巴蜀中学2025届高考适应性月考卷（七）数学答案_2025年4月_250414重庆市巴蜀中学2025届高三4月适应性月考卷（七）（全科）

数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C B D B D A
【解析】
1 1
1．因为 |x|0x1，|x|11x1，故“ |x|”是“|x|1”的充分不必要条件，
x x
故选A．
2．过点P(1，0)可以作3条直线与抛物线C：x2  y有且仅有1个公共点，故选D．
3．因为 z(1i)(a2i)(a2)(2a)i ，所以它在复平面内对应的点为(a2，2a)；
(a2)(2a)40，故点(a2，2a)不可能在第三象限，故选C．
πr2 4π， r2，
4．设圆锥的底面半径为 r ，母线为 l ，则  解得  故圆锥的高
πl 2πr， l 4，
1 1 8 3
h l2 r2 2 3，故此圆锥的体积V  S h 4π2 3 π，故选B．
3 底 3 3
π 2π a2 c2 b2
5．由钝角△ABC中的最大角为B ， ；故由余弦定理：cosB
2 3  2ac
c2 40  1 
  ，0，解得c(5，2 10)，故选D．
6c  2 
y1 y(1)
6．  ，可以看作圆(x2)2 (y1)2 2上的动点P(x，y)与定点Q(0，1)连线的
x x
y(1) x y1 y1
斜率；数形结合可知 k [1，1]， 1 [0，2]，故选B．
x PQ x x
7．由x0知 f(x)xx elnxx exlnx，x(0，)；令g(x)xlnx，x0，则g(x)1lnx，
1 1  1 1
令g(x)0，解得x ，当0x 时，g(x)0，g(x)在0， 上单调递减；当x
e e  e e
1 
时，g(x)0，g(x)在 ，上单调递增； f(x)由函数yeu与ug(x)复合而成，而
e 
数学参考答案·第1页（共10页） 1 1 
yeu在(，)上单调递增；故 f(x)在0， 上单调递减，在 ，上单调递增；
 e e 
1  1
所以 f(x)  f  e e，故选D．
min e
            π
8．记 OAa，OBb，OC c ，则 a，bAOB，ac，bcACB ；由题意：
3
 
          1   ab 1
|ab|2|a|2 |b|2 2ab22ab1，故ab ，故cosa，b    ，故
2 |a||b| 2
  2π          
a，bAOB ；且 |ab|2|a|2 |b|2 2ab22ab3 ，故 |ab| 3 ，即
3
 
