“2a = t
a +a”是“2t=s+p”的 ( )
s p
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数fx  =cosx⋅ln2x+2-x  在区间-3π,3π 
6. 已知函数 fx
上的
图象可能是 ( )
A. B.
C. D.
5. 米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的
用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁
的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米
斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近似看
成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底
面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米(米均匀分
布在米斗中)，则该米斗中米的深度与米斗高度的比值
为 ( )
3 9 3 7
A. -1 B. -1
2 2
2 3 14
C. -1 D. -1
3 2
 ωx =sinωx+2cos2 (ω>0)在区间
2
π 3π
 ,
2 4
 上单调递增，则ω的取值范围是 ( )
A. 0,4  2 B. 0,
3
 ∪  8 ,4
3

1 C. 0,
3
 ∪  5 ,3
2
 D.   5 ,3
2

7. 已知数列a n 
a
满足a =1，a = n (n∈N*). 1 n+1
1+ a
n
记数列a n  的前n项和为S ，则 ( ) n
3
A. <S <3 B. 3<S <4
2 100 100
9 9
C. 4<S < D. <S <5
100 2 2 100
8. 已知A,B,C,D是半径为2的圆O上的四个动点，若
   
AB = CD = 2，则 CA ⋅ CB + DA ⋅ DB 的最大值为
( )
A. 6 B. 12 C. 24 D. 32
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题
给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，
部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知复数z,z ,z ，下列说法正确的有 ( ) 1 2 3
 
A. 若z 1 z 1 =z 2 z 2 ，则z 1  =z 2 
B. 若z2+z2=0，则z =z =0
1 2 1 2
C. 若zz =zz ，则z =0或z =z
1 2 1 3 1 2 3
D. 若z 1 -z 2  =z 1 +z 2  ，则zz =0 1 2
1
10. 已知二项式ax2+
x

n
(其中a∈R)的展开式中存在
常数项，且展开式的项数不超过9，则下列说法正确的
是 ( )
A. n的所有取值组成的集合中有且仅有3个元素
B. 若当n取最大值时常数项为30，则a=± 2
C. 若当n取最小值时函数fx 
1
=ax2+
x

n
的图象
在点 1,f1   
1
处的切线与x轴平行，则a=
2
D. 若二项展开式中的所有项的系数和为0，则a=-1
11. 对于x∈0,1  ，fx  满足fx  +f1-x  =1，fx  =
x
2f 3  ，且对于0≤x 1 ≤x 2 ≤1.恒有fx 1  ≤fx 2  .则
( )
100 i
A. f
100
i=1

101 1
 = B. f
2 6

1
=2f
24

1
C. f
80

1 1 1
= D. ≤f
80 32 160

1
≤
16
51
数学徐一一 ·51·三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 设α,β是空间中两个不同的平面，a，b，c是空间中三
条不同的直线，α⎳β,a⊂α,b⊂β,c⊥a,c⊥b，给出下
列五个结论，请写出一个一定正确结论的序号
.①a⎳b；②a,b是异面直线；③a,b没有公共
点；④a与β没有公共点；⑤c⊥α.
x2 y2
13. 已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
 的左焦点为
F，过F的直线l交圆x2+y2=a2于A，B两点，交C的
右支于点Q，若FA  =AB  =BQ  ，则C的离心率为
.
14. 数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研
究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》
中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音
工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的
应用.已知对于正整数a,nn≥2  ，若存在一个整数x，
使得n整除x2-a，则称a是n的一个二次剩余，否则
为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个
整数a，记事件A=“a与12互质”，B=“a是12的二
次非剩余”，则PA  = ；PB∣A  = .
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.)
15. 已知函数 fx  =aex+x+2，曲线y= fx  在点
1,f1    处的切线与x轴平行．
(1)求实数a的值；
(2)若对于任意x∈e,+∞  ，fx 
16.“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、
滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼
结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学
们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项
目均采用2n-1n≥2,n∈N∗
≤λx恒成立，求实
数λ的取值范围．
 局n胜的单败淘汰制，
即先赢下n局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱
的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子
游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为
p0<p<1  ，乙获胜的概率为1-p.
2
(1)若n=2，p= ，设比赛结束时比赛的局数为X， 3
求X的分布列与数学期望；
(2)设采用3局2胜制时乙获胜的概率为P，采用5
2
局3胜制时乙获胜的概率为P，若P >P，求p的取值范
3 3 2
围.
52
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·52·17. 如图，在底面为正方形的四棱锥 E - ABCD 中， 18. 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，直线l过
∠EAB=60°，∠EAD=45°，AE=2AB=2. 点F交C于A,B两点，C在A,B两点的切线相交于
点P,AB的中点为Q，且PQ交C于点E．当l的斜率
为1时，AB
(1)求证：AB⊥平面BCE.
 
(2)若EF=λAB(λ>0)，且三棱锥F-BCE的体积
是四棱锥E-ABCD体积的一半.
①求点C到平面AEF的距离；
②求平面AEF与平面BCF所成二面角的正弦值.
 =8．
(1)求C的方程；
(2)若点P的横坐标为2，求QE  ；
(3)设C在点E处的切线与PA,PB分别交于点M,
N，求四边形ABNM面积的最小值．
53
数学徐一一 ·53·
19. 定义两个 n 维向量 a i = x i,1 ,x i,2 ,⋯,x i,n 

，a = j
x j,1 ,x j,2 ,⋯,x j,n 
 
的数量积a ⋅a =x x +x x +⋯ i j i,1 j,1 i,2 j,2
   
+x x (i,j∈N )，a ⋅a =a2，记x 为a 的第k个分
i,n j,n + i i i i,k i

量(k≤n且k∈N + ).如三维向量a 1 =2,1,5 

，其中a 1
的第2分量a =1.若由n维向量组成的集合A满足
1,2
以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；
②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意
     
两个元素a，a ，满足a2=a2=T(T为常数)且a ⋅a
i j i j i j
=1.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集：
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由：
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所
有元素的第k分量和S =T.
k
54
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·54·卷18-湖南省长沙市第一中学2024-
2025学年高三上学期月考试卷（四）数学
试题
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合A={x∣0<x<a},B={x∣1≤x<2}，若
B⊆A，则实数a的取值范围为 ( )
A. 2,+∞  B. 2,+∞ 
C. 0,2  D. 0,2 
2. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条
直线，则“α⎳β”是“m⎳β”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数 z 满足 z  = 1，则 z-2i  的取值范围为
( )
A. 0,2  B. 1,3  C. 2,4  D. 1,9 
4. 已知函数fx 
x2
= +mlnx-2x，x∈0,+∞ 2  有两
个极值点，则实数m的取值范围是 ( )
A. -∞,0  B. -∞,1 
C. -1,+∞  D. 0,1 
y 5. x2-
2
 3 的展开式中x2y的系数为 ( )
1 3 1 3
A. - B. C. D. -
4 4 4 4
6. 已知sinα+β  +sinα-β 
1
=1，cos2β=- ，β∈
9
π
0,
2
 ，则sinα= ( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 3 3 4
x2 y2
7. 已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
 的左、右焦点
分别为F，F，点P在C的左支上，当 PF 1
1 2

PF 2 
取最大值
2
1
时，C的离心率的取值范围为 ( )
8a
A. 1,3  B. 1,2 
C. 1, 3  D.  2,3 
8. 若等差数列a n 
对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)
1 1 1 1
9. 实数a，b，c，d满足： > >0> > ，则下列
a b c d
不等式正确的是 ( )
A. c2<cd B. a+c<b+d
c d
C. ad<bc D. <
a b
10. 已知事件A，B，C为随机事件，且0<PA
满足a2+a2 ≤10，则S=a +a 1 100 100 101
+⋯+a 的最大值为 ( )
199
A. 600 B. 500 C. 800 D. 200
二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小
题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选
 <1，则
( )
A. 若事件B与事件C对立，则PBA  +PCA  =1
B. 若PBA  +PCA  =1，则事件B与事件C对立
C. 若事件A与事件B独立，则PBA  =PB 
D. 若PBA  =PB  ，则事件A与事件B独立
11. 已知曲线 C:x2+y2  2 - 4x2 = 0，点 M x 1 ,y 1  ，
Nx 2 ,y 2  为曲线C上任意两点，且x <0<x ，则 1 2
( )
A. 曲线C由两个圆构成
 
B. OM-ON  ∈0,4 
 
C. OM+ON  ∈0,2 
  D. OM ⋅ON ∈ -4, 1
 2

三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
12. 如图所示，已知A船在灯塔C北偏东80°的方向，且
A，C间的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°的方
向，且A，B两船间的距离为3km，则B，C间的距离为
km.
13. 已知A，B，C是抛物线y2=12x上三个动点，且
△ABC的重心为抛物线的焦点F，则△ABC的三条中
线的长度之和为 .
14. 如图，在空间几何体ABCDEF中，平面ABC∥平面
DEF,BF∥CE,BF⊥平面ABC,BC=EF=4 2,CE
π
=2,∠EDF=∠BAC= ，则几何体ABCDEF的外接
2
球的体积为 .
55
数学徐一一 ·55·四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
15. 某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有
A、B两种农产品供选择，每人只购其中一种.大家约
定：每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买
哪种农产品.若掷出点数为1或2，购买农产品A，若掷
出点数大于2，则购买农产品B.
(1)求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率；
(2)用ξ,η分别表示这4个人中购买农产品A和B的
人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与数学期望
EX 
17. 已知正项数列a n
.
16. 如图，三棱柱ABC-ABC 中，四边形AABB是边
1 1 1 1 1
长为2的正方形，D，E分别为AB，BB 的中点，AE
1
与A B交于点F，若AE⊥A C，且平面ABC⊥平面
1 1
AABB.
1 1
(1)求证：CD⊥平面AABB；
1 1
(2)若三棱柱ABC-ABC 的体积为4，求锐二面角
1 1 1
A-CF-A 的余弦值.
1
 的前n项和为S n ，数列a2 n  的前
n项和为T，满足a =3，当n≥2时，2T =S2.
n 1 n n
(1)求数列S n  的通项公式；
1 1 1 11
(2)求证： + +⋯+ < .
S -2 S -2 S -2 8
1 2 n
56
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·56·18. 已知fx  =axx>0  ，其中a>0，a≠1.
(1)若y=x与y=fx  相切，求实数a的值；
(2)当a>1时，证明：x-1  x2fx  1 -f x      ≥0；
(3)若不等式fx 
1
+f
x

