文档内容
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
全解全析
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版必修第一册第一章预备知识。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．4 或 D． 或
1.【答案】D
【解析】当 的焦点在 轴上时， ，
易知 ，则 ，解得 ；
当 的焦点在 轴上时， ，
易知 ，则 ，解得 ，
所以 的值为 或 .
故选：D.
2．已知圆 上所有点都在第二象限，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.【答案】C
【解析】由题意，在圆 中， ，
/∴圆心坐标为 ，半径为 3．
∵圆上所有点都在第二象限，
∴ ，解得 ．
故选：C.
3．已知直线 ： 绕点 逆时针旋转 得到直线 ，则 的斜截式方程为（ ）
A． B．
C． D．
3.【答案】B
【解析】直线 ，其斜率 ，设其倾斜角为 ，则 ，又因为倾斜角 ，所以
．
直线 绕点 逆时针旋转 ，则直线 的倾斜角 ．
直线 的斜率 ．
又因为直线 过点 ，所以直线 的斜截式方程为 ．
故选：B．
4．2024 年 10 月 22 日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号 、 、
卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号 卫星运
动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为 1.3 万千米，卫星运动至近地点距离地球
表面高度约 1.35 万千米，运动至远地点距离地球表面高度约 3.35 万千米，则天平三号 卫星运行的轨
迹方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
4.【答案】A
【解析】由题意知， 卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点.
设椭圆的长轴长为 2a，短轴长为 2b，焦距为 2c，
/由题可知， ，即 ．
因为天平三号 卫星运动至近地点距离地球表面高度约 1.35 万千米，地球半径约为 0.65 万千米，
所以 ，可得 ，
因此 ，结合选项可知 A 满足．
故选：A.
5．已知直线 与圆 相交于 A，B 两点，则当 取最小值时， （ ）
A． B． C． D．0
5.【答案】B
【解析】 ，故 过定点 ，
又 ，故 在圆 内，
所以当 ⊥ 时， 取最小值，此时 ，
又 ，所以 .
故选：B.
6．若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则直线 的斜率
的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
6.【答案】A
【解析】因为直线 的斜率存在，所以 ，
圆 整理为 ，
圆心坐标为 ，半径为 ，
/要求圆上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，
则圆心到直线的距离应小于等于 ， ，
， ，
设直线 的斜率为 ，则 ， ，
直线 的斜率的取值范围是 .
故选：A.
7．如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆上的点， 的内
切圆的圆心为 ，延长 ，交 轴于点 ，若 ，则椭圆的离心率等于（
A． B．
C． D．
7.【答案】B
【解析】解法一：因为 是 的内心，
由内角平分线定理得 ，
则 ，所以 ，
故选：B．
解法二：设内切圆的半径为 ，
则 ， ，
所以 ，
由已知条件 ，得 ，
所以 ，得 ，即 ，
/故选：B．
8．在平面直角坐标系中，已知动点 到两直线 与 的距离之和为 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8.【答案】C
【解析】将直线 与 化为一般式为 ，
所以 到两直线的距离之和为 ，
所以 ①．
当 时，①式变形为 ；
当 时，①式变形为 ；
当 时，①式变形为 ；
当 时，①式变形为 ．
则动点 的轨迹为如图所示的四边形的边，
的几何意义为四边形边上任意一点与 连线的斜率．
由 ，得 ，
由 ，得 ,
， ， ， ，
所以 的取值范围是 ．
故选：C.
/二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知直线 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 在 轴上的截距为 1 B．直线 与直线 之间的距离为
C．直线 的一个方向向量为 D．直线 与直线 垂直
9.【答案】BD
【解析】对于 A，令 得 ，直线 在 轴上的截距为 ，故 A 错误；
对于 B，直线 与直线 平行，直线 与直线 之间的距离为 ，故 B 正确；
对于 C，直线 的斜率为 ，以 为方向向量的直线的斜率为 3，故 C 错误；
对于 D，由 ，得 ，故 D 正确．
故选：BD.
