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2011年普通高等学校招生全国统一考试·陕西卷(文科)
全解全析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题
，每小题5分，共50分）．
r r r r r r
1．设a，b是向量，命题“若a=-b，则|a|=|b|”的逆命题是 （ ）
r r r r r r r r
（A）若a¹-b，则|a|¹|b| （B）若a=-b，则|a|¹|b|
r r r r r r r r
（C）若|a|¹|b|，则a¹-b （D）若|a|=|b|，则a=-b
【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。
【解】选D
r r r r
原命题的条件是a=-b，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|=|b|，作为逆命题的条
r r r r
件，即得逆命题“若|a|=|b|，则a=-b”，故选D．
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是 （ ）
（A）y2 =-8x （B）y2 =-4x （C）y2 =8x （D）y2 =4x
【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．
【解】选C
p
由准线方程x=-2得- =-2,且抛物线的开口向右（或焦点在x轴的正半轴），所以
2
y2 =2px=8x．
3.设00得
a+b b-a a+b
ab 0，所以 3；
1 2 3
x +x
又 p=8.5， 1 2 =7.5，显然|9-x |>3不成立，即为“否”，
2 3
9+x
∴有|9-x |„ 3，即6„ x „ 12，此时有 3 =8.5，解得
3 3 2
x =8，符合题意，故选B．
3
x
8.设集合M ={y| y =|cos2 x-sin2 x|,xÎR}，N ={x|| |<1
i
，i为虚数单位，xÎR}，则M
I
N为（ ）
(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]
【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数
的模，不等式等知识点。
【解】选C y =|cos2 x-sin2 x|=|cos2x|Î[0,1]，所以M =[0,1]；
x
因为| |<1，即|-xi|<1，所以|x|<1，又因为xÎR，所以-1< x<1，即N =(-1,1)；
i
所以M
I
N =[0,1)，故选C.
9．设(x ,y ),(x ,y ),···
1 1 2 2
，(x ,y )是变量x和 y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性
n n
回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）
(A) 直线l过点(x,y)
（B）x和 y的相关系数为直线l的斜率
第3页 | 共13页（C）x和 y的相关系数在0到1之间
（D）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等
进行判断．
【解】选A
选项 具体分析 结论
回归直线l一定过样本点中心(x,y)；由回归直线方程的计算公式
A 正确
a = y-bx可知直线l必过点(x,y)
相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾
B 不正确
斜程度；它们的计算公式也不相同
相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变
C 不正确
量为正相关，在-1到0之间时，两个变量负相关
D l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布 不正确
10．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，
开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各
自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）
（A）①和 （B）⑨和⑩ (C) ⑨和 (D) ⑩和
【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论．
【解】选D （方法一）
选项 具体分析 结论
A ①和 ：10´(1+2+ +19)´2=3800
L
⑨：10´[(1+2+ +8)´2+(1+2+ +11)´2]=2040
L L
比较各个
B
路程和可
⑩：10´(1+2+ +9)+10´(1+2+ +10)´2=2000
L L
知D符合
题意
C ：10´(1+2+ +9)+10´(1+2+ +10)´2=2000
L L
D ⑩和 ：路程和都是2000
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个
最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第1
1个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。树苗
第4页 | 共13页19(1+19)
放在第一个树坑旁，则有路程总和是10´(1+2+ +19)´2 =10´ ´2=3800
L
2
；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是
9´(1+9) 10´(1+10)
10´(1+2+ +9)+10´(1+2+ +10)´2 =10´ ´2+10´ ´2
L L
2 2
=900+1100=2000，所以路程总和最小为2000米.
B. 填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（
本大题共5小题，每小题5分，共25分）
ìlgx,x>0
11．设 f(x)=í ，则 f(f(-2))=______.
î10x,x„ 0
【分析】由x=-2算起，先判断x的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断 f(-2)作为
自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．
1
【解】∵x=-2<0，∴ f(-2)=10-2 = >0，所以 f(10-2)=lg10-2 =-2，即
100
f(f(-2))=-2．
【答案】-2
12．如图，点(x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x- y的最小值为________.
【分析】本题为线性规划问题，采用数形结合法解答，解答本题的关键是
确定目标函数过哪一个点时取得最小值．
【解】目标函数z =2x- y，当x=0时，z =-y，所以当y取得最大值
时，z的值最小；移动直线2x- y =0，当直线移动到过点A时，y最大，
即z的值最小，此时z =2´1-1=1．
【答案】1
13．观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律，第五个等式应为__________________.