x2 19. 如图，已知椭圆的标准方程为 +y2=1，F，F 分别
2 1 2
为椭圆的左、右焦点，点A为椭圆上一动点，且在x轴
上方，延长AF，AF 分别交椭圆于点B，C. 1 2
≥2a恒成立，求实数a的
取值范围.
(1)证明：△ABC的周长大于4 2；
(2)若AF 1  =3AF 2  ，求直线BC的方程；
(3)求△ABC面积的最大值.
57
数学徐一一 ·57·卷19-湖南省长沙市雅礼中学2025届高
三上学期月考（四）数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合M= x∈Z∣x-1   <3  ,A= -1,0  ,B=
1,2,3,4  ，则 ( )
A. A∪B=M B. B⊆M
C. ∁ A⊆B D. A∩B≠∅
M
2. 已知a>b>c>0，则 ( )
A. a+c>2b+c B. ac<bc
a b
C. > D. ac<bc
a+c b+c
3. 已知随机变量X∼N3,σ2  ，且P(2<x<4)=m,P
(1<x<5)=n，则P(2<x<5)的值为 ( )
m+n n-m
A. B.
2 2
1-m 1-n
C. D.
2 2
4. 已知等差数列a n  的公差d<0,a a =35,a +a = 5 7 4 8
12，记该数列的前 n项和为 S ，则 S 的最大值为
n n
( )
A. 66 B. 72 C. 132 D. 198
5. 如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和
下部分圆台组成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下
底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的
侧面积为3 2+2  π，则瓶子的体积为 ( )
10π 14π 16π
A. B. 4π C. D.
3 3 3
 1
6. 已知平面向量a=sinα,
2

 3
，b= ,cosα
2

8. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水
面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水
轮上点P从水中浮现时(图中点P)开始计时，则下列
0
说法错误的是 ( )
A. 点P第一次到达最高点需要20秒
B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面1米
C. 当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2
米
D. 点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)之间的函
π π
数解析式为h=4sin t-
30 6

，则“a
  
⋅b=1”是“a⎳b”的 ( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 函数y=5 x-1+ 10-2x的最大值为 ( )
A. 2 2 B. 5+ 6
C. 10 D. 6 3
 +2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题
给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，
部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数既是奇函数，又是增函数的是 ( )
A. fx  =xx  B. fx  =lnx 
C. fx 
2x-2
= D. fx
2x+2

4x-1
=
2x
10. 某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴某市的A，B，
C，D四个区参加防疫工作，每名医生只能去一个区，
则下列说法正确的是 ( )
A. 若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法
B. 若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方
法
C. 若甲不去 A区，乙不去 B区，且每区均有人去，则
共有18种不同的安排方法
D. 若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且
每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法
1
11. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l:x=- ，直
2
线l:y=kx+m(k≠0)与抛物线C交于M,N两点，P
为线段MN的中点，则下列结论正确的是 ( )
k
A. 若m=- ，则以MN为直径 圆与l相交
2
B. 若m=-2k，则OM⊥ON(O为坐标原点)
C. 过点M,N分别作抛物线C的切线l ，l ，若l ，l 交
1 2 1 2
于点A，则AP⊥l
5
D. 若|MN|=1，则点P到直线l的距离大于等于
8
58
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·58·三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲、乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲、乙
两人击中无人机的概率分别为0.5、0.4，且甲、乙射击
互不影响.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率
为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那
么无人机被击落的概率为 .
x2 y2
13. 已知F 1 ，F 2 为椭圆C: a2 + b2 =1a>b>0  的左右
焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且PQ 
=F 1 F 2  =2PF 2  ，则椭圆C的离心率为 .
14. 欧拉函数φn  表示不大于正整数n且与n互素(互
素：公约数只有 1) 的正整数的个数. 知 φn  =
1
n1-
p
1

1
1-
p
2

1
⋯1-
p
r
 ，其中p ，p ,⋯,p 是
1 2 r
n的所有不重复的质因数(质因数：因数中的质数).例
如φ100 
1
=100×1- 2 
1
1- 5  =40.若数列a n 
是首项为3，公比为2的等比数列，则φa 1  +φa 2  +
φa 3  +⋯+φa 100 
Y的分布列和数学期望．
nad-bc 附：χ2=
= .
四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
15. 竹编是某地的地方特色，某地区相关部门对该地居民
在过去两年内学习竹编次数进行了详尽统计，然后随
机抽取了80名居民的学习数据，现将整理后的结果呈
现如下表：
学习竹编 合
0 1 2 3 4 5 6
次数 计
男 1 3 5 7 9 9 6 40
女 5 6 7 7 6 5 4 40
合计 6 9 12 14 15 14 10 80
(1)若将这两年学习竹编的次数为3次及3次以上的，
称为学习竹编“先锋”，其余的称为学习竹编“后起之秀”．
请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立
性检验，能否认为性别因素与学习竹编有关系；
学习竹编
性别 合计
后起之秀 先锋
男生
女生
合计
(2)若将这两年内学习竹编6次的居民称为竹编“爱
好者”，为进一步优化竹编技术，在样本的“爱好者”中，随
机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男性人数为Y，求
 2
a+b  c+d  a+c  b+d 
，n=a+b+c
+d
α 0.1 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
α
59
数学徐一一 ·59·16. 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边 17. 已知在钝角△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为
形，侧棱PA⊥平面ABCD，点M在棱DP上，且DM a,b,c,b=a+1，c=a+2，且a为正整数.
=2MP，点N是在棱PC上的动点(不为端点). (1)求边长a；
 
(2)已知CA=3CD，求sin∠CBD.
(1)若N是棱PC中点，完成：
(i)画出△PBD的重心G(在图中作出虚线)，并指出
点G与线段AN的关系：
(ii)求证：PB∥平面AMN；
(2)若四边形ABCD是正方形，且AP=AD=3，当
点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取
最大值.
60
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·60·x2 y2 18. 已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
 的左、右焦点
分别为F,F，且焦距为4，左顶点为E，过右焦点F 的
1 2 2
动直线l交双曲线C于A,B两点，当直线l垂直于x轴
时，AB 
19. 已知函数fx
=6.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C的左支交于点A，右支交于
S 点B，求 △AEF1 的取值范围.
S
△BEF2
 =aex-sinx-a.
(1)当a=3时，求曲线y=fx  在点 0,f0    处的切
线方程；
(2)当a>0时，函数fx 
π
在区间0,
2
 内有唯一
极值点x.
1
(i)求实数a的取值范围；
(ii)求证：fx  在区间0,π  内有唯一的零点x ，且 0
x <2x.
0 1
61
数学徐一一 ·61·卷20-湖南省长沙市长郡中学2025届高
三上学期月考（四）数学试卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 设集合A= x-1<x≤4  ，B= xx2>4  ，则A∩
∁ R B  = ( )
A. x-1≤x<2  B. x-1<x≤2 
C. x-2≤x≤2  D. x-2<x<2 
2. 已知数列a n  是等差数列，若s,t,p∈N*，P:“2a = t
a +a”，Q:“2t=s+p”，则Q是P的 ( )
s p
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知G是△ABC的重心，过点G作一条直线与边
AB,AC分别交于点E,F(点E,F与所在边的端点均不
   
1 1
重合)，设AB=xAE,AC=yAF，则 + 的最小值
x y
是 ( )
4
A. 1 B. C. 2 D. 4
3
4. 若cos2αtan2α+cos2α 
4
= ，则cos4α= ( )
5
2 2 3 3
A. B. - C. - D.
5 5 5 5
5. 已知S n 为数列a n  的前n项和，且S =2a -2，若 n n
λa ≥2log a +3对任意正整数n恒成立，则实数λ的
n 2 n
最小值为 ( )
7 5
A. 4 B. C. 3 D.
2 2
6. 在棱长为4的正方体ABCD-A B C D 中，E,F,G
1 1 1 1
分别是棱BC，BB ,DD 的中点，过FG作平面α，使得
1 1
AE⎳α，则点A到平面α的距离是 ( )
1
2 17 6 17
A. B.
17 17
10 17 14 17
C. D.
17 17
7. 记maxx,y,z  表示x,y,z中的最大数，若a>0，b>
1 3
0，则maxa,b, + 
a b

x2 y2
8. 如图，过原点O的直线AB交椭圆C: + =1(a
a2 b2
>b>0)于A,B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线
AP,AQ，且分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP
 
3
于点 M ，若 AM = AP，则椭圆 C 的离心率为
4
( )
1 3 1 3
A. B. C. D.
3 3 2 2
二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小
题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6
分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9. 已知函数f(x)=x3-x+1，则 ( )
A. f(x)有两个极值点
B. f(x)有三个零点
C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
10. 已知复数z ,z 在复平面内对应的点均在以原点为圆
1 2
z +z 心的单位圆上，且 1 2 =1，则 ( )
zz
1 2
3
A. z +z =1 B. z 与z 实部之和为
1 2 1 2 2
 
