巴蜀中学2025届高考适应性月考卷（七）数学答案_2025年4月_250414重庆市巴蜀中学2025届高三4月适应性月考卷（七）（全科）

数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B D B D A 【解析】 1 1 1．因为 |x|0x1，|x|11x1，故“ |x|”是“|x|1”的充分不必要条件， x x 故选A． 2．过点P(1，0)可以作3条直线与抛物线C：x2  y有且仅有1个公共点，故选D． 3．因为 z(1i)(a2i)(a2)(2a)i ，所以它在复平面内对应的点为(a2，2a)； (a2)(2a)40，故点(a2，2a)不可能在第三象限，故选C． πr2 4π， r2， 4．设圆锥的底面半径为 r ，母线为 l ，则  解得  故圆锥的高 πl 2πr， l 4， 1 1 8 3 h l2 r2 2 3，故此圆锥的体积V  S h 4π2 3 π，故选B． 3 底 3 3 π 2π a2 c2 b2 5．由钝角△ABC中的最大角为B ， ；故由余弦定理：cosB 2 3  2ac c2 40  1    ，0，解得c(5，2 10)，故选D． 6c  2  y1 y(1) 6．  ，可以看作圆(x2)2 (y1)2 2上的动点P(x，y)与定点Q(0，1)连线的 x x y(1) x y1 y1 斜率；数形结合可知 k [1，1]， 1 [0，2]，故选B． x PQ x x 7．由x0知 f(x)xx elnxx exlnx，x(0，)；令g(x)xlnx，x0，则g(x)1lnx， 1 1  1 1 令g(x)0，解得x ，当0x 时，g(x)0，g(x)在0， 上单调递减；当x e e  e e 1  时，g(x)0，g(x)在 ，上单调递增； f(x)由函数yeu与ug(x)复合而成，而 e  数学参考答案·第1页（共10页） 1 1  yeu在(，)上单调递增；故 f(x)在0， 上单调递减，在 ，上单调递增；  e e  1  1 所以 f(x)  f  e e，故选D． min e             π 8．记 OAa，OBb，OC c ，则 a，bAOB，ac，bcACB ；由题意： 3             1   ab 1 |ab|2|a|2 |b|2 2ab22ab1，故ab ，故cosa，b    ，故 2 |a||b| 2   2π           a，bAOB ；且 |ab|2|a|2 |b|2 2ab22ab3 ，故 |ab| 3 ，即 3   |AB| 3；故AOBACBπ；|c||OC|取最大值时，O，C两点应该在直线AB的两   侧，故O，A，B，C四点共圆，则|c||OC|的最大值即为圆的直径；在△ABC中，由正弦  |AB| 定理：|c| 2R 2，故选A． max π sin 3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ABC ABD BCD 【解析】  π  π 9．对于 A： f(x)2sinx  ，g(x)2sinx  ，正确；对于 B： f(x)ex，g(x)  3  4 2ex eln2 ex exln2，正确；对于C： f(x)lnx，g(x)ln(2x)lnxln2，正确；对于 D：f(x)ln|x|的定义域为(，0)(0，)，而g(x)ln(|x|1)的定义域为(，)， 所以无论怎么平移两函数，图象都不可能重合，错误，故选ABC． 10．由a0，b0，知ab2b14a0，故a14；aba142b0，故b7；故ab21， 142b 16 故 A 正确；由 aba2b14 知 a(b1)142b ，故 a  2 ，故 b1 b1 16 a6 b1 8  1  2 1  1 1 2 ，故当b3，a2时， a6 取  16  8 16   1 b1 b1 b1 b1 b1 b1 4 得 最 小 值 1 ， 故 B 正 确 ； 由 aba2b14 ， 知 (a2)(b1)16 ， 故 数学参考答案·第2页（共10页）(a2)4(b1)≥2 4(a2)(b1) 16，故a4b≥10，当且仅当a6，b1时取等号； 1 1 1 1 1 1 故a4b的最小值为10，故C错误；  ≥2  2  ， a2 b1 a2 b1 (a2)(b1) 2 1 1 1 当且仅当a2，b3时取等号；故  的最小值为 ，故D正确，故选ABD． a2 b1 2 11．