【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出
第五个等式，注意行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．
【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加
第5页 | 共13页数的个数是2n-1；等式右边都是完全平方数，
行数 等号左边的项数
1=1 1 1
2+3+4=9 2 3
3+4+5+6+7=25 3 5
4+5+6+7+8+9+10=49 4 7
则第5行等号的左边有9项，右边是9的平方，所以5+6+
L
+[5+(2´5-1)-1]=92，
即5+6+ +13=81．
L
【答案】5+6+7+8+9+10+11+12+13=81（或5+6+ +13=81）
L
14．设nÎN ，一元二次方程x2 -4x+n=0有整数根的充要条件是n= ．
+
【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．
4± 16-4n
【解】x= =2± 4-n ，因为x是整数，即2± 4-n为整数，所以
2
4-n为整数，且n„ 4，又因为nÎN ，取n=1,2,3,4验证可知n=3,4符合题意；反
+
之n=3,4时，可推出一元二次方程x2 -4x+n=0有整数根．
【答案】3或4
15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x-2|… a对任意xÎR恒成立，则a的取值范围
是 ．
【分析】先确定|x+1|+|x-2|的取值范围，则只要a不大于|x+1|+|x-2|的最小值即
可．
【解】当x„ -1时，|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=-2x+1… 3；
当-1< x„ 2时，|x+1|+|x-2|= x+1-x+2=3；
当x>2时，|x+1|+|x-2|= x+1+x-2=2x-1>3；
综上可得|x+1|+|x-2|… 3，所以只要a„ 3，
即实数a的取值范围是(-¥,3]．
【答案】(-¥,3]
B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE ^ BC，ÐACD=90o，且AB=6，AC=4，AD
第6页 | 共13页=12，则AE= ．
【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解．
【解】因为AE ^ BC，
所以∠AEB=ÐACD=90o，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所
AC AD AB×AC 6´4
以 = ,所以AE = = =2．
AE AB AD 12
【答案】2
C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy
中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极
ìx=3+cosq
坐标系，设点A，B分别在曲线C ：í
1 îy =sinq
（q为参数）和曲线C ：r=1上，则| AB|的最小值为 ．
2
【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．
【解】曲线C 的方程是(x-3)2 + y2 =1，曲线C 的方程是x2 + y2 =1，两圆外离，所以
1 2
| AB|的最小值为 32 +02 -1-1=1．
【答案】1
三．解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
P. （本小题满分12分）
如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使
∠BDC=90°。
（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；
（2 ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。
【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关
系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）充分利用垂直
所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算．
【解】（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，
∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，
又DBÇＤＣ＝Ｄ，
∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD 平面BDC.
∴平面ABD⊥平面BDC．
第7页 | 共13页（2）由（1）知，DA^ DB,DB^ DC ,DC ^ DA,
\
DB=DA=DC=1， AB=BC=CA= 2 ,
Q
1 1
S =S =S = ´1´1= ,
VDAM VDBC VDCA 2 2
1 3
S = ´ 2´ 2´sin60°=
VABC 2 2
1 3 3+ 3
S = ´3+ = .
∴三棱锥D—ＡＢＣ的表面积是
2 2 2
17.（本小题满分12分）
x2 y2 3
设椭圆C: + =1a >b>0过点（0，4），离心率为 ．
a2 b2 5
（1）求C的方程；
4
（2）求过点（3，0）且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标．
5
【分析】（1）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以
分步求解；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；
然后利用中点坐标公式求解．
16
【解】（1）将点（0，4）代入C的方程得 =1, ∴b=4,
b2
c 3 a2 -b2 9 16 9
又e= = 得 = ，即1- = ， ∴a=5
a 5 a2 25 a2 25
x2 y2
∴C的方程为 + =1
25 16
4 4
（2）过点3,0且斜率为 的直线方程为y = x-3，
5 5
4
设直线与Ｃ的交点为Ａx ,y ，Ｂx ,y ，将直线方程y = x-3代入Ｃ的方程
1 1 2 2 5
，得
x2 x-32 3- 41 3+ 41
+ =1，即x2 -3x-8=0，解得x = ，x = ，
25 25 1 2 2 2
x +x 3 y + y 2 6
\ AB的中点坐标x= 1 2 = ，y = 1 2 = x +x -6=- ，
2 2 2 5 1 2 5
第8页 | 共13页æ3 6ö
即所截线段的中点坐标为ç ,- ÷．
è2 5ø
注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．
18.（本小题满分12分）
叙述并证明余弦定理。
【分析】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考
生回归课本，重视基础知识学习和巩固．
【解】叙述：
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之
积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有
a2 =b2 +c2 -2bccosA，
b2 =c2 +a2 -2cacosB，
c2 =a2 +b2 -2abcosC .
