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高三年级数学模拟试题评分细则
一、单选题
1. 设全集 ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定义求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
而阴影部分表示的集合是 ，
则图中阴影部分表示的集合是 ，故B正确.
故选：B
2. 复数 的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的概念可得结果.
【详解】由题意得， ，
∴ .
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
3. 已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据平面向量的坐标化运算和垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】∵向量 ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，即得 ，解得 ，
故选：C．
4. 已知函数 为奇函数且 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求出 ，再求出函数值.
【详解】函数 为奇函数且 ，则 ，解得 ，
于是 ，所以 .
故选：A
5. 已知抛物线 的弦 的中点横坐标为5，则 的最大值为（ ）
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线定义，可得 ，数形结合可得 ，得解.
【详解】设抛物线 的焦点为 ， ， 的横坐标分别为 ， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司抛物线 的准线为 ，则 ， ，
，
（当且仅当 ， ， 共线时取等号）如图所示，
即 的最大值为12.
故选：A.
6. 某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为 ，高为
16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂
料，则共需涂料（ ）
A. 克 B. 克 C. 克 D. 克
【答案】C
【解析】
【分析】先求圆台的底面半径，计算圆台的侧面积，即可得到答案.
【详解】作圆台的轴截面如图：
梯形 为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为 、 ，再取 中点 ，连接 ，
则 中，因为 ，所以 ， ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司.
所以
所以灯罩的侧面积为： .
所以100个灯罩的外表面面积为： .
又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料 克.
故选：C
7. 若数列 满足 ，则 一定等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】证明 ，求出数列 的周期即可求解.
【详解】由 得 ，
所以 ，于是数列 的周期为4，
.
所以
故选：D.
8. 若函数 ，满足 ．若函数 存在零点 ，则（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可．
【详解】函数 的定义域为 ，
因为函数 在 上都是增函数，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
又因为 ，则 或 ，
若 ，由零点存在性定理 ；
若 ，而 ，则 ，由零点存在性定理 ，
综上所述，则C一定正确.
.
故选：C
二、多选题
9. 下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用
APP的结论正确的是（ ）
A. 超过 的大学生更爱使用购物类APP
B. 超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要
C. 使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是
D. APP使用目的中6个占比数字的 分位数是
【答案】AC
【解析】
【分析】选项A和B，根据图表中数据，即可判断出正误；选项C，根据图表中数据，利用极差的定义，
即可求解；选项D，将占比数字从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于选项A，根据图表知，大学生使用购物类APP占比为 ，所以选项A正确，
对于选项B，根据图表知，大学生使用APP是为了学习与生活需要的占比为 ，所
以选项B错误，
对于选项C，根据图表知，使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 ，所以选项
C正确，
对于选项D，根据图表知，APP使用目的中6个占比数字从小排到大分别为
，
又 ，所以 分位数是 ，故选项D错误.
故选：AC.
10. 在正方体 中，点 为棱 中点，则（ ）
A. 过 有且只有一条直线与直线 和 都相交
B. 过 有且只有一条直线与直线 和 都垂直
C. 过 有且只有一个平面与直线 和 都平行
D. 过 有且只有一个平面与直线 和 所成角相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】选项A，由题意满足条件的直线是平面 与平面 的交线，选项B，由线线平行的性质结
合异面直线成角的概念可判断；从而可判断；选项C，由线面平行的判定定理可判断；选项D，利用空间
向量法可判断.
【详解】如下图所示：
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学科网（北京）股份有限公司对于A选项，过点 与直线 相交的直线必在平面 内，
过点 与直线 相交的直线必在平面 内，故满足条件的直线必为两平面的交线，显然两平面有唯
一交线，A正确；
对于B选项，因为 ，若 ，则 ，若 ，则 平面 ，
显然满足条件的直线唯一，即 ，B正确；
对于C选项，分别取 、 的中点 、 ，连接 、 ，
因为 ， ， 、 分别为 、 的中点，
所以 ， ，则四边形 为平行四边形，
所以 ，又因为 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证 平面 ，
所以过 有且只有一个平面与直线 和 都平行，C正确；
对于D选项，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间
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学科网（北京）股份有限公司直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为 ，则 、 、 、 ，
， ，
设满足题设条件的平面的法向量为 ，其中 ，
由题意可得 ，可得 ，即 ，
所以，以 或 为法向量且过点 的平面均满足题意，
故过 有无数个平面与直线 和 所成角相等，D错.
故选：ABC
11. 已知 ，记 为集合 中元素的个数， 为集合 中的最小元素．若非空数集
，且满足 ，则称集合 为“ 阶完美集”．记 为全部 阶完美集的个数，
下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 将 阶完美集 的元素全部加1，得到的新集合，是 阶完美集
C. 若 为 阶完美集， 且 ，满足条件的集合 的个数为
D. 若 为 阶完美集， 且 ，满足条件的集合 的个数为
【答案】ABD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性质判断相关结
论的正确性.