|AB| 3；故AOBACBπ；|c||OC|取最大值时，O，C两点应该在直线AB的两
 
侧，故O，A，B，C四点共圆，则|c||OC|的最大值即为圆的直径；在△ABC中，由正弦
 |AB|
定理：|c| 2R 2，故选A．
max π
sin
3
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ABC ABD BCD
【解析】
 π  π
9．对于 A： f(x)2sinx  ，g(x)2sinx  ，正确；对于 B： f(x)ex，g(x)
 3  4
2ex eln2 ex exln2，正确；对于C： f(x)lnx，g(x)ln(2x)lnxln2，正确；对于
D：f(x)ln|x|的定义域为(，0)(0，)，而g(x)ln(|x|1)的定义域为(，)，
所以无论怎么平移两函数，图象都不可能重合，错误，故选ABC．
10．由a0，b0，知ab2b14a0，故a14；aba142b0，故b7；故ab21，
142b 16
故 A 正确；由 aba2b14 知 a(b1)142b ，故 a  2 ，故
b1 b1
16
a6 b1 8  1  2 1  1 1 2 ，故当b3，a2时， a6 取
 16  8 16   1 b1
b1 b1 b1 b1 b1 4
得 最 小 值 1 ， 故 B 正 确 ； 由 aba2b14 ， 知 (a2)(b1)16 ， 故
数学参考答案·第2页（共10页）(a2)4(b1)≥2 4(a2)(b1) 16，故a4b≥10，当且仅当a6，b1时取等号；
1 1 1 1 1 1
故a4b的最小值为10，故C错误；  ≥2  2  ，
a2 b1 a2 b1 (a2)(b1) 2
1 1 1
当且仅当a2，b3时取等号；故  的最小值为 ，故D正确，故选ABD．
a2 b1 2
11．对于A：202510245122561286432811210 129 128 127 1
26 125 024 123 022 0211(11111101001) ，故 A 错误；对于 B：
2
na 26 a 25 a 21a 20，其中a 1，a，a，，a 中有且只有 2 个 1，
0 1 5 6 0 1 2 6
有C2 15种可能；所以所有二进制数(a aa a ) 对应的十进制数的和中，26出现
6 0 1 2 6 2
C2 15 次， 25，24，，21，20 均出现 C1 5 次，所以对应的十进制数的和为
6 5
C1(25 24 2120)C226 1275，故B正确；对于C：na 2k a 2k1+a 
5 6 0 1 2
k
2k2 a 21a 20，则S(n)a ；2n1a 2k1a 2k a 2k1
k1 k i 0 1 2
i0
k
a 22 a 211，故S(2n1)a 1S(n)1；16n4a 2k4 a 2k3 
k1 k i 0 1
i0
k
a 2k2 a 25 a 24 22 ， 故 S(16n4)a 1S(n)1 ， 故
2 k1 k i
i0
S(2n1)S(16n4) ，故 C 正确；对于 D： 22025，22025 1，22025 2，，22026 1 共
22026 22025 22025个数中所有的数转换为二进制后，总位数都为2026，且最高位都为1；
而除最高位之外的剩余 2025 位中，每一位都是 0 或者 1；设其中的数x，转换为二进制
后有k个0(0≤k≤2025)， f(x)2k；在这22025个数中，转换为二进制后有k个0的数共
2025
有Ck 个，故 f(22025) f(22025 1) f(22025 2) f(22026 1)2k Ck (12)2025
2025 2025
k0
32025，故D正确，故选BCD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
20 11  1
答案 0，  [1，)
29 2  2
数学参考答案·第3页（共10页）【解析】
 π  π  π
2sin cos  2tan 
 π   π  4  4  4 20
12．cos2sin2 sin  2     ．
 2   4 sin2   π cos2   π  1tan2   π  29
 4  4  4
13．将m，3m(mR)以外的数据从小到大排列：1，5，5，6，7，11，21，27；因为1075%7.5，
故第75百分位数为第8位数，即：从小到大的第8位数是12；显然m03mm，故
3m12m4，故将所有数据从小到大排列：1，4，5，5，6，7，11，12，21，27 ；因为
56 11
1040%4，故第40百分位数为  ．
2 2
1
14．令 y f(af(x)) y f(t)，taf(x)；令 f(t)0得t1，故af(x)1 f(x) （显然
a
1 1
a0）；即：f(x) 的所有解的乘积为1；数形结合：f(x) 的解可看作函数y f(x)
a a
1 2x 1，x≤0，
的图象与直线y 的交点的横坐标；结合 f(x) 的图象可知：当a0时：
a |lnx|，x0
1
函数y f(x)≥0的图象与直线y 0没有交点；当a0时：函数y f(x)|lnx|(x0)
a
1 1
的图象与直线y 有 2 个交点，即 f(x) 当x0时有 2 个解x，x (x x )，且满足
a a 1 2 1 2
|lnx ||lnx |lnx lnx lnx lnx lnxx 0 ， 故 xx 1 ； 又
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
y f(x)2x 1(x≤0)单调递增，且 f(x)2x 1(x≤0)(1，2]，故 (0，1](2，)，
a
 1
故a0，

[1，)．
 2
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
（1）证明：由四边形ABCD为正方形知AB∥CD；
又QA AB，故QACD；
又PD∥QA，故PDCD；
又平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，
所以PD平面ABCD．…………………………………………………………………（5分）
数学参考答案·第4页（共10页）（2）解：由（1）知PD平面ABCD且DADC，故DA，DC，DP互相垂直；
以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系；
不妨设QA1，则PDDC 2，则B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，Q(2，0，1)，
  
故PB(2，2，2)，PC (0，2，2)，PQ(2，0，1)；
………………………………………………………（6分）

设平面PBQ的法向量是m(x，y，z )，
1 1 1
 
 mPB2x 2y 2z 0， 
则  1 1 1 取x 1，可得m(1，1，2)；
mPQ2x z 0， 1
1 1
………………………………………………………（8分）

设平面PBC 的法向量是n(x，y，z )，
2 2 2
 
 nPB2x 2y 2z 0， 
则  2 2 2 取y 1，可得n(0，1，1)；……………………（10分）
nPC2y 2z 0， 2
2 2
记平面PBC 与平面PBQ所成锐二面角为，
 