对于A：202510245122561286432811210 129 128 127 1 26 125 024 123 022 0211(11111101001) ，故 A 错误；对于 B： 2 na 26 a 25 a 21a 20，其中a 1，a，a，，a 中有且只有 2 个 1， 0 1 5 6 0 1 2 6 有C2 15种可能；所以所有二进制数(a aa a ) 对应的十进制数的和中，26出现 6 0 1 2 6 2 C2 15 次， 25，24，，21，20 均出现 C1 5 次，所以对应的十进制数的和为 6 5 C1(25 24 2120)C226 1275，故B正确；对于C：na 2k a 2k1+a  5 6 0 1 2 k 2k2 a 21a 20，则S(n)a ；2n1a 2k1a 2k a 2k1 k1 k i 0 1 2 i0 k a 22 a 211，故S(2n1)a 1S(n)1；16n4a 2k4 a 2k3  k1 k i 0 1 i0 k a 2k2 a 25 a 24 22 ， 故 S(16n4)a 1S(n)1 ， 故 2 k1 k i i0 S(2n1)S(16n4) ，故 C 正确；对于 D： 22025，22025 1，22025 2，，22026 1 共 22026 22025 22025个数中所有的数转换为二进制后，总位数都为2026，且最高位都为1； 而除最高位之外的剩余 2025 位中，每一位都是 0 或者 1；设其中的数x，转换为二进制 后有k个0(0≤k≤2025)， f(x)2k；在这22025个数中，转换为二进制后有k个0的数共 2025 有Ck 个，故 f(22025) f(22025 1) f(22025 2) f(22026 1)2k Ck (12)2025 2025 2025 k0 32025，故D正确，故选BCD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 20 11  1 答案 0，  [1，) 29 2  2 数学参考答案·第3页（共10页）【解析】  π  π  π 2sin cos  2tan   π   π  4  4  4 20 12．cos2sin2 sin  2     ．  2   4 sin2   π cos2   π  1tan2   π  29  4  4  4 13．将m，3m(mR)以外的数据从小到大排列：1，5，5，6，7，11，21，27；因为1075%7.5， 故第75百分位数为第8位数，即：从小到大的第8位数是12；显然m03mm，故 3m12m4，故将所有数据从小到大排列：1，4，5，5，6，7，11，12，21，27 ；因为 56 11 1040%4，故第40百分位数为  ． 2 2 1 14．令 y f(af(x)) y f(t)，taf(x)；令 f(t)0得t1，故af(x)1 f(x) （显然 a 1 1 a0）；即：f(x) 的所有解的乘积为1；数形结合：f(x) 的解可看作函数y f(x) a a 1 2x 1，x≤0， 的图象与直线y 的交点的横坐标；结合 f(x) 的图象可知：当a0时： a |lnx|，x0 1 函数y f(x)≥0的图象与直线y 0没有交点；当a0时：函数y f(x)|lnx|(x0) a 1 1 的图象与直线y 有 2 个交点，即 f(x) 当x0时有 2 个解x，x (x x )，且满足 a a 1 2 1 2 |lnx ||lnx |lnx lnx lnx lnx lnxx 0 ， 故 xx 1 ； 又 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 y f(x)2x 1(x≤0)单调递增，且 f(x)2x 1(x≤0)(1，2]，故 (0，1](2，)， a  1 故a0，  [1，)．  2 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） （1）证明：由四边形ABCD为正方形知AB∥CD； 又QA AB，故QACD； 又PD∥QA，故PDCD； 又平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD， 所以PD平面ABCD．…………………………………………………………………（5分） 数学参考答案·第4页（共10页）（2）解：由（1）知PD平面ABCD且DADC，故DA，DC，DP互相垂直； 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系； 不妨设QA1，则PDDC 2，则B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，Q(2，0，1)，    故PB(2，2，2)，PC (0，2，2)，PQ(2，0，1)； ………………………………………………………（6分）  设平面PBQ的法向量是m(x，y，z )， 1 1 1    mPB2x 2y 2z 0，  则  1 1 1 取x 1，可得m(1，1，2)； mPQ2x z 0， 1 1 1 ………………………………………………………（8分）  设平面PBC 的法向量是n(x，y，z )， 2 2 2    nPB2x 2y 2z 0，  则  2 2 2 取y 1，可得n(0，1，1)；……………………（10分） nPC2y 2z 0， 2 2 2 记平面PBC 与平面PBQ所成锐二面角为，     |mn| 3 3 π 则cos|cosm，n|     ，故 ； |m||n| 6 2 2 6 π 故平面PBC 与平面PBQ所成锐二面角的大小为 ．………………………………（13分） 6 16．