uuur uuur uuur uuur uuur
证明：（证法一） 如图，c2 = BC = AC-AB · AC-AB
uuur2 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur2
= AC -2AC·AB+ AB = AC -2 AC · AB cosA+ AB
=b2 -2bccosA+c2
即 a2 =b2 +c2 -2bccosA
同理可证 b2 =c2 +a2 -2cacosB，
c2 =a2 +b2 -2abcosC
（证法二）
已知DABC中，A,B,C所对边分别为a,b,c,，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直
角坐标系，则C(bcosA,bsin A),B(c,0)，
∴a2 =|BC|2=(bcosA-c)2 +(bsinA)2 =b2cos2 A-2bccosA+c2 +b2sin2 A
=b2 +c2 -2bccosA，
即 a2 =b2 +c2 -2bccosA
第9页 | 共13页同理可证 b2 =c2 +a2 -2cacosB，
c2 =a2 +b2 -2abcosC
19.（本小题满分12分）
如图，从点P(0,0)做x轴的垂线交曲线y =ex于点Q (0,1),曲线在Q 点处的切线与x轴交
1 1 1
于点P ，再从P 做x轴的垂线交曲线于点Q ，依次重复上述过程得到一系列点：
2 2 2
P ,Q;P ,Q ......;P,Q ,记P 点的坐标为(x ,0)(k =1,2,...,n).
1 1 2 2 n n k k
（Ⅰ）试求x 与x 的关系(2£k £n)
1 k-1
（ Ⅱ）求 PQ + PQ + PQ +...+ PQ ．
1 1 2 2 3 3 n n
【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x轴的交
点坐标；（2）尝试求出通项|PQ |的表达式，然后再求和．
n n
【解】（Ⅰ）设P (x ,0)，由y¢=ex得Q (x ,ex k-1)点处切线方程为
k-1 k-1 k-1 k-1
y-ex k-1 =ex k-1(x-x )
k-1
由y =0得x = x -1(2£k £n)。
k k-1
（ Ⅱ）x =0,x -x =-1，得x =-(k-1)，
1 k k-1 k
PQ =ex k =e-(k-1)
k k
S = PQ + PQ + PQ +...+ PQ
n 1 1 2 2 3 3 n n
1-e-n e-e1-n
=1+e-1+e-2 +...+e-(n-1) = =
1-e-1 e-1
20.（本小题满分13分）
如图，A地到火车站共有两条路径L 和L ，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进
1 2
行调查，调查结果如下：
所用时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
选择L 的人数 6 12 18 12 12
1
选择L 的人数 0 4 16 16 4
2
第10页 | 共13页（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
（2 ）分别求通过路径L 和L 所用时间落在上表中各时间段内的
1 2
频率；
（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，
为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路
径．
【分析】（1）读懂数表，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为
所求概率的估计值；（2）根据频率的计算公式计算；（3）计算选择不同的路径，在允许
的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径．
【解】（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44
人，
\用频率估计相应的概率为0.44.
（2 ）选择L 的有60人，选择L 的有40人，
1 2
故由调查结果得频率为：
所用时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
选择L 的人数 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
1
选择L 的人数 0 0.1 0.4 0.4 0.1
2
（3）用A，A 分别表示甲选择L 和L 时，在40分钟内赶到火车站；用B ，B 分别
1 2 1 2 1 2
表示乙选择L 和L 时，在50分钟内赶到火车站．
1 2
由（2）知P(A) =0.1+0.2+0.3=0.6，P(A)=0.1+0.4=0.5， P(A)> P(A)，
1 2 1 2
\甲应选择路径L ；
1
P(B) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B）＞P（B），
1 2 2 1
∴ 乙应选择路径L.
2
21.（本小题满分14分）
设 f(x)=lnx，g(x)= f(x)+ f¢(x)．
（1）求g(x)的单调区间和最小值；
第11页 | 共13页1
（2）讨论g(x)与g( )的大小关系；
x
1
（3）求a的取值范围，使得g(a)-g(x)＜ 对任意x＞0成立．
a
【分析】（1）先求出原函数 f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性
（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数
的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x＞0成立的恒成立问题转化为函数
g(x)的最小值问题．
1
【解】（1）由题设知 f(x)=lnx,g(x)=lnx+ ，
x
x-1
∴g¢(x)= ,令g¢(x)=0得x=1，
x2
当x∈（0，1）时，g¢(x)＜0，g(x)是减函数，故（0，1）是g(x)的单调减区间。
当x∈（1，+∞）时，g¢(x)＞0，g(x)是增函数，故（1，+∞）是g(x)的单调递增
区间，
因此，x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以g(x)的最小值为g(1)=1.
1
(2)g( )=-lnx+x
x
1 1 (x-1)2
设h(x)= g(x)-g( )=lnx-x+ ，则h¢(x)=- ，
x x x2
1
当x=1时，h(1)=0，即g(x)= g( )，
x
当xÎ(0,1)È(1,+¥)时，h¢(x)<0，
因此，h(x)在(0,+¥)内单调递减，
当0< x<1时，h(x)>h(1)=0
1
即g(x)< g( ).
x
（3）由（1）知g(x)的最小值为1，所以，
1 1
g(a)-g(x)< ，对任意x>0，成立Û g(a)-1< ,
a a
第12页 | 共13页即Ina<1,从而得0