C. z2-z2为纯虚数 D. z3+z3+2=0
1 2 1 2
11. 已知函数fx
的最小值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
 的定义域为R，且fx+2  是奇函数，
函数gx  =2-x  fx  ，且gx  在2,+∞  上单调递
增，则下列命题为真命题的是 ( )
A. f-x+2  =-fx+2 
B. gx  在-∞,2  上单调递减
C. 若a<4-b<2，则g2  <gb  <ga 
D. 若ga  >ga+2  ，则a<0
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)
12. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
c-b  sinC=a+b  sinA-sinB  .则A= .
62
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·62·13. 第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月
12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参
观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这
一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行
“购物抽奖送航模”活动.盒中装有5个除颜色外均相
同的小球，其中2个是红球，3个是黄球.每位顾客均
有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出1球，若取出
的是红球，则可领取“隐形战机歼-35A”模型，该小球
不再放回；若取出的是黄球，则可领取“隐形战机歼
-20S”模型，并将该球放回盒中.则在第2位顾客抽中
“歼-20S”模型的条件下，第1位顾客抽中“隐形战机
歼-35A”模型的概率为 .
14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享
有“数学王子”的美誉，函数y=x  称为高斯函数，其
中x∈R，x  表示不超过x的最大整数，例如：-2.1 
=-3，3.1  =3.已知函数fx 
x 8
= + ，则
x2+3x+4 9
函数y= fx    的值域是 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.)
15. 在数列a n  中，a 1 =2，a2 n +a2 n+1 -2a n +2  a n+1 -2 
-4=0.
(1)求证：数列a n  是等差数列；
n+2 (2)设数列
n2+n  ⋅ 2 

 an

16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=PC=CB=BA
1
= AD=2，AD⎳CB ，∠CPD=∠ABC=90°，平
2
面PCD⊥平面ABCD．
(1)求证：PD⊥平面PCA；
(2)点Q在棱PA上，CQ与平面PDC所成角的正弦
6
值为 ，求平面PCD与平面CDQ夹角的余弦值.
3
的前n项和为S ，若
n
S +λ<0恒成立，求λ的取值范围.
n
63
数学徐一一 ·63·17. 已知椭圆E: x2 + y2 =1(a>b>0)与抛物线y2= 18. 已知函数fx
a2 b2
4x有相同的焦点，M为椭圆上一点，F,F 分别为椭圆
1 2
E的左、右焦点，且△MFF 的面积的最大值为 3，过
1 2
点F 做斜率之和为3的两条直线l 和l ,l 与椭圆E交
1 1 2 1
于A,B两点，l 与椭圆E交于C,D两点，线段AB,CD
2
的中点分别为P,Q.
(1)求E的标准方程；
(2)直线PQ是否过定点？若是，求出定点坐标；若不
是，请给出理由.
 =lnx+ex-1.
(1)求fx  的导函数fx  的极值；
(2)不等式fx  ≥kx-1对任意x∈1,+∞  恒成立，
求k的取值范围；
(3)对任意k∈R，直线y=kx+b与曲线y=fx  有
且仅有一个公共点，求b的取值范围.
19. 集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中
的两个非空有限子集 A 和 B，定义和集 A + B =
a+ba∈A,b∈B  .记符号A  表示集合A中的元素
个数.当A  ≥2时，设a ,a ,⋯,a 1 2 A  是集合A中所有
元素按从小到大顺序的一种排列，记集合GA  =
a -a k=1,2,⋯,A
k+1 k
  -1  .
(1)已知集合A=1,3,5  ,B=1,2,6  ，求A+B,
A+B  的值；
(2)已知集合A=1,3,5  ,B=1,2,6  ,C=
1,2,6,x  ，若A+B=A+C，求 GC    的值；
(3)已知A  =B  =mm≥3,m∈N*  ，记集合
GA,B  ={x|x∈GA  或x∈GB  }.
(ⅰ)当m=3时，证明：A+B  =5的充要条件是
GA,B    =1；
(ⅱ)若 GA    =1,A+B  =2m，求 GA,B    的所有
可能取值.
64
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·64·卷21-江苏省南京市江宁高级中学、镇江
第一中学等2024-2025学年高三上学期
12月联考数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知全集 U = 1,2,3,4,5,6  ，A = 1,2,3,4  ，B =
3,4,5  ，则1,2  = ( )
A. A∩∁ U B  B. A∪∁ U B 
C. ∁ U A  ∩B D. ∁ U A  ∪B
2. 在(2x-1)5的展开式中，x2的系数为 ( )
A. -80 B. -40 C. 40 D. 80
3. 一次歌唱比赛中，5位评委给选手的评分(满分10
分)依次为：x，y，8，7，9.若这组数据的平均数为8，
方差为2，则|x-y|的值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知函数f(x)=sin(x+φ)(0<φ<2π)，它的导函数
f(x)的图象如图所示，那么φ= ( )
π 2π 7π 5π
A. B. C. D.
6 3 6 3
5. 已知复数z，则“z 
   
8. 在ABC中，AB=3，BD=DC，AE=2EC，AD与
 
BE 的交点为 O，若 AO ⋅ BC =-2，则 AC 的长为
( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.
9. 已知x>0，y>0，且x+2y=1，则 ( )
2
A. x2+y2的最小值为 9
1 2 B. + 的最小值为9
x y
C. 2x+4y的最小值为2 2
D. log x+log y的最小值为-3
2 2
10. 圆C经过点A(-6,0)，B(0,8)，则 ( )
25π
A. 当圆C关于y轴对称，周长为
2
25
B. 当圆心C在第四象限时，半径大于
3
C. 圆C和直线4x-3y+10=0一定有公共点
D. 当圆C被x，y轴截得的弦长相等时，半径为5 2
11. 正三棱台ABC-ABC 中，AB=2AB =6，AA 与
1 1 1 1 1 1
底面所成角的正切值为3，所有顶点在球O的表面上，
则 ( )
A. AA ⊥BC
1
B. 三棱锥A -ABC的体积为18
1
C. 球O的表面积为60π
D. 经过三点A ，B ，O 平面截底面△ABC的交线
1 1
7
长为
1 2
=1”是“z+ ∈R”的 ( )
z 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
12. 已知lga=0.4771，lgx=-1.5229，则x= (用
C. 充分且必要条件 D. 既不充分又不必要条件
含a的代数式作管).
x2 π 4
6. 双曲线C: -y2=1的右焦点F，过原点O的直线 13. 已知0<β<α< ，tan(α-β)= ，tanα-tanβ
3 2 3
与C相交于P，Q两点，若PF⊥QF，则△PFQ的面 =2，则cosαcosβ= .
积为 ( )
14. 下面给出一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两
1 3
A. B. 1 C. D. 2 项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到
2 2
一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，
7. 已知 f(x)=x3+x-sinx，g(x)为偶函数，当x≥0 又得到一个新的数列；重复以上操作，现将数列1，2按
时，g(x)=f(x)，设a>b>0，则 ( ) 3
照上述方法进行构造；第一次得到的新数列为1， ，
2
A. f(a)+f(-b)>g(b)+g(-a)
5 3 7
2；第二次得到的新数列为1， ， ， ，2；第三次得
B. f(a)+f(-b)>g(b)-g(-a) 4 2 4
C. f(b)+f(-a)>g(a)+g(-b) 9 5 11 3 13 7 15
到的新数列为1， ， ， ， ， ， ， ，2；
8 4 8 2 8 4 8
D. f(b)+f(-a)>g(a)-g(-b)
⋯，记第n次得到的新数列为1，x ，x ，x ，⋯，x ，2，
1 2 3 k
且 T = x + x + x +⋯+x . ①当 n = 5 时，k =
n 1 2 3 k
，②T+T +⋯+T = ，(用数值作答)
1 2 10
65
数学徐一一 ·65·四、解答题：本大题共5小题，共77分. 17. 平面上，动点P到直线l:y= 2x和l :y=- 2x的距
1 2
15. 平面四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠ADC=90°， 离分别为d 1 和d 2 ，且d2 1 +d2 2 =4，记点P的轨迹为E.
∠BAC=∠DAC，AB=CD=2 (1)求E的方程；
(1)记∠BAC=α，求tanα； (2)过点T(0,2)的直线l与E相交于M，N两点，若
(2)求△ABD的面积. 在x轴上存在点S，使得△SMN为正三角形，求直线l的
方程.
16. 如图，边长为6的正三角形ABC中，E为AC的三等
分点(靠近点C)，D,F分别为BC,AB的三等分点(靠
近点B,C).将△CDE沿DE折起到△PDE的位置，连
结PA,PF，取PA中点G，连结GE,GF.
(1)求证：GF⎳平面PDE；
(2)若平面PDE⊥平面ABDE，求二面角G-EF-
D的大小.
66
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·66·18. 设P是坐标平面上一点，曲线Γ是函数y=f(x)的图
象，若过点P恰好能做Γ的k条切线(k∈N)，则称点
P是函数y=f(x)的“k度点”.
(1)在A0,-1  ，B1,2  ，C3,1  这三个点中，选出函
数fx 
19. 一种掷骰子走跳棋的游戏：如图，棋盘上有编号依次
为0，1，2，3，⋯，20的格子，共21个.一枚棋子开始
在0号格子中，玩家每掷一次骰子(一种质地均匀的正
方体形状玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，
=lnx的“1度点”，无需说明理由； 棋子向前跳动一次.若掷出的骰子子点数不小于3点，
x 则跳1格(从i号格子跳到i+1号格子，i∈N)；否则，
(2)若点(a,0)是函数f(x)= 的“2度点”，求实数
ex
跳2格(从i号格子跳到i+2号格子，i∈N).当棋子跳
a的取值范围；
到19号格子或20号格子时，游戏结束.
1
(3)求证：∀k∈N*，点(k,lnk)是函数f(x)= x- (1)棋子跳动3次后，记棋子所在格子编号为X，求X
2
x3的“3度点”. 的分布列；
(2)设棋子跳到编号为n的格子的概率为p (n∈N)，
n
其中规定p =1.
0
①求证：p n+1 -p n  (0≤n≤18,n∈N)为等比数列；
②游戏组织者规定：跳到19号格子，游戏失败，玩家
付给组织者3a(a>0)元；跳到20号格子，游戏胜利，组织
者付给玩家8a元.问此种规则对游戏组织者是否有利？
说明理由.
0 1 2 3 4 ⋯⋯ 19 20
67
数学徐一一 ·67·卷22-江苏省盐城市、南京市2024-
2025学年高三上学期期末调研考试数学
试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题
纸的指定位置填涂答案选项．
1. 已知集合S=-1,1  ，集合T=yy=sinx  ，则S∪
T= ( )
A. ∅ B. S C. T D. R

2. 已知向量a=1,m 

，b=2,-1 
 
．若a⊥b，则实数
m的值是 ( )
1 1
A. -2 B. 2 C. - D.
2 2
3. 设 a 为实数，则“a < 1”是“a-1  a-2  > 0”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在 1+ 33x  8的展开式中，系数为整数的项数是
( )
A. 9 B. 4 C. 3 D. 2
5. 若函数fx  =x2-2xsinα+1有零点，则cos2α的取
值集合为 ( )
A. -1,1  B. 0 
C. 1  D. -1 
6. 设函数 fx  =2sinωx+φ  ω>0,φ 
π
 <
2
 ，若 fx 
的图象经过点0,1  ，且fx  在0,π  上恰有2个零点，
则实数ω的取值范围是 ( )
A.   5 ,+∞ 3  B.   11 , 17  6 6 
C.   5 , 8
3 3
 D.   11 ,+∞
 6

