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2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。
5．难度系数：0.65。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．直线 与直线 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则 （ ）
A．1 B．－1 C． D．
3．若点 在圆 （ 为常数）外，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知两点 ，若直线 与线段 有公共点，则直线 斜率
的取值范围为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
5．已知向量 以 为基底时的坐标为 ，则 以 为基底时的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．直线 与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．在三棱锥 中， ， ， 两两垂直，且 .若 为该三棱锥外接球上的一点，
则 的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．已知圆C： 和两点 ， ，若圆C上存在点P，使得
，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在四棱柱 中， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．以下四个命题叙述正确的是（ ）
A．直线 在 轴上的截距是1
B．直线 和 的交点为 ，且 在直线 上，则 的值是
C．设点 是直线 上的动点， 为原点，则 的最小值是√2
D．直线 ，若 ，则 或2
学科网（北京）股份有限公司11．在平面直角坐标系 中，已知圆 的动弦 ，圆 ，则下
列选项正确的是（ ）
A．当圆 和圆 存在公共点时，则实数 的取值范围为
B． 的面积最大值为1
C．若原点 始终在动弦 上，则 不是定值
D．若动点 满足四边形 为矩形，则点 的轨迹长度为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．直线 的倾斜角 的取值范围是 ．
13．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.
活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记
，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为 .
14．过直线 上任意一点 作圆 ： 的两条切线，则切点分别是 ，则 面积的最大
值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知平面内两点 ， ．
(1)求过点 且与直线 垂直的直线 的方程．
(2)若 是以 为顶点的等腰直角三角形，求直线 的方程．
学科网（北京）股份有限公司16．（15分）如图，正四棱锥 的底面边长和高均为2，E，F分别为 ， 的中点．
(1)证明： ；
(2)若点M是线段 上的点，且 ，判断点M是否在平面 内，并证明你的结论；
17．（15分）已知直线l过点 ，圆C： （C为圆心）．
(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程．
(2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线 的交点为Q，判断
是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司18．（17分）如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中
点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点．
(1)证明：MN∥平面A'BE；
(2)当三棱锥 的体积为 ，且二面角 为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角
的正切值．
19．（17分）
学科网（北京）股份有限公司某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北
偏东为 的笔直公路，其中 .摩天轮近似为一个圆，其半径为 ，圆心 到地面的距离为 ，
其最高点为 点正下方的地面 点与公路的距离为 .甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，
甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
(1)如图所示，甲位于摩天轮的 点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
(2)当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
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