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让更多的孩子得到更好的教育
中考总复习：全等三角形—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1． 已知等边△ABC的边长为a，则它的面积是（ ）
A． a2 B． a2 C． a2 D． a2
2．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：
（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC= ∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（ ）
A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（3）和（4） D．（1）和（4）
3.如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D作DE⊥BC交AC于E，连接AD，则
图中等腰三角形的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列
等式成立的是（ ）A．AC=AD+BD B．AC=AB+BD C．AC=AD+CD D．AC=AB+ CD
5．（2012•镇江）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一
个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，
记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如
图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）
A. B． C． D.
6. 用含30°角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，
④直角梯形，其中可以被拼成的图形是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①②③
二、填空题
7．如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三
角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个
结论：
① AD=BE；② PQ∥AE；③ AP=BQ；④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°.
恒成立的有______________(把你认为正确的序号都填上).
8．如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘
边上．如果它们外缘边上的公共点 在小量角器上对应的度数为 ，那么在大量角器上对应的度数为
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_____ （只需写出 ～ 的角度）．
9. 若直角三角形两直角边的和为3，斜边上的高为 ，则斜边的长为 .
10.如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是_________；△BPD的
面积是_________.
11．如图，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到
△P′AB ，则点P与点P′ 之间的距离为_________，∠APB=_________.
12．.以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA ，再以等腰直角三角形
1
ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形ABB ，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个
1 1 1
等腰直角三角形的面积S=________.
n
三、解答题
13. 已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连
接BM，DM．
（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你
得到的结论；
（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD
所满足的数量关系．
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14. (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.
求证：BE＝CF.
图1
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,
EF＝4.求GH的长.
图2
(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4. 直
接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
图3 图4
15．①如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是
∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，
AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．
（下面请你完成余下的证明过程）
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②若将①中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则
当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．
③若将①中的“正方形ABCD”改为“正 边形ABCD…X”，请你做出猜想：
当∠AMN=_____________°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
16.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM
绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为 时，求正方形的边长.
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【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D.
2.【答案】B.
【解析】此题采取排除法做．
（1）AB=AE，所以△ABE是等腰的，等腰三角形底角∠AEB不可能90°，所以AC⊥BD不成立．排
除A，D；（2）∵AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．∴△DAE≌△CAB，∴BC=DE成立，排除C．
3.【答案】D．
【解析】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C=
45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=
90°-∠BAD，∠EDA=90°-∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等腰
三角形共4个．
4.【答案】B.
【解析】根据题意证得AB=AE，BD=DE，DE=EC．据此可以对以下选项进行一一判定．选B.
5.【答案】A.
6.【答案】B.
【解析】 当把完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况：
（1）当把60度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等边三角形；
（2）当把30度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等腰三角形；
（3）当斜边重合，且一个三角形的30度角的顶点与另一个三角形60度角的顶点重合时，所
成的图形是矩形，矩形也是平行四边形．选B
二、填空题
7．【答案】①②③⑤.
【解析】提示：证△ACD≌△BCE, △ACP≌△BCQ.
8．【答案】50°.
9．【答案】 .
【解析】设直角边为a,b,斜边为c，则 + =3， ， ，代入即可.
10．【答案】1， .
【解析】
∵△BPC是等边三角形，∴∠PCD=30°
做PE⊥CD,得PE=1，即△CDP的面积是= ×2×1=1；
根据即可推得 .
11．【答案】6 ，150°.
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12．【答案】 .
三、解答题
13.【答案与解析】
（1）结论：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．
理由：∵BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，
∴BM=DM= CE；
又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；
同理可得∠DME=2∠DCM；
∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．
（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD
证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM= EC=MC，又点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴DM= EC=MC，
∴BM=DM；
∵BM=MC，DM=MC，
∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，
∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCD，
即∠BMD=2∠BCD．
证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM= EC=ME；
又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
∴DM= EC=MC，
∴BM=DM；
∵BM=ME，DM=MC，
∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，
∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，
∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，
即∠BMD=2∠BCD．
（3）所画图形如图所示：
图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；
图2中∠BCD不存在，有BM=DM；
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图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．
解法同（2）．
14.【答案与解析】(1) 证明：
如图1，∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，
∴ ∠EAB+∠AEB=90°.
∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,
∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC，
∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF．
(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，
过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴ EF=BN,GH=AM，
∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,
故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN，
∴ GH=EF=4．
(3) ① 8．② 4n．
15.【答案与解析】（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°,
∴∠AEM=1355°,
∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°
在△AEM和△MCN中：∵ ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
（2）仍然成立．
在边AB上截取AE=MC，连接ME
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACP=120°．
∵AE=MC，∴BE=BM
∴∠BEM=∠EMB=60°
∴∠AEM=120°．
∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，
∴∠AEM=∠MCN=120°
∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM
∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
（3）
16.【答案与解析】⑴ ∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
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即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）.
⑵ ①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.
⑶ 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝ x，EF＝ .
在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（ ）2＋（ x＋x）2＝ .
解得，x＝ （舍去负值）.
∴正方形的边长为 .
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