哈三中2024-2025学年度上学期高三学年期末考试数学_2025年1月_250117黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三上学期期末考试（全科）

哈三中 2024—2025 学年上学期高三学年期末考试 数学试卷 考试说明：本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分． 考试时间为120分钟． 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹 签字笔书写，字体工整，字迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案 无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第 I 卷 (选择题, 共58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．     1．已知集合A x y 4x2 ，B y y 2x1 ，则AIB A．[1,2] B．(1,2] C．[2,) D．(1,2) 2．已知复数z满足1iz24i，i为虚数单位，则 z  A． 10 B．10 C． 5 D．5 2  π 3．已知cos ，tan2，则cos2tan  3  4 2 28 1 4 A． B． C． D． 9 9 9 9 4．已知 2x n的展开式中，各项系数的和为243，则该展开式中的x2项的系数为 A．24 B．80 C．160 D． 240 5．在抛物线y2 8x上求一点P，使其到焦点F 的距离与到点A(3,1)的距离之和最小， 则该点P的坐标为     1  1  A． 1,2 2 B． 1,2 2 C． ,1 D． ,1 8  8  高三数学 第 1 页 共 6 页 {#{QQABJYaAggCAAhBAARgCAQXwCgCQkBGAASgGRAAUIAAACRNABAA=}#}6．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角 垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第n层有a 个 n  1  球，则数列 的前150项和为 a  n 300 301 A． B． 151 150 100 60 C． D． 51 31 7．在三棱锥A-BCD中，AB  AC  AD，BCD是正三角形，M,N 分别是AD与 CD的中点，且MN  BM .若AB 2 3，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为 A．12 B．18 C．24 D．36 3ex 1  1  8．已知函数 f(x) ，若不等式 f(xm)4 f  对任意x(1,)恒成立, ex 1 x1 则实数m的取值范围是 A．(,e] B．(,3] C．[2,) D．[4,) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．  π 9．已知函数 f x 2sin2x 1，下列四个选项中正确的是  4 A．函数 f x的最小正周期是π π 5π B．函数 f x在区间  ,  上是增函数 8 8  π C．直线x 是函数 f x图象的一个对称轴 8 π D．函数 f x的图象可由函数y 2sin2x的图象向左平移 个单位，再向下平移1 8 个单位得到 y2 10．已知双曲线C：x2 1，左右焦点分别为F,F ，则下列说法正确的是 1 2 4 y2 A．双曲线C与双曲线 x2 1有相同的渐近线 4 B．若双曲线C上一点P满足 PF 2 PF ，则PFF 的周长为62 5 1 2 1 2 C．过双曲线C的焦点且与x轴垂直的弦长为4 D．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k2,2 高三数学 第 2 页 共 6 页 {#{QQABJYaAggCAAhBAARgCAQXwCgCQkBGAASgGRAAUIAAACRNABAA=}#}11．如图，在直棱柱 ABCD ABCD 中，底面 ABCD为菱形，且 ABAA 4 ， 1 1 1 1 1 BAD60 ， M 为线段 DC 的中点， N 为线段 BC 的中点，点 P 满足 1 1 1 1    BPBCBB 01,01，则下列说法正确的是 1 A．若1，则三棱锥PDBC的体积为定值 1 B．若 ，则有且仅有一个点P，使得PD PB 1 2 1 C．若 ，则 PN  PC 的最小值为6 2 1 9 57 13 D．若0， ，则平面DPM 截该直棱柱所得截面周长为 2 3 第Ⅱ卷 (非选择题, 共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．  12. 已知向量a,b的夹角为 ，且 a 1,b  3，则 2ab  6 13. 某企业近几年加大了对科技研发资金的投入，其科技投入x(百万元)与收益y(百万元) 的数据统计如下表所示，由下表中的数据求得经验回归方程为 y b  x1，其中m为 下表中科技投入x的4个数据的方差的8倍，据此经验回归方程预测，当x6时， y 的值为 (百万元)． 科技投入x(百万元) 1 2 3 4 收益y(百万元) m m3 15 18 14．在锐角VABC中，角A,B,C 的对边分别为a，b，c，若acosC 3asinC bc， 1 1 则A ，  的取值范围为 . tanB tanC 四、解答题:本题共5小题, 共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题13分) 已知数列a 满足a 3，a 3a 3n1. n 1 n1 n a  (1)证明：数列 n为等差数列，并求通项a ； 3n n (2)求数列a 的前n项和S . n n 高三数学 第 3 页 共 6 页 {#{QQABJYaAggCAAhBAARgCAQXwCgCQkBGAASgGRAAUIAAACRNABAA=}#}16．(本小题15分) 已知函数 f(x) x2 xa(lnx2x),(aR). (1)若函数y f(x)的图象在x e处的切线平行于x轴，求a的值； (2)讨论 f(x)的单调性. 17．(本小题15分) 如图1，在平行四边形ABCD中，A60，AD 2,AB 4,，将ABD沿BD折 起到ABD位置，使得平面ABD 平面BCD，如图2. (1)证明：BC 平面ABD； (2)在线段AC上是否存在点M ，使得二面角M BDC的大小为45？若存在，求 AM 出 的值；若不存在，说明理由. AC 高三数学 第 4 页 共 6 页 {#{QQABJYaAggCAAhBAARgCAQXwCgCQkBGAASgGRAAUIAAACRNABAA=}#}18．(本小题17分) 第九届亚洲冬季运动会，将于2025年2月7日至2月14日在黑龙江省哈尔滨市举 办,这是继2022年北京冬奥会之后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会.为加强 学生对冰雪项目的了解，某省重点高中拟组织一次冰雪知识测试，该校从全校学生中 随机抽取30人进行模拟测试，其中高一学年组12人，高二学年组10人，高三学年 组8人，测试共分为两轮. (1)第一轮测试按高一、高二、高三3个小组顺次进行.若一切正常，则该小组完成测 试的时间为20分钟；若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试. 已 3 知每一小组正常完成测试的概率均为 ，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3 4 个小组全部完成测试所需总时间为X，求X的分布列； (2)第二轮测试为面试，将3组同学一起进行排序，每位同学按排序顺次进行面试， 且每人面试时间相等. (i)求最后一名同学来自高一学年组的条件下，高二学年组同学比高三学年组同学提 前完成面试的概率； (ii)若所有参加面试的同学都可以得到一枚“雪花摩天轮”冰箱贴，成绩优秀的同学还 1 可以多得一枚“雪花摩天轮”冰箱贴，已知每一名同学面试成绩优秀的概率均为 ， 4 设这30名同学所得冰箱贴总数恰好为n个的概率为P ，当P 取最大值时，求n的值. n n 高三数学 第 5 页 共 6 页 {#{QQABJYaAggCAAhBAARgCAQXwCgCQkBGAASgGRAAUIAAACRNABAA=}#}19．(本小题17分) x2 y2 已知椭圆C:  1(ab0)的长轴长为4，左、右顶点分别为A,B，左、右 a2 b2    3 焦点分别为F,F ，点D在椭圆上，且DF FF 0，|DF | ． 1 2 1 1 2 1 2 (1)求C的标准方程； (2)若过点F 且斜率不为0的直线l与C交于P,Q两点. 1 (k k )2 (i)设直线AP的斜率为k ，直线BQ的斜率为k ，求证： 1 2 为定值； 1 2 k k 1 2 (ii)当PFQ的外接圆面积最小时，求直线PQ的方程． 2 高三数学 第 6 页 共 6 页 {#{QQABJYaAggCAAhBAARgCAQXwCgCQkBGAASgGRAAUIAAACRNABAA=}#}