  |mn| 3 3 π
则cos|cosm，n|     ，故 ；
|m||n| 6 2 2 6
π
故平面PBC 与平面PBQ所成锐二面角的大小为 ．………………………………（13分）
6
16．（本小题满分15分）
xa a
lnx 1 lnx
（1）解： x x ，
f(x)  (a0)
(xa)2 (xa)2
1a 1
故 f(1)  (a0)；………………………………………………………（2分）
(1a)2 1a
f(1)0，
lnx 1 1
故函数 f(x) (a0)的图象在x1处的切线斜率为 ，即 f(1) ；
xa 2 2
………………………………………………………………………………………（4分）
1 1
由a0知 f(1)  ，解得a1．………………………………………………（6分）
1a 2
数学参考答案·第5页（共10页）1
lnx 1 lnx
（2）证明：由（1）知 f(x) ，定义域x(0，)， x ；
f(x)
x1
(x1)2
………………………………………………………………………………………（8分）
1
令g(x)1 lnx，则g(x)在(0，)上单调递减；
x
1
由g(1)20，g(e2) 10知存在x (1，e2)，使得g(x )0；
e2 0 0
当x(0，x )时，g(x)0 f(x)0， f(x)单调递增；
0
当x(x，)时，g(x)0 f(x)0， f(x)单调递减；
0
故x 即为 f(x)的极大值点；……………………………………………………………（11分）
0
1 1
由g(x )0，知1 lnx 0lnx 1 ，
0 x 0 0 x
0 0
1
1
故 lnx x 1 ，
f(x ) 0  0 
0 x 1 x 1 x
0 0 0
故x f(x )1，结论成立．……………………………………………………………（15分）
0 0
17．（本小题满分15分）
解：（1）若按某指定顺序参加活动，这三位同学各自能闯关成功的概率依次为 p，p，p ，
1 2 3
1 1 2
其中 p，p，p 是 ， ， 的一个排列；………………………………………………（2分）
1 2 3 4 3 3
则“挑战胜利”的概率P p p  p (1 p )p (1 p )p p  p p  p p  p p 2p p p
1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
1 1 1 2 1 2 1 1 2 13
      2    ，
4 3 3 3 4 3 4 3 3 36
故改变三个人先后参加活动的顺序，“挑战胜利”的概率不会发生变化．
………………………………………………………………………………………（6分）
（2）若按某指定顺序参加活动，这三位同学各自能闯关成功的概率依次为 p，p，p ，
1 2 3
1 1 2
其中 p，p，p 是 ， ， 的一个排列；
1 2 3 4 3 3
记活动用时为随机变量t（单位：分钟），
则P(t 2) p p (1 p )(1 p )2p p (p  p )1，
1 2 1 2 1 2 1 2
P(t 3)1P(t 2)(p  p )2p p ；
1 2 1 2
数学参考答案·第6页（共10页）故数学期望E(t)2P(t 2)3P(t3)4p p 2(p  p )23(p  p )6p p
1 2 1 2 1 2 1 2
(p  p )2p p 2；…………………………………………………………………（9分）
1 2 1 2
1 1 2 1 2 23
当 p  时，E(t)  2  2 ；
3 4 3 3 3 3 9
1 1 2 1 2 31
当 p  时，E(t)  2  2 ；
3 3 4 3 4 3 12
2 1 1 1 1 29
当 p  时，E(t)  2  2 ；
3 3 4 3 4 3 12
29 23 31
由   知：甲、乙同学应该先参加前两次闯关活动．
12 9 12
……………………………………………………………………………………（15分）
18．（本小题满分17分）
x x y  y
解：（1）点差法：设A(x，y )，B(x，y )，则x  1 2，y  1 2 ；
1 1 2 2 E 2 E 2
x2 x2
由A、B两点在椭圆上： 1  y2 1①， 2  y2 1②；
a2 1 a2 2
………………………………………………………………………………………（2分）
(x x )(x x )
用①−②得： 1 2 1 2 (y  y )(y  y )0，
a2 1 2 1 2
(y  y )(y  y ) 2y (y  y ) y (y  y ) 1 1
即： 1 2 1 2  E 1 2  E 1 2 k k   a2 3，
(x x )(x x ) 2x (x x ) x (x x ) OE AB a2 3
1 2 1 2 E 1 2 E 1 2
x2
故椭圆C的方程为  y2 1．………………………………………………………（4分）
3
ykxt，