的
【详解】当非空数集 是 子集中含 个元素 子集时， .根据“n阶完美集”的定义，
中大于等于 的数有 、 、 、 共 个，所以此时 可以是 、 、 、 .
当非空数集 是 子集中含 个元素的子集时， . 中大于等于 的数有 、 、
共 个，所以此时 可以是 、 、 .
当非空数集 是 子集中含 个元素的子集时， . 中大于等于 的数有 、 共
个，不满足“n阶完美集”的定义，所以 中 个元素的子集不满足.
同理， 中含 个元素的子集也不满足.
综上，4阶完美集有 、 、 、 、 、 、 ，所以 ，故A正确.
若将“n阶完美集” 中元素全部加 ， 中元素个数不变，但 加 变大，均不违背“ 阶完美
集”的定义，所以得到的新集合是一个“ 阶完美集”，故B正确.
若 ，满足条件的集合 的个数为7，而 ,C错误；
对于满足“ 阶完美集”的所有 ， 不属于所有 ，可视为退化为“ 阶完美集”的情况，
总个数为 .
又因为 ，所以满足条件的集合 要排除掉“ 阶完美集”中只含有 个元素的情形（排除 个
单元素集合），因此满足条件的集合 的个数均为 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：新定义题型，关键就是读懂题意，将陌生的概念转化为熟悉的知识，再借助旧知解
题即可.
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题
12. 在多项式 的展开式中， 的系数为32，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】首先展开得 ，再分别计算两部分含 的系数，即可求解.
【详解】 ，
中含 的系数为 ， 中含 的系数为 ，所以 中 的系数为 ，
所以 ，得
故答案为：
13. 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》
而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为
30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝________米．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，表示出 ，利用 结合余弦定理列方程求
解.
【详解】设 ，
则 .
由 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由余弦定理得 ，
解得 ，即OP为 米．
故答案为： .
14. 如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点 顺时针旋转 后，构成一个斜坐标平面 .在此斜坐标
平面 中，点 的坐标定义如下：过点 作两坐标轴的平分线，分别交两轴于 两点，则
在 轴上表示的数为 ， 在 轴上表示的数为 .那么以原点 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方
程为___________.
【答案】
【解析】
【详解】
【分析】过点 作 ，
设 在直角坐标下的坐标为 ，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
即 ，
因为 在单位圆上，
所以 ，即 ，
整理得 .
考点：圆的一般方程.
【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，
根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题
的解答中，设出 在直角坐标下的坐标为 ，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方
程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键.
15. 若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个
“二阶等差数列”，已知数列 是一个二阶等差数列，其中 ．
（1）求 及 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出递推公式 ，求出 ，再利用累加法求出通项公式.
（2）由（1）的结论求出 ，利用分组求和及裂项相消法求和即得.
【小问1详解】
由 ，得 ， ，
由数列 是一个二阶等差数列，得 是以2为首项，1为公差的等差数列，
因此 ， ，
当 时， ，
满足上式，则 ，
所以 的通项公式是 .
【小问2详解】
由（1）知，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以
．
16. 某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，
分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现
从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
（1）规定初赛成绩中不低于90分为优秀，80 90分为良好，70 80分为一般，60 70分为合格，60分
以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀
的概率，并求初赛成绩优秀的人数 的分布列及数学期望；
（2）由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩 服从正态分布 ，其中 可
近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且 ．已
知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？
（参考数据： ；若 ，则 ，
， ．
【答案】（1）至少有1人初赛成绩优秀的概率为 ，分布列见详解， .
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学科网（北京）股份有限公司（2）估计小华有资格参加复赛.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图求得初赛成绩不低于80分的学生人数，再根据超几何分布写出随机变
量 的分布列，进而求得概率和数学期望；
（2）根据频率分布直方图估计正态分布的均值，进而利用 原则估计全校参加初赛的学生中成绩不低于
85分的人数，即可估计小华是否有资格参加复赛.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，
样本中位于区间 内的人数： ，
样本中位于区间 内的人数： ，
抽取的2人中成绩优秀的人数 可能的取值有0，1，2
， ，
所以 的分布列为
X 0 1 2
P
因此，至少有1人初赛成绩优秀的概率 ，
数学期望 .
【小问2详解】
由频率分布直方图可知：
，
由 ，得 ，又 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以全校参加初赛学生中，不低于85分的约有 人，
因为 ，所以估计小华有资格参加复赛.
17. 如图，侧面 水平放置的正三棱台 ，侧棱长为 为棱
上的动点.
（1）求证： 平面 ；
（2）是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出点 ；若不存在，
请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，点 为靠近 的三等分点
【解析】
【分析】（1）根据棱台的几何性质，结合勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
延长三条侧棱交于一点 ，如图所示，
因为正三棱台的侧棱长为 ，且
所以 ，而 ，所以，
，即 ，同理 ，
，又 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 平面 ，即 平面 .