8. 已知点F，F 是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一
1 2
 
点，△PFF 的内切圆的圆心为Q．若5QF +3QF +
1 2 1 2
 
3QP=0，则椭圆Ω的离心率为 ( )
1 2 3 3
A. B. C. D.
2 5 7 8
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分．
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X
(单位：克)．若X~N600,σ2
7. 第15届中国国际航空航天博览会于2024年11月12
日至17日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造
“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的
中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国
际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、
丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有1人，每人
只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条
件下，甲与乙不到同一观展区的概率为 ( )
5 3 2 1
A. B. C. D.
6 4 3 2
 ，其中σ>0，则 ( )
A. PX<600 
1
=
2
B. P592<X<598  <P602<X<606 
C. PX<595  =PX>605 
D. σ越小，PX<598  越大
10. 设z ，z 为复数，则下列说法中正确的有 ( )
1 2
A. z 1  +z 2  =z 1 +z 2 
  
B. z +z =z +z
1 2 1 2
C. 若z 1  =z 2  ，则z2=z2 1 2
D. 若z2<0，则z 为纯虚数 1 1
11. 已知曲线C：x3+y3=1，则 ( )
A. 曲线C关于直线y=x对称
B. 曲线C关于原点对称
C. 曲线C在直线x+y=0的上方
π
D. 曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于
4
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分．请把
答案写在答题纸的指定位置上．
12. 函数fx  =x2+lnx的图象在点1,1  处的切线的斜
率为 ．
13. 已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，点E满
  1 足PE = PD．设三棱锥P-ACE和四棱锥P-
3
V
ABCD的体积分别为V和V，则 1 的值为 ．
1 2 V
2
14. 已知等差数列 a n  的公差不为0．若在 a n  的前
100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成
等差数列的概率为 ．(用最简分数作答)
68
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·68·四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要 x2 y2
17. 已知点 F ，F 分别为双曲线 E ： - =
1 2 a2 b2
的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸
1a>0,b>0
的指定区域内．
15. 在△ABC中，AB=6，BC=5．
(1)若C=2A，求sinA的值；
9
(2)若△ABC为锐角三角形，cosA= ，求△ABC
16
的面积．
16. 如图，在所有棱长都为2的三棱柱ABC-ABC 中，
1 1 1
点E是棱AA 的中点，AB ⊥CE．
1 1
(1)求证：平面AABB ⊥平面ABC；
1 1
 
π
(2)若∠AAB= ，点P满足AC =3AP，求直线
1 3 1 1 1
CP与平面AABB 所成角的正弦值．
1 1
 的左、右焦点，点F到双曲线E的渐近线 1
的距离为2 2，点A为双曲线E的右顶点，且AF =
1
2AF．
2
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若四边形ABCD为矩形，其中点B，D在双曲线
E上，求证：直线BD过定点．
69
数学徐一一 ·69·18. 设函数fx  =ax+ka-x(k∈R，a>0，a≠1).
(1)当k=4时，求fx  的最小值；
(2)讨论函数fx  的图象是否有对称中心.若有，请
求出；若无，请说明理由；
1 (3)当k=0时，∀x∈-∞,
2
 都有fx 
19. 若数列a n
1 ≤ ，
1-2x
求实数a的取值集合.
 满足：对任意n∈N*n≥3  ，总存在i、j
∈N*，使得a n =a i a ji≠j,i<n,j<n  ，则称a n  是融
积数列．
(1)判断数列e2n  是否为融积数列，并说明理由；
(2)若等差数列a n  是融积数列，求a n  的通项公
式；
(3)若融积数列a n  单调递增，a =2，a =8，求使a 1 2 n
=2123成立的n的最值．
70
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·70·卷23-2025届豫赣新三省G20示范高
中12月高三联考数学试卷
组织命题：黄冈市文海教科院
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已 知 集 合 A = x  log 2x   ≤1   ， B =
t  1≤2t≤8t∈Z     ，则A∩B= ( )
A. 0,2  B. 0,1,2 
C. 0,2  D. 1,2 
1-i 2. 若复数z=  2 ，则z
6+8i
  +z  = ( )
2 2 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5

3. 已知平面向量a=5,0 

,b=2,-1 
 
，则向量a+b在

向量b上的投影向量为 ( )
A. 6,-3  B. 4,-2 
C. 2,-1  D. 5,0 
4.“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的 ( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
x2
5. 在平面直角坐标系xOy中，已知A为双曲线C: -
a2
y2
=1(a>0,b>0)的右顶点，以OA为直径的圆与C
b2
的一条渐近线交于另一点M，若AM 
1
= b，则C的
2
离心率为 ( )
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
6. 已知函数fx  =cos2ωx+ 3sinωxcosωx+m(ω>
3
0，m∈R)的最大值为 ，最小正周期为π，若函数
2
fx  在区间0,t  (t>0)上有且仅有1个零点，则t的
取值范围为 ( )
A.   π , 5π
2 6
 B.   π , 5π
2 6

C.   5π , 11π 12 12  D.   5π , 11π 12 12 
7. 设函数 fx  的定义域为 R，fx+1  为奇函数，
fx+2  为偶函数，当x∈0,1  时，fx  =2x2+bx+
c.若f3  -f2  1979 =6，则f
2

8. 已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，
且CA=CB=2AB=4.设E为空间内一点，且A，B，
C，D，E五点在同一个球面上，若AE=2 3，则点E
的轨迹长度为 ( )
A. 2π B. 3π C. 4π D. 5π
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每
小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得
6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下说法正确的是 ( )
A. 两个变量的样本相关系数越大，它们的线性相关程
度越强
B. 设A、B为随机事件，且PA
= ( )
9 3 7 5
A. B. C. - D. -
4 2 4 2
 、PB  ∈0,1  ，若
P B   A  =PB  ，则A、B相互独立
C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到
χ2=4.881>3.841=x ，则依据α=0.05的独立 0.05
性检验，可以认为“X与Y没有关联”
D. 若随机变量X∼N0,1  ，Y∼N2,4  ，则
PX>1  <PY<1 
10. 已知函数fx  =x3-x+1，则 ( )
A. fx  有两个极值点
B. fx  有三个零点
C. 对∀x∈R，f1+2x  +f-1-2x  =2恒成立
D. 直线y=2x-1是曲线y=fx  的切线
11. 星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆
2 2 2
线.已知星形线C:x3 +y3 =a3a>0  上的点到x轴
的距离的最大值为1，则 ( )
A. a=1
B. C上的点到原点的距离的最大值为1
2
C. C上的点到原点的距离的最小值为 2
D. 当点x 0 ,y 0 
1
在C上时，x y ≤ 0 0 8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设1-2x  5=a +a x+a x2+⋯+a x5，则a +a + 0 1 2 5 1 2
⋯+a = .
5
13. 已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，若C上存在三点
P,P,P，且F为△PPP 的重心，则△PPP 三边中线
1 2 3 1 2 3 1 2 3
71 长之和为 ．
数学徐一一 ·71·14. 三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c， 16. 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥PD,△PCD为等
-
c
是1和
tanB
的等差中项，则角B= ；如
边三角形，四边形ABCD为直角梯形，AB⎳CD，AB
a tanA
⊥BC,CD=2AB=2.
图，若D为△ABC外一点，在四边形ABCD中，边长
BC=2，∠DCB=∠B，∠CAD=30°，则CD的最小值
为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说 (1)证明：平面PAD⊥平面PDC；
(2)若PA与平面ABCD所成的角为60°，求平面
明、证明过程或演算步骤.
PBC与平面PAD夹角的余弦值.
15. 为普及人工智能相关知识，发展青少年科技创新能
力，并为中学生生涯规划提供方向，某知名高校联合当
地十所中学举办了“科技改变生活”人工智能知识竞
赛，并将最终从每所中学中各选拔一人进入高校进行
为期一周的体验式活动.结合平时训练的成绩，红星中
学的甲、乙两名学生进入校内最终选拔，组委会为此设
计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题
中，甲能正确解答其中4道，乙能正确解答每个题目的
2
概率均为 ，假设甲、乙两人解答每道题目相互独立，
3
现甲、乙从这6道题目中分别随机抽取3题进行解答：
(1)求甲、乙共答对2道题目的概率；
(2)设甲答对的题目个数为X，求X的分布列及数学
期望；
(3)从期望和方差的角度进行分析，红星中学应选拔 17. 已知数列a n
哪个学生代表学校参加体验活动？
 n2+n 的前n项积M n =2 2 ，数列b n  的前
n项和为S ，b =1，满足2S =nb .
n 1 n n+1
(1)求数列a n  、b n  的通项公式；
b
(2)记c n = b b n+3 a ，数列c n
n+1 n+2 n
 的前n项和为T，若 n
∃n∈N*使t2+t-1<2T 成立，求实数t的取值范围.
n
72
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·72·x2 y2 18. 已知椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
 的左右焦点分别
π
为F，F，上顶点为P，长轴长为4 2，∠FPF = .
1 2 1 2 2
(1)求椭圆C的方程.
(2)若椭圆C上的两动点A，B均在x轴上方，且
1 AF⎳BF，求证：
1 2
AF 1 
1 +
BF 2 
19. 已知函数 fx
的值为定值.
(3)在(2)的条件下求四边形ABFF的面积S的取值 2 1
范围.
 与 gx  的定义域的交集为 D. 若
fx  gx  ≥0对x∈D恒成立，则称fx  与gx  为同
1
号函数，例如xx+ -1
4x

1 1
=x2-x+ =x-
4 2

2
≥0，则函数fx  =x与gx 
1
=x+ -1为同号函
4x
数.若存在区间m,m+2  ，使得fx  gx  ≥0对x∈
m,m+2  恒成立，则称fx  与gx  为部分同号函数.
(1)设函数f 1x  =x-2lnx-1，f 2x  =x-2  2-
10<x<4  ，试问这两个函数中是否为部分同号函数？若
是，请求出m.
(2)设函数fx  =ex-x-2，gx  =ex-lnx+2  -
2.
(i)请判断fx  与gx  是否为同号函数，若是，请写
出证明过程；
(ii)若gx 
a x2+4x+1
≥ + 恒成立，证明：a<
x+2 3
-6.
73
数学徐一一 ·73·卷24-辽宁省点石联考2024-2025学年
高三上学期期末考试数学试题
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小
题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1. 若复数z满足1-i 

z=3-i，则在复平面内z对应的
点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知命题p:∀x>-1，x2-1<0，命题q:∃x>0，
lnx>0，则 ( )
A. p和q都是真命题
B. ¬p和q都是真命题
C. p和¬q都是真命题
D. ¬p和¬q都是真命题
   