10．已知 P 为圆 O： 上的动点，直线 l： 与 x，y 轴分别交于 M，N 两点，Q 为直线
上的动点，过点 Q 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A，B，则（ ）
A．若点 ，则 的最小值为
B． 的最小面积是 4
C．若 ，则 Q 点坐标为 或
D．四边形 周长的最小值为
10.【答案】ACD
【解析】由题意得 ， ， ，因为点 在圆内，点 在圆外，所以可知
/的最小值，
即为当 M，P，C 三点共线时 的值， ，A 正确；
由题意得 ， ，圆 O 的圆心 到直线 l 的距离 ，
所以点 P 到该直线距离的最小值为 ，所以 ，B 错误；
当 时， ， ，所以 ，所以 ．
设 ，则 解得 或 所以点 Q 的坐标为 或 ，C 正确；
四边形 的周长为 ，因为 ，所以四边形 的周长为 ．
设 ，当 时， 取得最小值，此时 也取得最小值，
则 ，则四边形 的周长为 ，
则当 t 取最小值 时，四边形 的周长最小，最小值为 ，D 正确．
故选：ACD.
11．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的
另一个焦点.已知椭圆 ，其左、右焦点分别是 ， ， 为椭圆 上任意一点，直线 与椭圆
相切于点 ，过点 与 垂直的直线与椭圆的长轴交于点 ， ，点 ，给出下列
四个结论，正确的是（ ）
A． 面积的最大值为
B． 的最大值为 8
/C．若 ，则
D．若 ，垂足为 ，则
11.【答案】ACD
【解析】由椭圆方程可知： ， ， .
对于 A：当点 为短轴顶点时， 面积的最大，最大值为 ，故 A 正确；
对于 B：因为 ，则 ，
可得 ，
当且仅当 为线段 与椭圆的交点时，取到最大，
所以 的最大值为 7，故 B 错误；
对于 C：由椭圆的光学性质，得点 与 垂直的直线为角 的角平分线，
则 ，
设 ，则 ， ，
可得 ， ， ， ，
则 ，
即 ，
整理可得 ，解得 或 ，
当 时， ， 与 重合，不合题意，
所以 ，即 ，故 C 正确：
对于 D：如图，延长 ， 交于点 ，
/则在 中， ， ，
则 且 为 中点，连 ，
在 中， ，
则点 在以原点为圆心，2 为半径的圆上，即 ，故 D 正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知直线 ．若 ，则实数 的值为 ．
12.【答案】2
【解析】因为 ，所以 ，解得 或 .
当 时， ，符合题意.
当 时， ，两直线重合，不合题意.
综上， .
故答案为：2.
13．已知直线 的斜率小于 ，且 经过点 ，并与坐标轴交于 两点， ，当 的面积
取得最小值时，直线 的斜率为 .
13.【答案】
【解析】设直线 l 的方程为 ，令 ，得 ，令 ，得 .
则和 坐标轴的交点为 ， .
所以 ，
/可得 的面积为 ，当且仅当 ，
即 等号成立；
故答案为： .
14．已知 ， 分别是椭圆： 的左、右焦点，P 是以 为直径的圆与椭圆在第一象
限内的一个交点，延长 与椭圆交于点 Q，若 ，则直线 的斜率为 ．
14.【答案】
【解析】如图，连接 ，设 ，则 ，
由椭圆的定义得 ，
所以 ， ， ．
又 为以线段 直径的圆上，则 ，
在 中， ，即 ，得 ，
则 ，
所以直线的斜率为 ，
故答案为：-2.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知在 中， ， ，点 是此三角形的重心.
（1）求边 所在直线的一般式方程；
（2）若直线 经过点 且在 轴、 轴上的截距相等，求直线 的斜截式方程.
15．（13 分）
/【解析】（1）设 交 于 ，则 为 的中点，设 ，
因为点 是三角形的重心，
所以 ，所以 ，
所以， ，
所以 ，
所以 ，
故 ，解得 .
边所在直线的方程为 ，即 .
（2）当在 轴、 轴上的截距为 0 时，易知直线方程为： ，
当截距不为 0 时，
设直线方程为： ，因为点 在直线上，
所以 ，可得 ，
即直线方程为： ；
综上所述：直线方程为 或 .
16．（15 分）
已知 为坐标原点，直线 过定点 ，设圆 的半径为 2，圆心在直线 ：
上.
（1）若圆心 也在直线 上，求过点 与圆 相切的直线方程；
（2）若圆 上存在点 ，使得 ，求圆心 的横坐标的取值范围.
