中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知识讲解（基础）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习

让更多的孩子得到更好的教育 中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数 --知识讲解（基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【考纲要求】 ⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想； ⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量 之间的关系； ⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基 本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实 数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数 对）紧密结合起来. 2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点P(x,y)在第一象限 ； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 点P(x,y)在第二象限 ； 点P(x,y)在第三象限 ； 点P(x,y)在第四象限 ； 点P(x,y)在x轴上 ，x为任意实数； 点P(x,y)在y轴上 ，y为任意实数； 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上 x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）. 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x与y相等； 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点P与点p′关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点P与点p′关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数； 点P与点p′关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x轴的距离等于 ； （2）点P(x,y)到y轴的距离等于 ； （3）点P(x,y)到原点的距离等于 . 要点诠释： （1）注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限； （2）平面内点的坐标是有序实数对，当 时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 考点二、函数 1.函数的概念 设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确 定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量. 2.自变量的取值范围 对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有 意义. 3．表示方法 ⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法. 4．画函数图象 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来. 要点诠释： （1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量； （2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义. 考点三、几种基本函数（定义→图象→性质） 1.正比例函数及其图象性质 （1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数． （2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象： 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 过（0，0），（1，K）两点的一条直线． （3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质 ①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 . 2.一次函数及其图象性质 （1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数． （2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象 （3）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象的性质 一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和 点的一条直线． ①当k>0时，y随x的增大而增大； ②当k<0时，y随x的增大而减小． 要点诠释： （1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 （2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k 0）中的常数k. 确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 （k 0）中的常数k和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法. 3.反比例函数及其图象性质 （1）定义：一般地，形如 （ 为常数， ）的函数称为反比例函数. 三种形式： (k≠0)或 (k≠0)或xy=k(k≠0). （2）反比例函数解析式的特征： ①等号左边是函数 ，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数 （也叫做比例系数 ），分母中含 有自变量 ，且指数为1； ②比例系数 ； ③自变量 的取值为一切非零实数； ④函数 的取值是一切非零实数. （3）反比例函数的图象 ①图象的画法：描点法 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）； 描点（由小到大的顺序）； 连线（从左到右光滑的曲线）. ②反比例函数的图象是双曲线， （ 为常数， ）中自变量 ，函数值 ，所以双曲线 是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交. ③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是 和 ）和中心对称图形（对称中心是坐标 原点）. ④反比例函数 （ ）中比例系数 的几何意义是：过双曲线 （ ）上任意点引 轴、 轴的垂线，所得矩形面积为 . （4）反比例函数性质： 反比例 函数 k的符号 k>0 k<0 图像 ①x的取值范围是x 0， ①x的取值范围是x 0， y的取值范围是y 0； y的取值范围是y 0； ②当k>0时，函数图像的两个分支分别 ②当k<0时，函数图像的两个分支分别 性质 在第一、三象限.在每个象限内，y 在第二、四象限.在每个象限内，y 随x 的增大而减小. 随x 的增大而增大. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 （5）反比例函数解析式的确定： 利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出 ） （6）“反比例关系”与“反比例函数”： 成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数 中的两个变量必成反比例关系. 要点诠释： （1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）； （2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集. 【典型例题】 类型一、坐标平面有关的计算 1． 已知点A(a，-5)，B(8，b)，根据下列要求确定a，b的值. (1)A，B两点关于y轴对称； (2)A，B两点关于原点对称； (3)AB∥x轴； (4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上． 【思路点拨】 （1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数； （2）关于原点对称，x变为相反数，y变为相反数； （3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可； （4）在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标相等，即可得出a，b． 【答案与解析】 (1)点A(a，-5)，B(8，b)两点关于y轴对称，则a＝-8且b＝-5． (2)点A(a，-5)，B(8，b)两点关于原点对称，则a＝-8且b＝5． (3)AB∥x轴，则a≠8且b＝-5． (4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上，则a＝-5且b＝8． 【总结升华】 运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．在一、三象限角平分线上的点的横纵坐 标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数． 举一反三： 【变式】已知点A的坐标为(-2，-1)． (1)如果B为x轴上一点，且 ，求B点的坐标； (2)如果C为y轴上的一点，并且C到原点的距离为3，求线段AC的长； (3)如果D为函数y＝2x-1图象上一点， ，求D点的坐标． 【答案】 (1)设B(x，0)，由勾股定理得 ．解得x＝-5，x＝1． 1 2 经检验x＝-5，x＝1均为原方程的解． 1 2 ∴ B点的坐标为(-5，0)或(1，0)． (2)设C(0，y)，∵ OC＝3，∴ C点的坐标为(0，3)或(0，-3)． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 ∴ 由勾股定理得 ；或 ． (3)设D(x，2x-1)，AD＝ ，由勾股定理得 ．解得 ， ． 经检验， ， 均为原方程的解． ∴ D点的坐标为( ， )或(-1，-3)． 2．已知某一函数图象如图所示． (1)求自变量x的取值范围和函数y的取值范围； (2)求当x＝0时，y的对应值； (3)求当y＝0时，x的对应值； (4)当x为何值时，函数值最大； (5)当x为何值时，函数值最小； (6)当y随x的增大而增大时，求x的取值范围； (7)当y随x的增大而减小时，求x的取值范围． 【思路点拨】 本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图 象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论. 【答案与解析】 (1)x的取值范围是-4≤x≤4，y的取值范围是-2≤y≤4； (2)当x＝0时，y＝3； (3)当y＝0时，x＝-3或-1或4； (4)当x＝1时，y的最大值为4； (5)当x＝-2时，y的最小值为-2； (6)当-2≤x≤1时，y随x的增大而增大； (7)当-4≤x≤-2或1≤x≤4时，y随x的增大而减小． 【总结升华】本题主要是培养学生的识图能力． 举一反三： 【变式1】下图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位 置，则韩老师散步行走的路线可能是( ) 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 【答案】理解题意，读图获取信息是关键，由图可知某段时间内韩老师离家距离是常数，联想到韩老师是在 家为圆心的弧上散步，分析四个选项知D项符合题意． 答案：D 【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数 高清ID号： 406069 关联的位置名称（播放点名称）：例1】 【变式2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是( )． 【答案】C. 类型二、一次函数 3．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按 原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km） 与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍． （1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间； （2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？ （3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 【思路点拨】观察图形理解每一段图象的内涵. 【答案与解析】 解：（1）由图象，得：小明骑车速度：10÷0.5=20（km/ h）. 在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5（h）. （2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h） 如图，设直线BC解析式为y=20x+b， 1 把点B（1，10）代入得b=﹣10. 1 ∴直线BC解析式为y=20x﹣10 ①. 设直线DE解析式为y=60x+b， 2 把点D（ ，0）代入得b=﹣80. 2 ∴直线DE解析式为y=60x﹣80②. 联立①②，得x=1.75，y=25. ∴交点F（1.75，25）. 答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km. （3）方法一：设从家到乙地的路程为m（km） 则点E（x，m），点C（x，m）分别代入y=60x﹣80，y=20x﹣10 1 2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 得： ， ∵ ∴ ∴m=30． 方法二：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n（km）， 由题意得： ∴n=5 ∴从家到乙地的路程为5+25=30（km）． 【总结升华】考查一次函数图象和应用，直线上点的坐标与方程的关系. 举一反三： 【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数 高清ID号： 406069 关联的位置名称（播放点名称）：例6】 【变式1】 (1)直线y＝2x+1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是_____ ___. (2)直线y＝2x+1关于x轴对称的直线的解析式是___ _____； 直线y＝2x+l关于y轴对称的直线的解析式是___ ______； 直线y＝2x+1关于原点对称的直线的解析式是____ _____． (3)如图所示，已知点C为直线y＝x上在第一象限内一点，直线y＝2x+1交y轴于点A，交x轴于B， 将直线AB平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是__ ______． 