3. 已知平面向量a，b满足a-b 
 
=1，a+b 

= 7，且b
 3   
在a上的投影向量为 a，则a与b的夹角为 ( )
2
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
1
4. cos290° +tan230°
tan30°
 = ( )
1 1
A. - B. - C. 1 D. 2
4 2
5. 在高三一次调研考试时，某学习小组对本组6名同学
的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为
15 分 的 解 答 题 ，6 名 同 学 的 得 分 为
x ix i ∈Z,i=1,2,3,4,5,6  ，统计结果为：x <x <x = 1 2 3
x =x <x ，已知这6名同学该解答题得分的第80%
4 5 6
分位数和平均得分均为12分，则该解答题得分的极差
为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 记等差数列a n  的前n项和为S ，公差为d，若a + n 3
a >0，S <0，则 ( )
18 19
A. S <0 B. a +a <0
20 8 14
a
C. a 6 +a 17 <0 D. d 1 ∈-10,-9 
7. 已知函数 fx  =ex-2m，gx  =x2-mx，若过点
m,0  的直线与曲线y=fx  和y=gx 
8. 已知A-3,0
均相切，则
实数m的值为 ( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
 ，B3,0  ，O为坐标原点，点N是圆O:
x2+ y2= 4 上任意一点，点 M 是圆 O 外一点，若
∠AMN=∠BMN，MN⊥BN，则点M的轨迹方程为
( )
y2 x2
A. - =1x≠0
4 5

x2 y2
B. - =1y≠0
4 5

x2 y2
C. - =1y≠0 4 3 
y2 x2
D. - =1x≠0
4 3

二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小
题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知函数fx  =cos2x  -sin2x，则 ( )
A. fx 
π
的一个周期为 2
B. fx 
π
的图象关于直线x= 对称
4
C. fx  在区间 0, π  4  上单调递减
D. fx  ∈-1, 2 
10. 如图，在正三棱柱ABC-A B C 中，AB=AA =2，
1 1 1 1
点Q在底面△ABC内，D，M，N，P分别为棱AB，
AC ，BC ，BB 的中点，则下列结论正确的是 ( )
1 1 1 1 1
1
A. 直线AB 与BC 所成角的余弦值为
1 1 4
π
B. 若AQ= 5，则点Q的轨迹长度为
1 3  
C. 若CQ=λCD0<λ<1  ，则BD⊥AQ 1 1
D. 过M，N，P三点的平面将三棱柱分成两部分的体
5 19
积之比为 (或 )
19 5
11. 已知函数 fx  的定义域为 R，fx  的导函数为
fx  ，f2-x  +f4+x  =0，fx-1  =f5-x  ，当
x∈-2,0  时，fx  >0，则 ( )
A. fx  为偶函数
B. fx  的图象关于点-1,0  中心对称
5
C. f-
2

7
<f
4

2025
D. fk
k=1
 =1
74
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·74·三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知集合A=1,2a,a2+a  ，B=1,2  ，若B是A的
子集，则实数a的值为 .
13. 已知四面体A-BCD的四个顶点均在球O的球面
上，AB=CD，AC=BD，AD=BC，若AB+BC+
CA=12，则球O体积的最小值为 .
14. 某商场举办一个促销活动，一次性消费达到一定金额
可抽奖一次，抽奖规则：在一个不透明的箱子中放有7
个质地、大小完全相同的小球，每个小球的表面上均标
有1个数字，数字为1或2，每次抽奖从箱子中一次性
随机摸取3个小球，若3个小球表面上所标数字之和
为奇数，则中奖，否则不中奖.记标有数字1的小球个
数为m2≤m≤6  ，从商场的角度考虑，若想使中奖率
最低，则m= .
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要
的文字说明，证明过程或演算步骤)
15. 已知a n  为等差数列，其前n项和为S n ，b n  为等比
13
数列，a =-2b =1，a +b = ，S =36.
1 1 2 2 4 6
(1)求a n  和b n  的通项公式；
(2)求数列a n b n 
16.《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》
于2024年3月1日经国务院常务会议审议通过.家电
以旧换新的具体品类包括冰箱、洗衣机、电视、空调、电
脑、热水器、家用灶具、吸油烟机等，每位消费者每类产
品可补贴一件，每件补贴标准不超过2000元，部分品
类及补贴标准如下表.居民甲欲将家中电视机和洗衣
机进行更换，其中更换电视机的概率为0.6，两种电器
只更换一件的概率为0.4，两种电器都不更换的概率为
0.2.
热水 洗衣 电视
品类名称 冰箱 空调
器 机 机
补贴标准(单
1000 1000 1500 2000 2000
位：元/件)
(1)求居民甲在不更换洗衣机的条件下更换电视机的
概率；
(2)居民乙欲从表中5个品类中任选3个不同的品类
进行以旧换新，每个品类只选一件，记居民乙获得政府补
贴为X，求X的分布列与期望.
的前n项和T. n
75
数学徐一一 ·75·17. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB
=2BC=4，∠ABC=120°，E为CD的中点，沿AE将
△ADE折起，如图2.
(1)在图2中证明：EA⊥BD；
(2)若直线BD与平面ABCE所成的角为30°，求平面
ABD与平面DCB所成角的余弦值.
18. 已知函数fx 
1
=xlnx+a -1
x
 +a-1  xa∈R  .
(1)当a=1时，求曲线y=fx  在点 1,f1    处的切
线方程；
(2)若fx  ≥0，求a的取值范围；
(3)当a=1时，记fx  的导函数为fx  ，证明：对∀
x∈0,+∞  ，不等式fx 
19. 定义：如果两个椭圆的长轴长不相等，但离心率相等，
则称两椭圆相似. 已知 C ：A x2 + B y2 =
k k k
1B k >A k >0,k∈N*
≤ex-1+2x-3恒成立.
 与椭圆C:6x2+8y2=3相似.
(1)求A 与B 的关系；
k k
(2)若过原点的直线l分别被C 和C 截得的弦长
k k+1
为L 和L ，证明：A L2=A L 2；
k k+1 k k k+1 k+1
1
(3)若A 1 = 4 ，B 2 =1，A，B两点在C 2 上，Px 0 ,y 0 
为C 上的一个动点，且线段PA，PB的中点都在C 上，判
1 2
断△PAB的面积是否为定值，并说明理由.
76
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·76·卷25-山东省滨州市2024-2025学年高
三上学期1月期末考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已 知 全 集 U = x-3<x<3  ，集 合 A =
x-2≤x<1  ，则∁ A= ( )
U
A. -2,1  B. -3,-2  ∪1,3 
C. -2,1  D. -3,-2  ∪1,3 
1-i 
2. 已知复数z是纯虚数，若 是实数，则z的虚部是
z+2
( )
A. -2i B. 2i C. -2 D. 2
3. 已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，

且y关于x的经验回归方程为y=bx+0.16，由它计算
出成对样本数据(4,1.4)对应的残差为0.12(残差=观

测值-预测值)，则b= ( )
A. 0.28 B. 0.56 C. 0.34 D. 0.48
4. 已知两个等差数列a n  ，b n  的首项分别为1和2，
且a 10 +b 10 =30，则数列 a n +b n  的前20项的和为
( )
A. 165 B. 630 C. 60 D. 330
y2
5. x+
x
 x+y  4的展开式中x2y3的系数为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
6. 已知函数fx  =Asinωx+φ  (A>0，ω>0，0<φ
<π)的部分图象如图所示，则fx  的单调递减区间为
( )
A.   π +2kπ, 7π +2kπ 12 12  (k∈
Z)
B.   π +2kπ, 2π +2kπ
12 3
 (k∈
Z)
C.   π +kπ, 7π +kπ 12 12  (k∈Z)
D.   π +kπ, 3π +kπ 2 2 
8. 已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，两
条渐近线分别为l ，l ，经过右焦点F且垂直于l 的直
1 2 1  
线分别交l ，l 于A，B两点，若FB=3FA，则双曲线
1 2
C的离心率为 ( )
3 2 3 7
A. B. 3 C. D.
2 3 2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在
第小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得
6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知定义域为 R 偶函数 fx
(k∈Z)
5
7. 已知三棱锥P-ABC各个顶点都在半径为 的球
2
O的球面上，且PA=PB=PC，AB=BC=2 2，
∠ABC=90°，则球心O到平面ABC的距离为 ( )
3 5 5
A. B. C. 3 D.
2 2 4
 ，满足 f1-x  =
f1+x  ，当0≤x≤1时，fx  =x．则 ( )
A. fx  的一个周期为2
25
B. f
2

13
>f-
3

C. fx 
1 1 1
> 的解集为- +2k, +2k
2 2 2
 (k∈Z)
D. f2k  =0(k∈Z)
10. 已知袋子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中
4个红球，2个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连
续摸取3次，则下列结论中正确的是 ( )
A. 若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率
4
为
9
B. 若每次取出的球不放回，则第2次取到红球的概率
1
为
3
C. 若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好
有一次取出红球的条件下，第3次取到红球的概率
3
为
5
D. 若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学
期望为2
11. 已知函数fx  =ex-x(其中e=2.71828⋅⋅⋅为自然对
数的底数)，则下列说法正确的是 ( )
A. y=fx  在R上单调递增
B. 曲线y=fx  在点 0,f0    处的切线方程为y=1
C. 若∀x>1，fax  ≥flnx  ，则正实数a的最小值
1 为
e
D. 若em+lnm=2m，则m+lnm<0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
    