（本小题满分15分） xa a lnx 1 lnx （1）解： x x ， f(x)  (a0) (xa)2 (xa)2 1a 1 故 f(1)  (a0)；………………………………………………………（2分） (1a)2 1a f(1)0， lnx 1 1 故函数 f(x) (a0)的图象在x1处的切线斜率为 ，即 f(1) ； xa 2 2 ………………………………………………………………………………………（4分） 1 1 由a0知 f(1)  ，解得a1．………………………………………………（6分） 1a 2 数学参考答案·第5页（共10页）1 lnx 1 lnx （2）证明：由（1）知 f(x) ，定义域x(0，)， x ； f(x) x1 (x1)2 ………………………………………………………………………………………（8分） 1 令g(x)1 lnx，则g(x)在(0，)上单调递减； x 1 由g(1)20，g(e2) 10知存在x (1，e2)，使得g(x )0； e2 0 0 当x(0，x )时，g(x)0 f(x)0， f(x)单调递增； 0 当x(x，)时，g(x)0 f(x)0， f(x)单调递减； 0 故x 即为 f(x)的极大值点；……………………………………………………………（11分） 0 1 1 由g(x )0，知1 lnx 0lnx 1 ， 0 x 0 0 x 0 0 1 1 故 lnx x 1 ， f(x ) 0  0  0 x 1 x 1 x 0 0 0 故x f(x )1，结论成立．……………………………………………………………（15分） 0 0 17．（本小题满分15分） 解：（1）若按某指定顺序参加活动，这三位同学各自能闯关成功的概率依次为 p，p，p ， 1 2 3 1 1 2 其中 p，p，p 是 ， ， 的一个排列；………………………………………………（2分） 1 2 3 4 3 3 则“挑战胜利”的概率P p p  p (1 p )p (1 p )p p  p p  p p  p p 2p p p 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 1 1 2 1 2 1 1 2 13       2    ， 4 3 3 3 4 3 4 3 3 36 故改变三个人先后参加活动的顺序，“挑战胜利”的概率不会发生变化． ………………………………………………………………………………………（6分） （2）若按某指定顺序参加活动，这三位同学各自能闯关成功的概率依次为 p，p，p ， 1 2 3 1 1 2 其中 p，p，p 是 ， ， 的一个排列； 1 2 3 4 3 3 记活动用时为随机变量t（单位：分钟）， 则P(t 2) p p (1 p )(1 p )2p p (p  p )1， 1 2 1 2 1 2 1 2 P(t 3)1P(t 2)(p  p )2p p ； 1 2 1 2 数学参考答案·第6页（共10页）故数学期望E(t)2P(t 2)3P(t3)4p p 2(p  p )23(p  p )6p p 1 2 1 2 1 2 1 2 (p  p )2p p 2；…………………………………………………………………（9分） 1 2 1 2 1 1 2 1 2 23 当 p  时，E(t)  2  2 ； 3 4 3 3 3 3 9 1 1 2 1 2 31 当 p  时，E(t)  2  2 ； 3 3 4 3 4 3 12 2 1 1 1 1 29 当 p  时，E(t)  2  2 ； 3 3 4 3 4 3 12 29 23 31 由   知：甲、乙同学应该先参加前两次闯关活动． 12 9 12 ……………………………………………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分） x x y  y 解：（1）点差法：设A(x，y )，B(x，y )，则x  1 2，y  1 2 ； 1 1 2 2 E 2 E 2 x2 x2 由A、B两点在椭圆上： 1  y2 1①， 2  y2 1②； a2 1 a2 2 ………………………………………………………………………………………（2分） (x x )(x x ) 用①−②得： 1 2 1 2 (y  y )(y  y )0， a2 1 2 1 2 (y  y )(y  y ) 2y (y  y ) y (y  y ) 1 1 即： 1 2 1 2  E 1 2  E 1 2 k k   a2 3， (x x )(x x ) 2x (x x ) x (x x ) OE AB a2 3 1 2 1 2 E 1 2 E 1 2 x2 故椭圆C的方程为  y2 1．………………………………………………………（4分） 3 ykxt，  （2）（i）联立x2 得(3k2 1)x2 6ktx3t2 30；   y2 1，  3 设A(x，y )，B(x，y )， 1 1 2 2 6kt 2t 由韦达定理：x x  ，所以y  y  . 