文档内容
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
全解全析
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教 B 版 2019 选择性必修第一册第一章~第二章 2.3 节。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】若 ， ，则 .
故选：D.
2．设 ， ，向量 ，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】设 、 ，向量 ，且 ，
，解得 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
故选： ．
1 / 153．已知直线 经过点 两点．直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2 倍，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 得 ，设 的倾斜角为 ，
所以 ，
故 ，
故直线 的斜率为 ，
故选：A
4．到直线 的距离为 1 的直线方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【详解】设所求直线方程为 ．由题意知 ，解得 或 ，
即所求直线方程为 或 ．
故选：D．
5．对于空间任一点 和不共线的三点 ，有 ，则“ ”是
“ 四点共面”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】空间任意一点 和不共线的三点 ，
令 ，
若 ，则 ， ，
， ，
所以 四点共面，
所以充分性成立；
2 / 15若 四点共面，
当 与四个点中的一个（比如点 ）重合时，
， 可取任意值，不一定有 ，
即不一定有 ，
所以不能得到 ，
故必要性不成立，
所以“ ”是“ 四点共面”的充分不必要条件，
故选：B.
6．过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】化 为 ，圆心为 ，半径为 2
所以点 到圆心的距离为 ，则切线长为 ，
所以 ，则 .
故选：D
7．如图，四边形 中， ， ．现将 沿 折起，当二面角
处于 过程中，直线 与 所成角的余弦值取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3 / 15【详解】设向量 与 所成角为 ，二面角 的平面角大小为 ．
因为 ，所以 ．又 ，所以 ，
取 中点 ，连接 ， ，则 ， ，
所以 ，又因为 ， ．
所以在 中， ，即 ，
又由 ， ．
因为 ，所以
．
所以 ，即
又因为 ，所以 ．
因为异面直线所成角范围为 ，
所以直线 与 所成角的余弦值取值范围是 ．
故选：C.
8．已知直线 与直线 交于点 ，点 关于直线 对称的点为 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4 / 15【答案】D
【详解】由 ，解得 ，可得 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，则 无意义；
当 时，
，当且仅当 即 等号成立；
当 时，
，当且仅当 即 等号成立；
综上， ，或 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出 点坐标，代入 利用基本不等式求最值.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．如图，在平行六面体 中， 为 的
中点，则（ ）
5 / 15A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】依题意可得 ，
同理 ， ，故 C 正确；
连接 ，
则 ，故 A 正确；
，故 B 错误；
，故 D 正确.
故选：ACD.
10．圆 和圆 的交点为 A，B，则有（ ）
A．公共弦 AB 所在直线的方程为
B．公共弦 AB 所在直线的方程为
C．公共弦 AB 的长为
D．若 P 为圆 上一动点，则 P 到直线 AB 的距离的最大值为
【答案】AD
【详解】由两圆的方程作差可知公共弦 AB 所在直线的方程为 ，即 ；故 A 正确，B 错误，
6 / 15由 ，
易知 ，半径 ，
则点 到直线 的距离 ，
故弦长 ；故 C 正确，
当 ，并在如图所示位置时，
P 到直线 AB 的距离最大，为 ；
故选：AD.
11．已知直线 过定点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 过定点
B．若直线 不经过第四象限，则 的取值范围为
C．若直线 在 轴上的截距为－3，则
D．若直线 分别交 x，y 轴正半轴于 A，B，则当 取得最小值时，直线 的方程为
【答案】ACD
【详解】对于 A，直线 ，即 ，
令 ，解得 ，故直线 过定点 ，故 A 正确；
对于 B，直线 ，即 ，
直线 不经过第四象限， ，解得 ，
故 的取值范围是 ，故 B 错误；
对于 C，易知 时，直线 在 轴上的截距存在，
依题意，令 ，得直线 在 轴上的截距为 ，解得 ．
对于 D，设 三点共线，
7 / 15，整理得
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
当 取得最小值时，直线 的方程为 ，即 ．
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．直线 经过点 ，与 轴、 轴分别交于 、 两点，若 ，则直线 的方程为 .
【答案】
【详解】依题意，设 ， ，
则 ， ，
则 ，
由 得 ，解得 ，
则 ， ，
则直线 的斜率为 ，方程为 即 .
故答案为： .
13．已知 P 为圆 上的动点，点 ， ，若 为常数，则 .
【答案】
【详解】设动点 ，则有 ，
由 ，
由于 为常数,所以 ，
解得 或 ，因为 ，所以 ，
8 / 15故答案为： .
