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南开大学附属中学 25-26 学年上学期第一次阶段检测
高三数学学科试卷
一．选择题：每题 5 分共 45 分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集 ，集合 或 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的补集和交集运算方法即可计算.
【详解】 ， ，
∴ .
故选：A
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解 以及 ，分别得出两个不等式的解集，根据两集合的关系，即可得出答案.
【详解】解 可得， ，设 .
由 可得， ，解得 或 ，
设 或 .
显然集合 是集合 的真子集，
所以，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 函数 在 上的图象大致为（ ）
第 1页/共 14页A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据奇偶性排除 CD,再代入特值验证即可.
【详解】因为函数 的定义域为 ,
且 ,
所以函数 是偶函数,其函数图像关于 轴对称,排除 CD.
又 ,排除 B.
故选:A.
4. 若 m 为直线， 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面平行的定义可判断 A 的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断 BCD 的正误.
【详解】对于 A，若 ，则 可平行或异面，故 A 错误；
对于 B，若 ，则 ，故 B 错误；
对于 C，若 ，则存在直线 ， ，
所以由 可得 ，故 ，故 C 正确；
对于 D， ，则 与 可平行或相交或 ，故 D 错误；
第 2页/共 14页故选：C.
5. 已知平面向量 ， ，若 ，则 =（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量线性运算、垂直的向量表示、模长公式计算即可.
【详解】易知 ，所以 ，
即 .
故选：A
6. 中国新能源汽车出口实现跨越式突破，是国产汽车品牌实现弯道超车，打造核心竞争力的主要抓手.下表
是 2022 年我国某新能源汽车厂前 5 个月的销量 y 和月份 x 的统计表，根据表中的数据可得线性回归方程为
，则下列四个命题正确的个数为（ ）
月份 x 1 2 3 4 5
销量 y（万辆） 1.5 1.6 2 2.4 2.5
①变量 x 与 y 正相关；② ；③y 与 x 的样本相关系数 ；④2022 年 7 月该新能源汽车厂的销量
一定是 3.12 万辆．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据回归直线方程经过样本中心即可求解 ，结合相关性 定义以及回归方程即可逐一判
断.
【详解】由 ， ，因为回归直线过样本中心 ，
， ，②错误；
可知 随着 变大而变大，所以变量 与 正相关，①③正确；
由回归直线可知，2022 年 7 月该新能源汽车厂的销量的估计值是 万辆，④错误．
故选：B．
第 3页/共 14页7. 函数 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，确定函数单调性，利用零点存在性定理判断得解.
【详解】函数 在 上都单调递增，则函数 在定义域 上单调递增，
而 ， ，
所以 的零点所在区间为 .
故选：C
8. 若函数 （ ， ， ）的图象上有两个相邻顶点为
， .将 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位，再沿 y 轴向上平移 个单位后得 ，则
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最高点坐标与最低点坐标，从而可得周期与 的值，进而代入点可得 值，根据图象变换规
律可得 ，再结合特殊值余弦值求解.
【详解】函数 的图象上有两个相邻顶点为 ， ，所以
最高点坐标为 ，最低点坐标为 ，
所以函数的周期为 ，
又因为函数过 可得 ，所以 ，
， ，
第 4页/共 14页的解析式为 ，
将 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位，再沿 y 轴向上平移 个单位后得
，
所以 .
故选：C
9. 已知 ，则 x，y，z 的大小关系不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】法一：设 ，对 讨论赋值求出 ，即可得出大小关系，
利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设 ，所以
令 ，则 ，此时 ，A 有可能；
令 ，则 ，此时 ，C 有可能；
令 ，则 ，此时 ，D 有可能；
故选：B．
法二：设 ，所以，
根据指数函数 单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数 的图象，以上方程的根分别是函数 的图象与
直线 的交点纵坐标，如图所示：
第 5页/共 14页易知，随着 的变化可能出现： ， ， ， ，
故选：B．
二．填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分．
10. 是虚数单位，复数 _____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 即可.
【详解】
，故答案为 .
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌
握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复
数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
11. 在 的展开式中， 的系数为__________.（请用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】写出展开式通项，令 的指数为 ，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】 的展开式通项为 ，
令 可得 ，故展开式中 的系数为 .
故答案为： .
12. 若 ，则 ______
第 6页/共 14页【答案】1
【解析】
【分析】将指数式转化为对数式，然后代入目标式，根据对数运算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
得到 .
故答案为：1
13. 若点 是函数 的图像的一个对称中心，则 a 的最小值______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用正切函数的对称中心直接计算即可.