1 2 3k2 1 1 2 3k2 1 x x 3kt 由于E为线段AB的中点，因此x  1 2  ； E 2 3k2 1 ………………………………………………………………………………………（6分） 数学参考答案·第7页（共10页）若射线OE与椭圆C、直线x3分别交于G，D两点， 1 知x 0且射线OE的方程为y x(x≥0)， G 3k 3k 将其代入椭圆C的方程，解得x  ，x 3； G D 3k2 1 由|OD|，|OG|，|OE|成等比数列知|OG|2|OD||OE|，故x2 x x ， G D E 2  3k   3kt  9k2 9kt 故  3    k t；  3k2 1  3k2 1 3k2 1 3k2 1 因此，直线l的方程为yk(x1)，所以直线l恒过定点N(1，0)； ………………………………………………………………………………………（9分） 故当直线l MN k 1时，点M(0，1)到直线l距离的最大值d |MN| 2． max ……………………………………………………………………………………（10分）  3k 1  （ii）由（i）得G ， ，  3k2 1 3k2 1  3k 1  由直线BG与x轴垂直知B ， ，  3k2 1 3k2 1 代入yk(x1)整理得3k2 1k 3k2 1， 故3k2 10且6k4 7k2 10， 1 解得k2  （舍去）或k2 1，所以k 1， 6 3 1 3 1 此时B ，  ，G ，  关于x轴对称；…………………………………………（13分） 2 2 2 2 此时直线l：yx1，故A(0，1)； 由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设△ABG的外接圆的圆心为(d，0)，  3 2 1 1 因此d2 1d    ，解得d  ，  2 4 2 5 故△ABG的外接圆的半径为r d2 1 ， 2  1 2 5 所以△ABG的外接圆方程为 x   y2  ．……………………………………（17分）  2 4 数学参考答案·第8页（共10页）19．（本小题满分17分） （1）证明：因为数列{a }同时满足P(2)，P(3)性质， n 所以当n2时，a a a a a4 ()， n2 n1 n1 n2 n 当n3时，a a a a a a a6 ()，………………………………（2分） n3 n2 n1 n1 n2 n3 n 当n3时，由()得：a a a a a4 ()，a a a a a4 ()， n3 n2 n n1 n1 n1 n n2 n3 n1 a4 a4 将()，()式代入()式得： n1 a a  n1 a6， a a n1 n1 a a n n n1 n1 n 所以a4 a4 a8， n1 n1 n 又因为a 0，所以a a a2； n n1 n1 n 取n4，得a a a2； 3 5 4 所以当n≥3时，数列{a }为等比数列．………………………………………………（4分） n a a a 设q 4  5  n ， a a a 3 4 n1 a 将n4代入()式得a a a a a4，所以a  3 ； 2 3 5 6 4 2 q a 将n3代入()式得a a a a a4，所以a  3 ； 1 2 4 5 3 1 q2 所以对任意的nN，数列{a }为等比数列．…………………………………………（6分） n （2）解：①因为a 1，a 3，所以q3，所以a 3n1(nN)， 1 2 n ………………………………………………………………………………………（7分） 1(13n) 3n 1 S   ．…………………………………………………………………（8分） n 13 2 当3k11≤i≤3k 1时，b b 2k，所以{b}为等差数列， i i1 i 3k1 (23k11)(23k12) 得到：  b (23k11)(k2k) 2k 4k 32k2 k， i 2 i3k11 ……………………………………………………………………………………（9分） 3n1 n n 4 n 所以T b b b b b i(4k 32k2 k) (k 9k)， n 1 2 3 2Sn i 9 i1 i1 k1 k1 ……………………………………………………………………………………（10分） 数学参考答案·第9页（共10页）4 所以T  [19292 (n1)9n1n9n]， n 9 4 所以9T  [192 293 (n1)9n n9n1]， n 9 4 1  1 两式相减得：8T  (9192 9n n9n1) 4n9n  ， n 9 2  2 (8n1)9n 1 所以T  ．………………………………………………………………（12分） n 16 n 8i1 9 ②  ，……………………………………………………（13分） 16T (3i1)(8i1)1 40 i1 i 3n1 3n4 3n1 24n5 理由如下：令c  ，c c    0， n 9n n1 n 9n1 9n 9n1 4 所以数列{c }单调递减，所以c ≤ ， n n 9 n 8i1 n 1 n 1 n 1     所以 16T (8i1)(3i1)1 9i (3i1)  3i1 9i (1c) i1 i i1 i1 9i 1  i1 i  9i   1 n 11   ≤ n 1  n 1  1  1   9   9  1 1   9 ．  4 5 9i1 5 1 40 9n  40 i1 9i 1  i1 1  9 9 ……………………………………………………………………………………（17分） 数学参考答案·第10页（共10页）