14．对于两个空间向量 与 ，我们定义 为
两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为 .如图，在棱长为
1 的正方体 中， ；若点 P 在底面 内（含边界）运动，且
，则 的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ，设 ，
则 ，
所以 ，即 ，
所以 ；
，
令 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： ；
9 / 15四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知直线 ．
(1)求经过点 且与直线 垂直的直线方程；
(2)求经过直线 与 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
【详解】（1）由直线 可得斜率为 ， ......................................................... 2 分
所以根据垂直关系可设所求直线方程为 ，
则依题意有 ，解得 ，
所以所求直线方程为 ，整理得 ；.................................................................................... 6 分
（2）联立 ，解得 ，即直线 与 的交点为 ， ......................................................8 分
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为 ，
代入 得 ，此时 ； ................................................................................................................................10 分
当直线的截距都不为 0 时，假设直线方程为 ，
依题意 ，解得 ，此时直线方程为 ，即 ........................................ 12 分
综上所述：所求直线方程为 或 ． .............................................................................................. 13 分
16．（15 分）已知空间中三点 ， ， ．
(1)设 ，且 ，求 的坐标；
(2)若四边形 ABCD 是平行四边形，求顶点 D 的坐标；
(3)求 的面积．
【详解】（1）由已知得 ．
10 / 15因为 ，所以可设 ，
所以 ，解得 ， ...........................................................................3 分
所以 或 ． ......................................................................................................5 分
（2）设 ，因为 ABCD 是平行四边形，所以 ，
由 ， ， ，
得 ， ， .................................................................................................................7 分
所以 ，故 ． ..............................................................................................................10 分
（3）由题可得 ， ，
所以 ， ，
所以 ， .........................................................................................................13 分
又 ，所以 ，
所以 的面积 ．............................................................. 15 分
17．（15 分）已知定点 ，点 为圆 上的动点， 为 的中点．
(1)求 的轨迹方程；
(2)若过定点 的直线 与 的轨迹交于 两点，且 ，求直线 的方程．
【详解】（1）设 点的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
点 为圆 上的动点，
，化简得 ，
故 的轨迹方程为 ． .............................................................................................................................. 3 分
（2）圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
11 / 15此时圆心到直线 的距离是 ，所以 ，满足条件； ........................................... 6 分
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
化简得 ，
因为 ，所以圆心到直线 的距离 ， ........................................................................9 分
由圆心到直线 的距离公式得 ，
所以 ，即 ，平方得 ，
整理得 ，解得 ，
故直线 的方程为 ，即 ． ..................................................................................... 13 分
综上，直线 的方程为 或 ． ..................................................................................................... 15 分
18．（17 分）如图，在三棱柱 中，点 在底面 ABC 的射影为 ， ， ，
， ，E 是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
12 / 15(2)若直线 AB 与平面 EAC 所成角的正弦值为 ，求 AB．
【详解】（1）如图①，连接 BO 并延长交 AC 于 D．
连接 OA， ，易得 平面 ABC． .......................................................................................................................2 分
因为 平面 ABC， 平面 ABC，
所以 ， ．
又 ，所以 ，
即 ，故 ． ................................................................................................................................... 4 分
因为 ，所以 ，
则 ， ，
即 ，故 ，所以 ，
故 O 为 BD 的中点，又 E 是 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． ........................................................... 7 分
（2）因为 ，故以 A 为坐标原点，AB，AC 所在直线分别为 x，y 轴，
过点 A 作 ，建立如图②所示的空间直角坐标系 Axyz， ........................................................................ 8 分
易得 ，
设 ， ，则 ，
13 / 15故 ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ........................................................................................10 分
设平面 AEC 的法向量为 ，
则 ，
则 ，令 ，得 ，故 ， .......................................................................................13 分
设直线 AB 与平面 EAC 所成的角为θ，
则
解得 ，即 ． ...........................................................................................................................................17 分
19．（17 分）已知曲线 .
(1)在答题卡中画出 C 的大致图形，并说明理由.
(2)若 是 C 上的动点， ， ，证明： 为定值.
(3)若直线 与 C 的所有交点的纵坐标之和大于 ，求 m 的取值范围.
【详解】（1）由 ，得 或 ，
所以 C 由两条直线 与圆 组成. ............................................................................................................3 分
故 C 的图形如图所示.
14 / 15............................................................................................................ 6 分
（2）因为 ，所以点 P 在圆 上，
所以 ，所以 为定值. ................. 10 分
（3）将 代入 ，得 ，将 代入 ，得 ，则 .
因为 ，所以 l 不经过点 ，（ ，依题意可得，l 与圆 的所有交点的纵坐标之和大于
.
..................................................................................................................................................................................................... 12 分
当 时，l 与 C 的所有交点的纵坐标之和为 ，所以 不符合题意. .................. 14 分
当 时，联立 消去 x，得 .
因为 l 过定点 ，且该点在圆 的内部，所以 l 与圆 总有两个交点.
设 l 与圆 的交点为 ， ，则 ，解得 ，
故 m 的取值范围为 . ............................................................................................................................17 分
15 / 15