【答案】 (1)y＝2x-5； (2)y＝-2x-1，y＝-2x+1，y＝2x-1； (3)y＝2x-2． 【变式2】某地夏天旱情严重．该地10号、15号的人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号 的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量低于10千克时，政府 将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为( ) A．23 B．24 C．25 D．26 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 【答案】 解析：设图中直线解析式为y＝kx+b， 将(10，18)，(15，15)代入解析式得 解得 ∴ ． 由题意知， ，解得 ，∴送水号数应为24． 答案：B 类型三、反比例函数 4．已知函数 和y＝kx+1(k≠0)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值； (2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点? 【思路点拨】 （1）因为这两个函数的图象都经过点（1，a），所以x=1，y=a是方程组 的解，代入可得a和k的值； （2）要使这两个函数的图象总有公共点，须方程组 有解，即 有解， 根据判别式△即可求出K的取值范围． 【答案与解析】 (1)∵ 两函数的图象都经过点(1，a)， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第10页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 ∴ ∴ (2)将 代入 ，消去y，得 ， ∵ k≠0，∴ 要使得两函数的图象总有公共点， 只要△≥0即可． ∴ 1+8k≥0，解得 ． ∴ 且k≠0． 【总结升华】判断反比例函数与一次函数交点问题，要把反比例函数与一次函数联立转化成一元二次方程， 再通过根的判别式来判断． 举一反三： 【变式】已知正比例函数 （ 为常数， ）的图象与反比例函数 （ 为常数， ）的 图象有一个交点的横坐标是2． （1）求两个函数图象的交点坐标； （2）若点 ， 是反比例函数 图象上的两点，且 ，试比较 的大 小． 【答案】 （1）由题意，得 ， 解得 ． 所以正比例函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为 ． 解 ，得 ．由 ，得 ． 所以两函数图象交点的坐标为（2，2）， ． （2）因为反比例函数 的图象分别在第一、三象限内， 的值随 值的增大而减小， 所以当 时， ． 当 时， ． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第11页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 当 时，因为 ， ，所以 ． 类型四、函数综合应用 k 5．如图，直线y  xb（b＞0）与双曲线y  （k＞0）在第一象限的一支相交于A、B两点， x 与坐标轴交于C、D两点，P是双曲线上一点，且 . PO  PD （1）试用k、b表示C、P两点的坐标； （2）若△POD的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式； （3）若△OAB的面积等于 ，试求△COA与△BOD的面积之和. 4 3 【思路点拨】 （1）根据直线的解析式求得点D的坐标，再根据等腰三角形的性质即可求得点P的横坐标，进而根据双曲 线的解析式求得点P的纵坐标； （2）①要求双曲线的解析式，只需求得xy值，显然根据△POD的面积等于1，即可求解； ②由①中的解析式可以进一步求得点B的纵坐标，从而求得直线的解析式，然后求得点B的坐标，即可计 算△COA与△BOD的面积之和． 【答案与解析】 （1）C（0，b），D（b，0） ∵PO＝PD OD b 2k ∴x   ，y  P 2 2 P b b 2k ∴P（ ， ） 2 b 1 2k （2）∵S 1，有 b 1，化简得：k＝1 POD 2 b 1 ∴y  （x＞0） x （3）设A（ ， ），B（ ， ），由 得： x y x y S S  S S 1 1 2 2 COA BOD COD AOB 1 1 1 bx  by  b2 4 3，又y  x b得bx b(x b) b2 8 3， 2 1 2 2 2 2 2 1 2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第12页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 y  xb  即 得 ，再由 得 ， b(x x ) 8 3  1 x2 bx10 2 1 y    x 从而 ， ，从而推出 ，所以 . x  x b x x 1 (b4)(b4)(b2 12) 0 b  4 1 2 1 2 故 S S 84 3 COA BOD 【总结升华】利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法.求两函数图像的交点坐标，即解由它 们的解析式组成的方程组. 举一反三： 【变式1】如图所示是一次函数y＝kx+b和反比例函数 的图象，观察图象写出y＞y 时x的取值 1 1 2 范围________． 【答案】 利用图象比较函数值大小时，要看对于同一个自变量的取值，哪个函数图象在上面，哪个函数的函 数值就大，当y＞y 时，-2＜x＜0或x＞3． 1 2 答案：-2＜x＜0或x＞3 【变式2】已知函数 ，m为何值时， (1)y是x的正比例函数，且y随x的增大而增大? (2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线? 【答案】 (1)要符合题意，m需满足 解得 ∴ m＝1． (2)欲符合题意，m需满足 解得 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第13页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 ∴ ． 6．已知直线 (n是不为零的自然数)．当n＝1时，直线 与x轴和 y轴分别交于点A 和B ，设△AOB(其中O是平面直角坐标系的原点)的面积为S ；当n＝2时，直线 1 1 1 1 1 与x轴和y轴分别交于点A 和B，设△AOB 的面积为S，…，依此类推，直线 与x轴和 2 2 2 2 2 y轴分别交于点A 和B，设△AOB 的面积为S． n n n n n (1)求 的面积S； 1 (2)求S+S+S+…+S 的面积． 1 2 3 6 【思路点拨】 此题是一道规律探索性题目，先根据函数解析式的通项公式得出每一个函数解析式，画出图象，总结 出规律，便可解答． 【答案与解析】 解：直线 ，∴ ， ． （1） ． （2）由 得， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第14页 共15页让更多的孩子得到更好的教育 【总结升华】借助直觉思维或对问题的整体把握运用归纳、概括、推理等思想获得合理的猜测． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第15页 共15页