16．（15 分）
【解析】（1）因为直线 可化为 ，
/令 ，则 ，故 ，
联立 ，解得 ，则圆心 ，
因为圆 的半径为 2，所以圆 的方程为 ，
当所求直线斜率不存在时，此时直线方程为 ，易知与圆 相切，符合题意；
当所求直线斜率存在时，设所求圆 的切线方程为 ，即 ,
所以圆心 到直线的距离为 ，解得 ,
所以切线方程为 ，即 ,
综上所述，所求圆 的切线方程为 或 .
（2）因为圆 的圆心在直线 ： 上，故设圆心 为 ，
则圆 的方程为 ，
又因为 ，故 ，
所以设 为 ，则 ，设为圆 ，圆心 ，半径为 ，
则点 应该既在圆 上又在圆 上，即圆 和圆 有交点，
所以 ，所以 ，
由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 .
17．（15 分）
/已知圆心为 的动圆与 ： 外切，与 ： 内切.
（1）求 的轨迹方程；
（2）过点 的直线与 的轨迹交于 ， 两点，且 为线段 的中点，求坐标原点 关于直
线 的对称点 的坐标.
17．（15 分）
【解析】（1）设动圆 M 的半径为 r， 的圆心 ，半径 ；
的圆心 ，半径 . 圆 相内切，
因为动圆 M 与 外切，所以 ；
动圆 M 与 内切，所以 ，则 .
又 .
因为 ，
根据椭圆的定义，点 M 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长 的椭圆.
则 ， ，根据 ，可得 .
所以 M 的轨迹方程为 .
（2）设 ， .
因为 A，B 在椭圆 上，所以 .
两式相减得： .
因为 N 为线段 AB 的中点，所以 ， .
则直线 AB 的斜率 .
/直线 AB 的方程为 ，即 .
设点 P ，则 ，即 .
又 中点 在直线 AB 上，所以 .
将 代入上式得： .
解得 ， .
所以点 P 的坐标为 .
18．（17 分）
已知圆 过点 ，且圆心在直线 上．
（1）求圆 的方程；
（2）已知平面上有两点 ，点 是圆 上的动点，求 的最小值；
（3）若 是 x 轴上的动点， 与圆 相切，切点分别为 ，试问直线 是否恒过定点？若是，
求出定点坐标；若不是，请说明理由．
18．（17 分）
【解析】（1）因为圆心 在直线 上，
所以设 ，由圆 过点 ，可得 ，
即 ，
所以 ，
整理得 ，解得 ，
所以圆心为 ，半径 ，
所以圆 的方程为 .
（2）设 ，则 ，
因为 ，
所以 的最小值为 .
/（3）设 ，则以 为直径的圆的圆心为 ，
记 ， 半径为 ，
则此圆的方程为 ，
即 ，记此圆为 D.
因为直线 为圆 与圆 的相交弦所在直线，
所以两圆方程作差可得直线 的方程为 ，
即 .
由 ，解得
所以直线 恒过定点，定点坐标为 .
19．（17 分）
定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称
为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三
角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图 1， 对应图 2）.
/（1）判断椭圆 与椭圆 是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请
说明理由；
（2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
（3）已知椭圆 椭圆 的离心率为 ， 与 是“相似
椭圆”，且 与 的相似比为 ，若 的面积为 ，求 的面积（用 ， ， 表示）.
19．（17 分）
【解析】（1）解: 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为 ，理由如下：
椭圆 中，
椭圆 中，
，
则
所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似，
则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为
（2）证明：必要性：
若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等.
/如图，若 ，
则 ，
，
所以 ，
又因为
，
所以 ；
充分性：
若离心率相等，则 ，所以 ，
则 ， ，
则 ；
同理， ， ，
则 ，
所以 ；
所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似，
所以两个椭圆是“相似椭圆”.
故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
（3）解：设椭圆 的半焦距为 ，
因为椭圆 的离心率为 ，椭圆 与 相似，
所以椭圆 的离心率也为 ，
若 的面积为 ，
又 ， ，
/所以 的面积与 的面积之比为 ，
所以 的面积为
因为 与 的相似比为 ，
所以 的面积与 的面积的比为 ，
所以 的面积为
/