【小问2详解】
由（1）知 ，以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
，
设 ，
则 ，则 .
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ，所以 ，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，
整理得 ，即 ，解得 或 （舍），
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学科网（北京）股份有限公司故当点 为靠近 的三等分点时，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 已知动圆 与圆 ： 和圆 ： 都内切，记动圆圆心 的轨迹为
.
（1）求 的方程；
（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为 ，则曲线
上一点 处的切线方程为： .试运用
该性质解决以下问题：点 为直线 上一点（ 不在 轴上），过点 作 的两条切线 ， ，切
点分别为 ， .
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于点 ，直线 交曲线 于 ， 两点.记
， 的面积分别为 ， ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）（i）证明见解析；（ii） .
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的几何定义求解动点的轨迹方程；
（2）（i）根据题意中的性质求解出两条切线方程，代入点 坐标后，得出直线 的方程，从而算出斜
率，再去判断与另一直线是否垂直；
（ii）联立直线 的方程与椭圆 的方程，由韦达定理得出 ，进而求解出直线 与 轴
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学科网（北京）股份有限公司的交点 的坐标，再用垂直关系又去设出直线 的方程与椭圆 的方程联立，再用坐标去表示出
，最后可由基本不等式得出结果.
【小问1详解】
设动圆 的半径为 ，由题意得圆 和圆 的半径分别为7，1，
因为 与 ， 都内切，
所以 ， ，
所以 ，
又 ， ，故 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
设 的方程为： ，
则 ， ，所以 ，
故 的方程为：
【小问2详解】
（i）证明：设 ， ， ，
由题意中的性质可得，切线 方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司切线 方程为 ，
因为两条切线都经过点 ，所以 ， ，
故直线 的方程为： ，可得直线 的斜率为：
而直线 的斜率为： ，
因为 ，所以 ;
（ii）由直线 的方程为： ，可改设直线 的方程为： ，
联立 ，整理得 ，
由韦达定理得 ，
又 ，所以直线 的方程为 ，
令 得，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以直线 经过定点 ，又 ，
再由 ，可设直线 的方程为： ，
再联立 ，整理得 ，
设 ， ，则由韦达定理得 ，
因为 ，所以
，
所以 ，当且仅当 时，即 时取等号.
又因为 ，所以
【点睛】方法点睛：
（1）利用两圆相内切的几何关系来推导出椭圆的几何定义，从而求出轨迹方程；
（2）利用曲线上某点的切线方程去推导出切点弦方程.
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学科网（北京）股份有限公司19. 定义可导函数p（x）在x处的函数 为p（x）的“优秀函数”，其中 为p（x）
的导函数．若 ，都有 成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀
区间”．已知 ．
（1）求出f（x）的“优秀区间”；
（2）设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程 有两个不同的实数解 、 ．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明： （参考数据： ）．
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据“优秀函数”的定义，求出 的“优秀函数” ，再利用作差法比较 和
的大小关系，构造函数 ，对 的分子分母分别判断正负，进而求得f
（x）的“优秀区间”；
（2）（ⅰ）对 分离常数，求出 ，构造函数 ，
由 的单调性求得 的最值，进而得到m的取值范围；
（ⅱ）先分析出要证 ，即证 ，再构造函数
，根据 的单调性，求得 ，再构造函数
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学科网（北京）股份有限公司，根据 的单调性，求得 ，可推得 ，
又由 的单调性，求得 ，从而得到 ，进而得证.
【小问1详解】
当 时，
的“优秀函数”为 ，
，
令 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以当 时，h（x）单调递减；当 时，h（x）单调递增，
故 ．
当 时， ，则 ， ，f（x）不具有“优秀性质”；
当 时， ，则 ， ，f（x）具有“优秀性质”．
故f（x）的“优秀区间”为 ．
【小问2详解】
（ⅰ） 即 ，所以 ，
所以 ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
故当 时，k（x）单调递减； 时，k（x）单调递增．
，
当 时， ； 时， ，
，故 ．
即m的取值范围为 ．
（ⅱ）由 、 为方程的两个解可知： ，
要证 ，即证 ，
令 ， ，
令 ， ，
则N（x） 在单调递增，故 ，
所以 时， ，故M（x）在 上单调递增，
则 ．
令 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
令 ，则 ，
故G（x）在 上单调递增， ．即 ，
故Q（x）在 上单调递增．故 ，
即 ， 成立，
因为 ，则 ，
又 ， ，k（x）在（0，1）单调递减，则 ，即 ，
故 ,所以 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：本题主要考查了函数新定义问题以及利用导数研究不等式问题，通常首先要构造函数，
利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的不等式；对含有参数的函数，也可先分离变量，
再构造函数，直接把不等式转化为函数的最值问题.
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学科网（北京）股份有限公司