【详解】由正切函数的对称中心可知：
要求函数 的图像的对称中心即令 ，
则其对称中心为 ，
所以 ，显然 时， .
故答案为： .
14. 甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为 ， 且甲乙射击
互不影响，则无人机被击中的概率为_________．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为 ；若恰
好被两人击中，则被击落的概率为 ，那么无人机被击落的概率为_______
【答案】 ①. 0.7 ②. 0.22.
【解析】
【分析】设甲击中无人机为事件 ，乙击中无人机为事件 ，无人机被击中为事件 ，无人机被击落为事
件 ，利用对立事件的概率公式可求出无人机被击中的概率，利用全概率公式可求出无人机被击落的概率.
【详解】设甲击中无人机为事件 ，乙击中无人机为事件 ，无人机被击中为事件 ，无人机被击落为事
件 ，
第 7页/共 14页则 ，所以 ，
所以 ，
若无人机恰好被一人击中，即事件 ，
则 ，
若无人机被两人击中，即事件 ，
则 ，
所以
.
故答案 ： ，
15. 在平面直角坐标系 中， ， ．设 ，则 的取值范围是
________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据 ，求出 ，进而可以用向量 表示出 ，即可解出．
【详解】因为 ， ，
由 平方可得， ，所以 ．
， ，
所以，
，
又 ，即 ，
所以 ，即 ，
故答案为： .
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 ， .
第 8页/共 14页（1）求 c 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦边角关系及已知条件求 c；
（2）应用余弦定理求 值；
（3）应用平方关系、倍角正余弦公式求得 ， ，最后应用差角正弦公式求值.
【小问 1 详解】
因为 且 ，解得 ；
【小问 2 详解】
根据（1），易得 ，则 ；
【小问 3 详解】
由（2）及 ，得 ，
， ，
则 .
17. 如图，在直四棱柱 中，侧棱 长为 3，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 是
棱 BC 的中点．
第 9页/共 14页（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 ABCD 的夹角的余弦值；
（3）求三棱锥 的体积．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3）3.
【解析】
【分析】（1）以 为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证.
（2）求出平面 与平面 的法向量，再利用空间向量求出面面角的余弦值..
（3）利用空间向量的距离公式，结合锥体体积公式求解.
【小问 1 详解】
在直四棱柱 中，建立如图所示的空间直角坐标系，
由侧棱 的长为 3，底面 是边长为 2 的正方形，
得 ，由 是棱 的中点，得 ，
第 10页/共 14页则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
显然 ，则 ，又 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）知平面 的法向量为 ，而平面 的一个法向量为 ，
因此 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
【小问 3 详解】
由（1）知平面 的法向量为 ，而点 ，则 ，
点 到平面 的距离为 ，又 ，
则点 到直线 距离 ，
因此 的面积 ，
所以三棱锥 的体积 .
18. 已知函数 ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 ，求 的值域．
【答案】（1） ；
（2） .
第 11页/共 14页【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，结合正弦函数的单调性求解可得；
（2）利用整体代换法，结合正弦函数性质即可得解.
【小问 1 详解】
，
由 得 ，
所以 的单调递增区间为
【小问 2 详解】
当 时， ，
所以 ，所以 ，
所以 的值域为 .
19. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间和极值．
【答案】（1）
（2）单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，极小值为 ，无极大值
【解析】
【分析】（1）求出 和 ，根据导数的几何意义求切线方程；
（2）根据导数求单调区间，进而可得极值.
【小问 1 详解】
第 12页/共 14页因为 ，则 ，
可得 ， ，即切点坐标为 ，斜率 ，
所以切线方程为 0，即 .
【小问 2 详解】
因为函数 的定义域为 ，
由（1）可知： ，
当 时， ，所以 ，
则函数 在 上单调递增，
当 时， ，所以 ，
则函数 在 上单调递减，
所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
且函数 的极小值为 ，无极大值.
20. 设函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若当 时 ，求 a 的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）
【解析】
【分析】（1） 时， ，求定义域，求导，得到函数单调区间；
（2）求导，结合（1）可得 ，放缩得到 ，从而 时， ，结合特
殊点函数值，得到当 时， ， 时，放缩得到 时，
，结合特殊点函数值，得到此时 ，综上，可得答案.
【小问 1 详解】
第 13页/共 14页时， ，定义域为 R，
，令 得 ，令 得 ，
所以 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
【小问 2 详解】
，
由（1）知 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，
又 ，从而当 ，即 时， ，
在 上单调递增，
而 ，于是当 时， ，
由 得 ，即 ，
从而当 时， ，
故当 时， ，
故 在 上单调递减，又 ，故当 时， ，
综上，a 的取值范围是 .
第 14页/共 14页