（2）（i）联立x2 得(3k2 1)x2 6ktx3t2 30；
  y2 1，
 3
设A(x，y )，B(x，y )，
1 1 2 2
6kt 2t
由韦达定理：x x  ，所以y  y  .
1 2 3k2 1 1 2 3k2 1
x x 3kt
由于E为线段AB的中点，因此x  1 2  ；
E 2 3k2 1
………………………………………………………………………………………（6分）
数学参考答案·第7页（共10页）若射线OE与椭圆C、直线x3分别交于G，D两点，
1
知x 0且射线OE的方程为y x(x≥0)，
G 3k
3k
将其代入椭圆C的方程，解得x  ，x 3；
G D
3k2 1
由|OD|，|OG|，|OE|成等比数列知|OG|2|OD||OE|，故x2 x x ，
G D E
2
 3k   3kt  9k2 9kt
故  3    k t；
 3k2 1  3k2 1 3k2 1 3k2 1
因此，直线l的方程为yk(x1)，所以直线l恒过定点N(1，0)；
………………………………………………………………………………………（9分）
故当直线l MN k 1时，点M(0，1)到直线l距离的最大值d |MN| 2．
max
……………………………………………………………………………………（10分）
 3k 1 
（ii）由（i）得G ， ，
 3k2 1 3k2 1
 3k 1 
由直线BG与x轴垂直知B ， ，
 3k2 1 3k2 1
代入yk(x1)整理得3k2 1k 3k2 1，
故3k2 10且6k4 7k2 10，
1
解得k2  （舍去）或k2 1，所以k 1，
6
3 1 3 1
此时B ，

，G ，

关于x轴对称；…………………………………………（13分）
2 2 2 2
此时直线l：yx1，故A(0，1)；
由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设△ABG的外接圆的圆心为(d，0)，
 3 2 1 1
因此d2 1d    ，解得d  ，
 2 4 2
5
故△ABG的外接圆的半径为r d2 1 ，
2
 1 2 5
所以△ABG的外接圆方程为 x   y2  ．……………………………………（17分）
 2 4
数学参考答案·第8页（共10页）19．（本小题满分17分）
（1）证明：因为数列{a }同时满足P(2)，P(3)性质，
n
所以当n2时，a a a a a4 ()，
n2 n1 n1 n2 n
当n3时，a a a a a a a6 ()，………………………………（2分）
n3 n2 n1 n1 n2 n3 n
当n3时，由()得：a a a a a4 ()，a a a a a4 ()，
n3 n2 n n1 n1 n1 n n2 n3 n1
a4 a4
将()，()式代入()式得： n1 a a  n1 a6，
a a n1 n1 a a n
n n1 n1 n
所以a4 a4 a8，
n1 n1 n
又因为a 0，所以a a a2；
n n1 n1 n
取n4，得a a a2；
3 5 4
所以当n≥3时，数列{a }为等比数列．………………………………………………（4分）
n
a a a
设q 4  5  n ，
a a a
3 4 n1
a
将n4代入()式得a a a a a4，所以a  3 ；
2 3 5 6 4 2 q
a
将n3代入()式得a a a a a4，所以a  3 ；
1 2 4 5 3 1 q2
所以对任意的nN，数列{a }为等比数列．…………………………………………（6分）
n
（2）解：①因为a 1，a 3，所以q3，所以a 3n1(nN)，
1 2 n
………………………………………………………………………………………（7分）
1(13n) 3n 1
S   ．…………………………………………………………………（8分）
n 13 2
当3k11≤i≤3k 1时，b b 2k，所以{b}为等差数列，
i i1 i
3k1 (23k11)(23k12)
得到：  b (23k11)(k2k) 2k 4k 32k2 k，
i 2
i3k11
……………………………………………………………………………………（9分）
3n1 n n 4 n
所以T b b b b b i(4k 32k2 k) (k 9k)，
n 1 2 3 2Sn i 9
i1 i1 k1 k1
……………………………………………………………………………………（10分）
数学参考答案·第9页（共10页）4
所以T  [19292 (n1)9n1n9n]，
n 9
4
所以9T  [192 293 (n1)9n n9n1]，
n 9
4 1  1
两式相减得：8T  (9192 9n n9n1) 4n9n  ，
n 9 2  2
(8n1)9n 1
所以T  ．………………………………………………………………（12分）
n 16
n 8i1 9
②  ，……………………………………………………（13分）
16T (3i1)(8i1)1 40
i1 i
3n1 3n4 3n1 24n5
理由如下：令c  ，c c    0，
n 9n n1 n 9n1 9n 9n1
4
所以数列{c }单调递减，所以c ≤ ，
n n 9
n 8i1 n 1 n 1 n 1
   
所以 16T (8i1)(3i1)1 9i (3i1)  3i1 9i (1c)
i1 i i1 i1 9i 1  i1 i
 9i 
 1 n
11  
≤
n 1

n 1

1

1

 9 

9 
1
1 

9
．
 4 5 9i1 5 1 40 9n  40
i1 9i 1  i1 1
 9 9
……………………………………………………………………………………（17分）
数学参考答案·第10页（共10页）