12. 设θ为非零向量a与b的夹角，定义：|a×b|=|a|⋅
      
|b|sinθ．若|a|=2，|b|=5，a⋅b=-8，则|a×b|=
．
77
数学徐一一 ·77·13. 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，以F为
圆心的圆与抛物线C交于M,N两点，与准线l交于P,
Q两点，且PQ  =4 3，设直线MF的斜率为k，则k 
= ．
14. 如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ
π
= ，C是扇形弧上的动点，过点C作CD∥OQ，交
3
OP于点D，则△OCD的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列a n  的前n项和S =n2+2n． n
(1)求数列a n  的通项公式；
(2)求数列 2an+ 1
S
n

17. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已
知A=2B．
(1)证明：a2-b2=bc；
 
(2)延长AB至点D，使得AB=3BD，试探究
CD-b
是否为定值？并说明理由．
c
的前n项和T．
n
16. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面
ABCD为矩形，PA=AB=1，PC与平面PAD所成角
5
的正切值 ．
5
(1)求BC的长；
(2)已知G是棱BC上一点，且点D到平面PAG的距
离为 2，求平面PAG与平面PBG的夹角的大小．
78
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·78·18. 设函数y=fx  的定义域为D，其导函数为fx  ，区
间I是D的一个非空子集．若对区间I内的任意实数
x，存在实数 t，使得 x + t ∈ D，且使得 fx+t  ≥
t+1  ⋅ fx  成立，则称函数y= fx  为区间I上的
“Mt  函数”．
(1)判断函数fx  =cosx是否为0,π 
π
上的“M
2

函数”，并说明理由；
(2)若函数gx  =x2-ax是0,2  上的“M2  函
数”．
(ⅰ)求a的取值范围；
(ⅱ)证明：∀x∈1,2  ，gx+2  ≥6lnx-1 
x2 y2 19. 已知椭圆E： + =1(a>b>0)的离心率为
a2 b2
2
，短轴长为2．
2
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l与椭圆E相切于点P．
(ⅰ)证明：直线OP与直线l的斜率之积为定值；
(ⅱ)设椭圆E的右焦点F 关于l的对称点为F  ，
2 2
求证：直线F  P过定点．
2
．
79
数学徐一一 ·79·卷26-山东省齐鲁名校联盟大联考2024
-2025学年高三上学期12月月考数学试
题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A={x|x3-16x=0},B={x||x-1|>2}，
则A∩B= ( )
A. 0  B. -4,4 
C. -4,0  D. 4 
2. 若复数z满足 2-i 

z=3+i，则z的共轭复数z=
( )
A. 1-i B. 1+i C. 2+i D. 2-i
3.“∀x∈1,2  ,x2+ax+1≤0” 一个充分不必要条件
是 ( )
A. a≥-1 B. a≤-2
5
C. a≤- D. a≤-3
2
4. 已知A-5,1  ,B1,1  ,C1,-2  三点，点P在圆x2+
y2=1上运动，则PA  2+2PB  2+3|PC|2的最大值与
最小值之和为 ( )
A. 96 B. 98 C. 100 D. 102
5. 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已
知a=3,b=4,C=2B，则cosC= ( )
1 1 1 1
A. - B. - C. D.
4 8 4 8
6. 已知a=log 2,b=log 4,c=log 6，则a,b,c的大小关
3 6 9
系是 ( )
A. b>c>a B. c>a>b
C. c>b>a D. a>b>c
7. 已知函数f(x)=ln( 1+x2-x)+x3，函数g(x)满足
∀x∈R,g(x-4)+g(-x)=0，若函数h(x)=f(x+2)
-g(x)恰有2025个零点，则所有零点之和为 ( )
A. -4050 B. -4048
C. -2026 D. -2024
8. 记数列a n  的前n项和为S ，若a2 =a2+2a +1， n n+1 n n
且a 1 =0，则S 20 
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在
每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
 
9. 已知平面向量a=(1,2),b=(3,1)，则 ( )
  
A. (a-b)⊥a
 
B. a⎳b
  π
C. a与b的夹角是
4
  3 1 D. a在b上的投影向量是 ,
2 2
的最小值为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

10. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点O是顶点
A在底面BCD内的射影，M为AO的中点，则 ( )
A. BM⊥CM
B. BM⊥AD
2
C. 点D到平面BCM的距离为
2
D. 三棱锥M-BCD的外接球体积为 6π
11. 已 知 函 数 f x  = asin sinx  +
bcoscosx  ab≠0,x∈R  ，则下列说法错误的是
( )
A. fx 
3π
的图象关于直线x= 对称
2
B. 存在a,b，使得fx  为奇函数
C. 当a=b=1时，∃x 0 ∈0,π 
π
，使得fx - 0 2  <0
D. 当a=b=1时，fx  的最小值为cos1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆柱的轴截面是边长为a的正方形，圆锥的轴截
面是边长为b的等边三角形，若圆柱与圆锥的表面积
b
相等，则 = ．
a
x2 y2
13. 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦
a2 b2
点分别为F,F ，若C上存在一点P，使得∠PFF =
1 2 1 2
45°,∠PFF=105°，则C的离心率e= ．
2 1
14. 对 任 意 实 数 a , b , c , d ，均 有 ( ac + bd ) 2 ≤
a2+b2  c2+d2  ，当且仅当ad=bc时等号成立，这个
不等式称为柯西不等式．若关于x的方程e2x+e-2x+
λex+e-x  = 1 - μ 有实根，则 λ2+ μ2的最小值为
80 ．
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·80·四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
15. 记S n 为数列a n 
S
的前n项和，已知 n +1=a +n． n n
(1)证明：a n 
x2 y2
17. 已知椭圆E: + =1(a>b>0)的一个焦点F与
a2 b2
抛物线y2=4x的焦点重合，左、右顶点分别为A,B，且
E 上存在点 P，使得直线 PA 与 PB 的斜率之积为
3
是等差数列； - ．
4
(2)若a,a ,a 成等比数列，求S 的最大值．
1 4 6 n (1)求E的方程．
(2)过点F作直线l 交E于G,H两点(与A,B均不重
1
合)，过原点O作直线l 的平行线l 交E于M，N两点，是
1 2
否存在常数λ，使得|MN|2=λGH
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，O,M,N分别为棱AD,
PC,PD的中点，PO⊥平面ABCD,PO=2，四边形
ABCD是边长为4的正方形.
(1)求证：OM⎳平面PAB；
(2)求平面OMN与平面OMD夹角的余弦值．
 恒成立？若存在，求出
λ的值；若不存在，请说明理由.
81
数学徐一一 ·81·18. 已知函数fx  =x+lnx．
(1)记fx  的图象在点 1,f1    处的切线方程为y=
gx  ，证明：当x>0时，fx  ≤gx 
1
< x2+4x+1；
2
(2)若当x>1时，xfx  -x2>a-2 
19. 16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三
角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等
式.
积化和差：
x-a，求实数 1
sinαsinβ= cosα-β
a的最大整数值． 2
 -cosα+β    ,
1
cosαcosβ= cosα-β
2
 +cosα+β    ，
1
sinαcosβ= sinα+β
2
 +sinα-β    ,
1
cosαsinβ= sinα+β
2
 -sinα-β    ．
和差化积：
α+β α-β
sinα+sinβ=2sin cos ,
2 2
α+β α-β
sinα-sinβ=2cos sin ，
2 2
α+β α-β
cosα+cosβ=2cos cos ,
2 2
α+β α-β
cosα-cosβ=-2sin sin ．
2 2
运用上面的公式解决下列问题：
(1)证明：cos2α-sin2β=cosα+β  cosα-β  ；
(2)若α+β+γ+ω=π，证明：sinα+β  sinα+γ 
=sinαsinω+sinβsinγ；
(3)若函数fx 
sinx sin3x sin5x
= + + +⋯
2 4 6
sin99x
+ ,x∈0,2π
100
 ，判断fx  的零点个数，并说明理
由．
82
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·82·卷27-山东省烟台市2024-2025学年高
三上学期1月期末学业水平诊断数学试
题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题
给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 设集合A=1,a  ,B=0,1-a,2a-1  ，若A⊆B，则
a= ( )
1
A. -1 B. 1 C. D. 0
2
1
2.“ >1”是“lna<0”的 ( )
a
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
π
3. 若cosθ- 6 
2 π
= ，则sin2θ+ 3 6  = ( )
1 1 5 5
A. - B. C. - D.
9 9 9 9
   
4. 已知向量a,b满足a+b 
  
=2 5,a⊥a-2b 

，且b=
1,1   ，则a  = ( )
A. 3 B. 2 C. 5 D. 3
5. 函数fx 
8. 已知fx
x2
=xln 的图象大致为 ( )
1-x2
A. B.
C. D.
6. 已知F为抛物线y2=2x的焦点，直线2x-y-4=0
与抛物线交于A,B两点，则△ABF的面积为 ( )
17 3 17 A. B.
2 2
3 17 3 17
C. D. 4 8
7. 已知三棱锥P-ABC的底面△ABC的面积为6，顶
点P到底面三条边的距离均相等，且三个侧面的面积
分别为3,4,5，则该三棱锥的体积为 ( )
A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 6 3
 为定义在R上的奇函数，其导函数为gx  ，
且gx  -ex为奇函数，则不等式g1-2x  <gx  的解
集为 ( )
1
A. -∞,
3

1
B.  ,1
3

1
C.  ,+∞
3

1
D. -∞,
3
 ∪1,+∞ 
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题
给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，
部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数fx  =sin2x-2cosx，则 ( )
A. fx  的最小正周期为π
B. fx 
π
的图象关于点 ,0
2
 对称
C. fx  在 - 5π ,- π
 6 6
 上单调递减
D. fx  x∈-π,π    图象与x轴有3个公共点
10. 阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面
内一个动点到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0，且
λ≠1)，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.
若点P到点O0,0  与点A2,0  的距离之比为 2，则
( )
A. 点P的轨迹方程为(x-4)2+y2=8
24
B. 点P到直线3x-4y+12=0距离的最小值为
5
C. 点P到圆x2+y2=1上的点的最大距离为5+2 2
D. 若到直线kx-y-2k=0的距离为 2的点P至少
有3个，则-1≤k≤1
11. 若数列a n  满足a n  <1，则称其为“H数列”.给定
数列A k-1k∈N*  ，若A 为“H数列”，定义A 上的 k-1 k-1
a+a
T变换：从A 中任取两项a ,a ，将 i j 添加在
k-1 i j 1+aa
i j
A 所有项的最前面，然后删除a,a ，记新数列为A
k-1 i j k
(约定：一个数也视作数列)，下列结论正确的有
( )
A. 若a 1 ∈0,1  ,a n+1 =2a n -sina n ，则数列a n  为“H
数列”
B. 若a 1 ∈0,1  ,a n+1 =ln2-a n  +a n ，则数列a n  为
“H数列”
C. 若无穷数列A 为“H数列”，则A 为“H数列”
k k+1
1 1 1 1
D. 若数列A 为 , , ,⋯, ，则A 为
0 2 3 4 n n-2
n2+n-2
n>2
n2+n+2

