文档内容
★ 保密·启用前
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吉林地区普通中学2024-2025学年度高中毕业年级第三次模拟测试
数 学 试 题
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色
签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上
答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．设 ， ，则
A． B． C． D． ，或
2．如图，在圆 中，已知弦 的长度为 ，则
A． B． C． D．
3．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，则
A． B． C． D．
4．若 ， 是两条直线， ， 是两个平面，且 ， .设 ， ，
则 是 的
高三数学试题 第 1 页 （共 9 页）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若函数 ，且 在区间 上单调递减，则实数 的取值范
围是
A． B． C． D．
6．棱长为 的正方体 中，棱 的中点为 ，棱 的中点为 ，则三棱
锥 的外接球的表面积为
A． B． C． D．
7．已知正实数 满足 ，则
A． B． C． D．
8．以“冰雪同梦 亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于 年 月 日在哈尔滨盛大开幕，场
馆上方悬挂的 万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪
花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：
如图，画一个边长为 的正三角形 ，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一
边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线 ；重
复上述两步，形成雪花曲线 ， ，…， ，记雪花曲线 的周长为 ，则数列
的最大项为
高三数学试题 第 2 页 （共 9 页）A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．在 的展开式中，则
A．各二项式系数的和是 B．各项系数的和是
C．二项式系数最大的项是第 项 D． 的系数是
10．已知函数 ，则下列说法正确的是
A． 的周期为
B． 的图象关于 对称
C． 在 上恰有 个零点
D．若 在 上单调递增，则 的最大值为
11．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法───牛顿法. 具体步骤如下：
设 是函数 的一个零点，任意选取 作为 的初始近似值，在横坐标为 的点处作
高三数学试题 第 3 页 （共 9 页）的切线 ， 与 轴交点的横坐标为 ；用 代替 重复上面过程得到 ；一直进行下
去，得到 ， ，…， ，使得当 很大时， 很小，我们可以把 的值作为 的近似值.
已知函数 ， 是函数 的一个零点，取 ，则下列说法正确的是
A．切线 的方程为 B．
C． D．若 ，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中第14题的第一个空填对得2分，第
二个空填对得3分。
12．已知 ，则 ．
13． 已知复数 满足 ，复数 满足 ，则 的最小值为 ．
14．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长
线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连
线的夹角．已知 ， 分别为双曲线 ： ， 的左、右焦点，过右支上
高三数学试题 第 4 页 （共 9 页）一点 作双曲线 的切线与 轴交于点 ，设 为 的内心，且 ，
，则 ， ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知等差数列 的公差 ，且满足 ， ，记 是数列 的前 项
和，且满足 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 ，求数列 的前 项和 .
16．（本小题满分15分）
是由中国杭州的 公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”
反映了其探索深度学习的决心. 主要功能为 内容生成、 数据分析与可视化、 代码
辅助、 多模态融合、 自主智能体等，在 金融领域、 医疗健康、 智能制造、 教育领域等多个领域
都有广泛的应用场景. 为提高 的应用能力，某公司组织 ， 两部门的 名员工
参加 培训.
高三数学试题 第 5 页 （共 9 页）（Ⅰ）此次 培训的员工中共有 名部门领导参加，恰有 人来自 部门. 从这
名部门领导中随机选取 人，记 表示选取的 人中来自 部门的人数，求 的分
布列和数学期望；
（Ⅱ）此次 培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概
率分别为 ， ， ，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能
合格.
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展 培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润
万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润 万元，且公司需每年
平均为每位参加培训的员工支付 万元的其他成本和费用. 试估计该公司 ，
两部门培训后的年利润（公司年利润 员工创造的利润 其他成本和费用）.
17．（本小题满分15分）
已知椭圆 ： 的离心率为 ，且过点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）已知 ， 为椭圆 上异于点 的两点，且 ， ，点 为垂
足，求证：直线 过定点 ；并判断是否存在定点 ，使得 为定值．若存
在，求出定值；若不存在，请说明理由．
高三数学试题 第 6 页 （共 9 页）18．（本小题满分17分）
如图，直四棱柱 中， 是边长为 的等边三角形，
， ，棱 的中点为 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）矩形 以边 所在直线为旋转轴，逆时针旋转 至矩形 ，
求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
高三数学试题 第 7 页 （共 9 页）19．（本小题满分17分）
函 数 在 处 的 阶 帕 德 逼 近 定 义 为 ：
， 且 满 足 ， ， ， … ，
其中 ，…， ．已知函数 在 处
的 阶帕德逼近 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）比较 与 的大小；
高三数学试题 第 8 页 （共 9 页）（Ⅲ）若关于 的方程 有两个不相等的实数根 ， ，求实数 的取值范围， 并
证明： ．
命题人：高三数学核心组
高三数学试题 第 9 页 （共 9 页）
