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2025 年北京市西城区高三上学期期末数学试卷
本试卷共9页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试
卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项。
1. 已知集合 ， ，那么集合
A. B. C. D.
2. 设 为虚数单位， ，且 ，则
A. B. C. D.
3. 下列函数中，值域为 且为奇函数的是
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，点 在角 的终边上，则
A. B. C. D.
5. 过点 的直线 与圆 相交于 两点，那么当 取得最小值时，
直线 的方程是
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司6. 在 中，则“ ”是“ 是直角三角形”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 若直线 与双曲线 没有公共点，则双曲线 的离心率 满
足
A. B. C. D.
8. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率
（单位：W）可表示为 ，其中 为起始光功率（单位：W）， 为衰减系数，
为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）. 已知距离发射器 处的光功率衰减为
起始光功率的一半. 若当距离由 km 变到 km 时，光功率由 变到
，则
A. B. C. D.
9. 若实数 满足 ，则
A. B. C. D.
10. 如图，在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方体表面
上的动点，且 . 设动点 的轨迹为曲线 ，则
A. 是平行四边形，且周长为
2
学科网（北京）股份有限公司B. 是平行四边形，且周长为
C. 是等腰梯形，且周长为
D. 是等腰梯形，且周长为
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学科网（北京）股份有限公司第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 抛物线 的准线方程为_________.
12. 在 中，若 ， ， ，则 _________.
13. 若 的展开式中存在常数项，则正整数 的一个取值是_________，且此时常数
项等于_________.（用数字作答）
14. 折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名. 某折扇的扇面是一
个圆台的侧面展开图，如图所示. 设 ， ，则扇面（图中扇环）部
分的面积是_________， _________.
15. 已知无穷数列 满足 . 给出下列四个结论：
①存在 ，使得集合 中有无穷多个元素；
②存在 ，使得集合 中有有限个元素；
③对于任意的 ，集合 中至多有一个元素；
④当 时，集合 .
4
学科网（北京）股份有限公司其中所有正确结论的序号是_________.
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
如图，在三棱柱 中， 平面 ， 分别为 的中点，
.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的大小.
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学科网（北京）股份有限公司17.（本小题13分）
已知函数 ，从条件①、条件②、条件③中选择两个
作为一组已知条件，使得函数 存在且唯一，并完成下列两问.
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）若函数 在区间 上单调递减，求实数 的最大值.
条件①： ；
条件②：函数 图象的两条相邻对称轴间的距离为 ；
条件③：函数 的一个零点为 .
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
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学科网（北京）股份有限公司18.（本小题14分）
为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课. 现从全校高一学生中分
层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下：
男生 女生
选择 不选择 选择 不选择
排球 50 50 50 50
篮球 25 75 15 65
足球 75 25 5 75
乒乓球 10 90 10 70
假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率.
（Ⅰ）假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误.
结论 ：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿；
结论 ：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20.
（Ⅱ）若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，记这3人
中选择排球课的人数为 ，求 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为 ，其方差
为
；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为 ，其方差为 . 写出 与
的大小关系.（结论不要求证明）
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学科网（北京）股份有限公司19.（本小题15分）
已知椭圆 的左右顶点分别为 ，离心率为 ，点 ，
的面积为2.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 且斜率为 的直线交椭圆 于点 ，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，
点 关于直线 的对称点为 . 若四边形 为正方形，求 的值.
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学科网（北京）股份有限公司20.（本小题15分）
已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处切线的方程；
（Ⅱ）当 时，证明：对任意的 ，曲线 总在直线 的下方；
（Ⅲ）若函数 有两个零点 ，且 ，求 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司21.（本小题15分）
已知数列 为 个数 的一个排列，其中 ，且 .
若在集合 中至少有一个元素 使得 ，则称数列 具有性质 .
（Ⅰ）当 时，判断数列 和数列 是否具有性质 ；
（Ⅱ）若数列 和 均为等差数列，且 ， ，证明：对于
所有的偶数 ，数列 不具有性质 ；
（Ⅲ）在所有由 的排列组成的数列中，记具有性质 的数列的个数为 ，不具有
性质 的数列的个数为 ，证明：对于任意 ， .
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