83
数学徐一一 ·83·三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数fx  同时满足以下三个条件，则其一个解析式
可以为fx  = .
①在其定义域内有f-x  =fx  ；②∀x,x ∈ 1 2
0,+∞  ，有 fx 1  -fx 2    x 1 -x 2  <0；③fx 1  fx 2  =
fx 1 x 2  .
13. 在三棱锥V-ABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA
=VB=2VC=2，若点P为三棱锥V-ABC外接球
上一动点，则点 P 到平面 VAC 距离的最大值为
.
x2 y2
14. 已知A,B为椭圆Γ: + =1a>b>0
a2 b2
 上关于原
点O对称的两点(异于顶点)，点C在椭圆上且AC⊥

AB，设直线BC与x轴的交点为P，若|OP|2=2OA⋅

OP，则椭圆Γ离心率的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤.
15. 在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，
sinA-sinC a2-b2
且 = .
sinC c2
(1)求B；
(2)若b=2，求△ABC周长的取值范围.
16. 已知函数fx 
2
=alnx+ ,a∈R.
x+1
(1)若曲线y=fx  在x=1处的切线方程为ax-by
+1=0，求实数a,b的值；
(2)讨论函数fx 
17. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB
∥CD,AB⊥AD，AB=BC=2CD=2,△PBC为等边
三角形.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若二面角A-BC-P的大小为120°，求直线CP
与平面APD所成角的正弦值.
的单调性.
84
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·84·x2 y2 18. 已知 O 为坐标原点 ，双曲线 Γ: - =
a2 b2
1a>0,b>0  的一条渐近线方程为 3x-2y=0，且
点4,3 
19. 已知数列a n
在Γ上.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)若直线l与Γ的右支交于点A,B(异于顶点)，且以
AB为直径的圆过Γ的右顶点.
(i)直线l是否过定点？若是，求出该定点，若否，说明
理由；
 
(ii)设直线AB与y轴交于点M，求OA⋅OB+

6
OM
2的取值范围.
7
 的前n项和S n =2a n -2n∈N*  .
(1)求数列a n  的通项公式；
(2)设b,b ,⋯,b 是a,a ,⋯,a 的任意排列，c 表示
1 2 n 1 2 n n
b
其中同时满足条件①b =a 和② i+1 ∈
1 1 b
i
  1 ,4 4  i=1,2,⋯,n-1  的排列的个数，T n 为数列c n  的
前n项和.
(i)证明：c =T +n+2；
n+3 n
(ii)证明：c -1能被2整除.
2025
85
数学徐一一 ·85·卷28-山东省淄博市2024-2025学年高
三上学期摸底质量检测（1月）数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若z+1  i=z，则复数z的虚部是 ( )
1 1 1 1
A. - B. C. - i D. i
2 2 2 2

2. 已知向量a=-6,2 

，b=m,m+2 
  
，若a⊥b，则b 
= ( )
A. 10 B. 3 C. 4 D. 2 5
3. 已 知 集 合 A = e,log 0.2 0.3,20.2  ，集 合 B =
xx1-x    >0  ，则A∩B子集的个数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4. 已知sinα-β 
2 tanα 1
=- ， =- ，则sinα+β
3 tanβ 3
 的
值为 ( )
2 1 1 2
A. - B. - C. D.
3 3 3 3
5. 若圆柱、圆锥的底面半径和高都与球的半径相等，则
圆柱、圆锥、球的体积之比为 ( )
A. 1:2:3 B. 2:1:3 C. 3:1:2 D. 3:1:4
6. 已 知 函 数 f x  =
x2-ax+1, x≥1 
 a>0,a≠1 log x+ax-1, 0<x<1 a  是 0,+∞  上
的单调函数，则实数a的取值范围是 ( )
A. 1,2  3 B. 1,
2

C. 1,2  D. 1,+∞ 
7. 把函数y=fx 
2
的图象向右平移 π个单位长度，再
3
把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标
1 π
不变，可以得到函数y=sin x+
2 3
 的图象，则函
数y=fx  +x的零点的个数为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 设函数fx  =ex+a  x+b  ．若fx 
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在
每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部
分分，有选错的得0分．
9. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位
同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分
(满分10分)，得到如图所示的折线统计图，则 ( )
A. 若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙
得分的中位数
B. 甲得分的极差大于乙得分的极差
C. 甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数
D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
10. 设公比为q的等比数列 a n
≥0，则ab的
最小值为 ( )
1 1 2
A. - B. C. e D. -
e e e2
 前n项的积为T ，则 n
( )
A. 若T =81，则a ⋅a =3
8 3 6
B. 若T >0，则必有a >0 9 1
C. 若a >1，0<q<1，则T 有最大值 1 n
D. 若a n >0，则数列lgT n  一定是等差数列
11. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是由德国机械学家莱
洛研究发现的一种曲边三角形，在建筑、工业上应用广
泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，
以边长2为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三
角形即为莱洛三角形，则 ( )
A. 莱洛三角形的周长为2π
B. 以此莱洛三角形为底面做一个侧面与底面垂直且
高为10的柱形几何体，则该几何体的体积为20π-
20 3
   
C. 点P为弧AB上的一点，则PA⋅PB+PC  的最小
值为12-4 3

D. 点P为莱洛三角形曲边上的一动点，则PA⋅
  
PA+PB+PC  的最小值为18-4 21 86
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·86·三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
2
12. x3-
x

4
的展开式中，常数项为 ．
13. 已知数列a n 
16. 某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位
参赛者从以下两种方式中选择一种参赛：
①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入
1 2 1 1 下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即获得
中，a =1，a = ， = + 1 2 3 a a a
n n-1 n+1 “智慧星”称号；
(n≥2，n∈N*)，则a = ．
2025 ②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即
14. 已知三棱锥S-ABC的底面ABC是边长为2的正三 能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，甲选
角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心， 择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分
3 2 1
三棱锥S-ABC的体积为 3，则三棱锥S-ABC的 别为 , , ，乙选择第二种方式，他能正确回答每一个
4 3 2
外接球半径等于 ．
1
问题的概率均为 ．两种方式下各个问题能否正确回答
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说 3
均互不影响，两人彼此之间也互不影响．
明，证明过程或演算步骤．
(1)求甲没有获得“智慧星”称号的概率；
15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2，
(2)求乙获得“智慧星”称号的概率．
π
b2，c2成等差数列，且B= ．
3 (3)记事件M=“乙正确回答问题的个数比甲正确回
答问题的个数多3个”，求事件M发生的概率．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)如图，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，
AD= 7，求sin∠BAD的值．
87
数学徐一一 ·87·17. 如图，三棱柱ABC-A B C 中，AB=BC=2，AC 1 1 1
=2 2，BB =4，点M，N分别为AC，AB的中点，且 1
BM= 14，AB⊥BN． 1 1
(1)证明：BM⊥平面ABC； 1
(2)求平面ACCA 与平面BMN夹角的余弦值．
1 1 1
18. 已知函数fx  =alnx-xa<2  ，曲线y=fx  在点
1,-1  处的切线与曲线y=x2+2x相切．
(1)求a；
(2)若函数gx  4 = f +1
x
   + 4 +1
 x
 x+m  ，且曲
线y=gx  关于直线x=n对称，
(i)求m和n的值；
(ii)证明：gx 
19. 已知数列a n
>4．
 ，从中选取第j 项、第j 项、⋯第j 项 1 2 t
j 1 <j 2 <⋯<j t  ，若a <a <⋯<a ，则称新数列a ， j1 j2 jt j1
a j2 ，⋯，a jt 为a n  的长度为t的递增子列．规定：数列
a n  的任意一项都是a n  长度为1的递增子列．
(1)写出数列2，8，4，7，5，9一个长度为3的递增子
列和一个长度为4的递增子列；
(2)已知数列a n  的长度为p的递增子列的末项的最
小值为x，长度为q的递增子列的末项的最小值为y．若p
<q，证明：x<y；
(3)设无穷数列a n  的各项均为正整数，且任意两项
均不相等．若a n  长度为s的递增子列末项的最小值为
2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个
(s=1,2,⋯)，
(i)证明：1，2，3，4，5，6，7这7个数都在数列a n 
中；
(ii)写出数列a n  通项公式(不证明)．
88
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·88·卷29-浙江省杭州市部分学校2025届高
三上学期期末联考数学试题
一、单选题(共40分)
1. 已知集合A=a-2,a2+4a,12  ，且-3∈A，则a等于
( )
A. -3或-1 B. -1
C. -3 D. 3
z-1
2. 已知复数z与复平面内的点(1,2)对应，则 =
1-i
( )
A. 1+i B. 1-i
C. -1+i D. -1-i
π 3. 已知cos -α
3
 3 π = ，则sinα+
5 6
 = ( )
4 4 4 3
A. ± B. C. - D.
5 5 5 5
 
4. 若 3a+b 
 
= 3a-b 

=2a 
  
，则向量a-b与a的夹
角为 ( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
1 4
5. 已知x+y= + +8(x,y>0)，则x+y的最小值
x y
为 ( )
A. 5 3 B. 9
C. 4+ 26 D. 10
6. 某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男
生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机
选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到
的是男生”，则P B   A  等于 ( )
4 5 43 4
A. B. C. D.
11 8 55 7
7. 已知S n 是等差数列a n  的前n项和，且a >0，a + 7 6
a <0，则 ( )
9
A. 数列a n  为递增数列 B. a >0 8
C. S 的最大值为S D. S >0 n 7 14
8. 已知当x=1时，函数fx  =alnx+bx2+3取得最大
值2，则f3 
二、多选题(共18分)
9. 已知函数fx
= ( )
16
A. 2ln3+2 B. -
3
C. 2ln3-6 D. -4
 =Asinωx+φ  A>0,ω>0,φ 
π
 <
2

的部分图象如图所示，下列说法正确的是 ( )
A. 函数y=fx  的最小正周期
为2π
B. 函数y=fx  的图象关于直
5π
线x=- 对称
12
C. 函数y=fx  在
 - 2π ,- π
 3 6
 单调递减
π
D. 该图象向右平移 个单位可得y=2sin2x的图象
6
10. 已知抛物线C: y2=4x的焦点为F，准线l交x轴于
点D，直线m过D且交C于不同的A,B两点，B在线
段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于
点E，下列命题正确的是 ( )
A. 对于任意直线m，均有AE⊥PF
 
B. 不存在直线m，满足BF=2EB
C. 对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切
D. 存在直线m，使AF  +BF  =2DF 
11. 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O(O为球心)
的球面上，△ABC为等边三角形，M为AC的中点，
AB=BD=2，AD= 2，且AC⊥BD，则 ( )
A. BM⊥平面ACD
B. O∉平面ABC
2 3
C. O到AC的距离为
3
6
D. 二面角A-CD-O的正切值为
3
三、填空题(共15分)
ex, x≤0 
12. 设函数f(x)=
-x2+x+1, x>0
，若方程f(x)=b
4
有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是 ．
x2 y2 13. 已知F,F 是椭圆C: + =1(a>b>0)的两个
1 2 a2 b2
 
焦点，P为椭圆C上的一点，且PF ⊥PF，若△PFF
1 2 1 2
的面积为9，则b的值为 ．
14. 甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各
3
玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为 ，乙每盘获胜的
4
2
概率为 .在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不
3
影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游
戏活动中共获胜3盘的概率为 .
89
数学徐一一 ·89·四、解答题(共77分)
2
15. 在① tanA 1+
acosB

1
= tanB  -1
cosA
 ，②
2
acosB=b -cosA
3
 这两个条件中任选一个，补充
在下面问题中并解答.
问题：在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，

b，c，AC 
 
2 +AC⋅CB=-6，sinA= 15 ，且 ，求
4
a的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
16. 已知数列a n 
3 3a
满足a = ，a = n . 1 4 n+1 1+2a
n
(1)证明：  1 -1
a
n

17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AD⊥AB，DC∥AB，PA=AD=DC=1,AB=2，E
为棱PB上一点．
(1)若E是PB的中点，求证：直线CE⎳平面PAD；
 
(2)若PE=λPB，且二面角E-AC-B的平面角的
6
余弦值为 ，求三棱锥E-ABC的体积
3
是等比数列；
a a 3
(2)设b = n n+1 ，证明：b +b +⋯+b < .
n 3n 1 2 n 8
90
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·90·18. 已知点A0,- 3  ，B0, 3  ，曲线E上的点M与A, 19. 对于函数fx
B两点的连线的斜率分别为k 和k ，且k ⋅k = AM BM AM BM
λ，在下列条件中选择一个，并回答问题(1)和(2)．
3 3 条件①：λ= ；条件②：λ=- ．
4 4
问题：
(1)求曲线E的方程；
(2)是否存在一条直线l与曲线E交于P，Q两点，以
1 PQ为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出 +
|OP|2
1
的值；若不存在，请说明理由．
|OQ|2
 ，若存在x 0 ∈R，使fx 0  =x 成立，则 0
称 x 0 为 fx  的不动点. 已知函数 fx  = ax2 +
b+1  x+b-1  a≠0  .
(1)当a=1,b=-3时，求函数fx  的不动点；
(2)若对任意实数b，函数fx  恒有两个相异的不动
点，求a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若fx  的两个不动点为x,x ， 1 2
且fx 1 
-a
+x = ，求实数b的取值范围. 2 a+1
91
数学徐一一 ·91·卷30-重庆缙云教育联盟2025届高三上
学期第一次诊断性质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合U= x∈N   x≤4   ，集合A=2,3,4  ，B=
x   x+1∈A   ，则∁ UA∩B  = ( )
A. 1,2  B. 1,4 
C. 0,1,2  D. 0,1,4 
2. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是
( )
1
A. y= B. y=-x3
x
C. y=xx  D. y=log x 1
2
3. 若zi3=1- 5i，则z  = ( )
A. 1 B. 7 C. 6 D. 3
  π 
4. 已知向量a与向量b的夹角为 ，且a
3

 
=1，2a-b 

= 7，则b  = ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 已知圆M的方程为x2+y2+8x-8y-17=0，圆N
1
上任意一点P到定点O(0,0)，A(3,0)的距离比为 ，
2
则圆M与圆N的位置关系是 ( )
A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切
6. 若在长方体ABCD-A B C D 中，AB=3,BC=1,
1 1 1 1
AA =4．则四面体ABBC 与四面体ACBD公共部
1 1 1 1 1
分的体积为 ( )
3 10 2
A. B. C. D. 1
13 39 3
7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
a b c sinA
若 ， ， 成等差数列，则
cosA cosB cosC cosBcosC
的最小值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 已知函数fx 
x
=ln +x-1，gx
x-2
 =ex-e2-x，则
方程fx  =gx 
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在
每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对
的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知O为坐标原点，抛物线C:y2=4x的焦点为F，过
F的动直线l与C交于点A,B，点B，E在C的准线l
上，且BB∥x轴，则下列说法正确的是 ( )
A. AF
的所有实数解的和是 ( )
A. 6 B. 4 C. 2 D. 1
 +9BF  的最小值为22
B. A,O,B三点共线
C. 存在点E，使得F到直线EA,EB的距离相等
D. 若EF⊥AB，则EA⊥EB
10. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有
“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大
数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x∈R，用
x  表示不超过x的最大整数，则 y=x  称为高斯函
数，例如 -2.1  =-3，2.1  =2. 已知函数 fx  =
sinx  +sinx  ，函数 gx  = fx    ，则下列4个命题
中，其中正确结论的选项是 ( )
A. 函数 gx  不是周期函数；
B. 函数 gx  的值域是 0，1，2  
C. 函数 gx  π 的图象关于 x= 对称：
2
π
D. 方程 ⋅gx
2
 =x只有一个实数根；
11. 对一列整数，约定：输入第一个整数a ，只显示不计
1
算，接着输入整数a 2 ，只显示a 1 -a 2  的结果，此后每输
入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对
值.设全部输入完毕后显示的最后的结果为p.若将从
1到2022的2022个整数随机地输入，则 ( )
A. p的最小值为0 B. p的最小值为1
C. p的最大值为2020 D. p的最大值为2021
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线x=1上一点P可以作曲线x=lny的两条切
线，则点P纵坐标的取值范围为 ．
13. 已知函数y=f(x)的定义域D={1,2,3,4}，值域A=
{5,6,7}，则函数y=f(x)为增函数的概率是 ．
14. 过抛物线y2=4x上一动点P作圆C:(x-4)2+y2=
r2(r>0)的两条切线，切点分别为A,B，若|AB|⋅|PC|
的最小值是12，则r= .
92
2024-2025 学年春季 1月优质联考试卷合集（一） ·92·四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说 16. 某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A、
B两个套餐服务，顾客可自由选择A、B两个套餐之
明、证明过程或演算步骤．
一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，下表是
15. 已知等差数列{a }的前n项和为S ，数列{b }是等
n n n
App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况.
比数列，满足a =b ，a =5，a +a =19，S =11(b
1 1 2 3 4 11 4
+1). 星期t 1 2 3 4 5 6
(1)求数列{a }和{b }的通项公式；
n n 销售量y(张) 218 224 230 232 236 90
(2)对任意的正整数n，设c =
n
 (a n -1)b n -2 ,n为奇数 2n 经计算可得：y  = 1  6 y =205, 6 ty =4004, 6 t2=
 (b n +1 n )(b n+2 +1) ，求c i ； 6 i=1 i i=1 i i i=1 i
(-1)2(n-1)b ,n为偶数 i=1 91.
n
(3)若对于数列{a }，在a 和a 之间插入b 个1(k n 
n k k+1 k x-x
 i
∈N*)，组成一个新的数列{d n }，记数列{d n }的前n项和 参考公式：b= i=1
为T，求T . n 2025


y-y
i
 
n 
x-x i
i=1

n  
xy-nx⋅y
i i
= i=1 ,
n 
 2 x2-x2 i
i=1
  
a=y-bx.
(1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系
统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除
周六数据，求y关于t的经验回归方程；
1
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为 ，选
3
2
择B套餐的概率为 ，并且A套餐包含两张优惠券，B套
3
餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的
概率为P，求P；
n n
(3)请根据下列定义，解决下列问题：
(i)定义：如果对于任意给定的正数σ，总存在正整数
N 0 ，使得当n>N 0 时，a n -a  <σ(a是一个确定的实数)，
则称数列a n  收敛于a.
(ii)运用：记(2)中所得概率P 的值构成数列
n
P n  n∈N+  .求P 的最值，并证明数列P 收敛. n n
93
数学徐一一 ·93·a 17. 已知函数g(x)=1-2lnx- (a>0)，且g(x)的极
x2
值点为x ．
0
(1)求x ；
0
(2)证明：2gx 0 
19. 用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管(如图1)：
将该矩形铁皮围成一个圆柱体(如图2)，再用一个与圆
柱底面所成45°的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将
这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．现使用长
2
+2≤ ； 为2π，宽为π的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得 a
到的直角圆形弯管的体积最大时(不计拼接损耗部
分)，解答下列问题．
(1)求该直角圆形弯管的体积；
(2)已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭
圆，求该椭圆的离心率；
(3)如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的
一条母线剪开，并展成平面图形(如图4)，证明：该截口展
18. 已知椭圆M:
x2
+y2=1的左，右焦点为F,F，点P是 开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该
a2 1 2
  正弦型函数的最小正周期与振幅．
椭圆上任意一点，PF ⋅PF 的最小值是-2．
1 2
(1)求椭圆M的方程；
(2)设A,B为椭圆的上，下顶点，C,D为椭圆上异于
k
A,B的两点，记直线AC,BD的斜率分别为k,k ，且 2 =
1 2 k
1
3．
(ⅰ)证明：直线CD过定点S；
(ⅱ)设直线AC与直线BD交于点Q，直线QS的斜
1 1 1
率为k ，试探究 , , 满足的关系式．
3 k k k
1 2 3
94
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