安徽省太和中学2026届高三上学期第一次教学质量检测数学试题Word版含解析_2025年10月_251027安徽省阜阳市太和中学2026届高三上学期10月月考（全科）

太和中学高三上学期第一次教学质量检测 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应 题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区 域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数，一元函数的导数及应用，三角函数 （任意角和弧度制、三角函数的概念，同角三角函数的基本关系与诱导公式，三角恒等变 换）80%+其他20%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 若 ： ， ，则 为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题所给的是一个全称命题，对于全称命题的否定，要注意量词的变化，要注意命题中结论的变 化． 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以只需将原命题中的全称量词改为存在量词，并对 结论进行否定． 故 . 故选：B. 2. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为 ， ，所以 ， 故选:A. 3. “ ”是“角 的终边落在第一或第四象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过反例可说明充分性与必要性均不成立，由此可得结论. 【详解】当 时，角 的终边落在 轴的正半轴，不属于第一或第四象限，充分性不成立； 当 时，角 的终边落在第一象限，但 ，必要性不成立； “ ”是“角 的终边落在第一或第四象限”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 4. 若椭圆 的焦距为 ，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦距得 ，可判断 ，由离心率公式计算可得. 【详解】由 得 ，又 ， 所以 ， ，得 ， 所以 ． 故选：A． 5. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式化简求解即可. 【详解】因为 ，所以 ， 所以 ， 故 . 故选：A. 6. 已知 是等比数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列公比为 ，利用等比数列通项公式与求和公式，解出基本量代入求解即可. 【详解】设等比数列 的公比为 ，由 ， 解得 ，所以 ，解得 ，所以 . 故选：B. 7. 若不等式 对任意的 恒成立，则 的最小值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式恒成立，确定 ，且 ，再由基本不等式即可求解. 【详解】当 时， 不可能对任意的 恒成立，不满足要求， 当 时， 开口向下，不满足题意， 所以 ， 令 ，得 ， 当 时，不等式 对任意的 恒成立， 所以 ，即 ，且 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值为4. 故选：B. 8. 已知函数 ，若函数 恰有5个零点，则实 数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数 的图象并换元，结合图象将问题转化为方程 根的分 布列不等式求解. 【详解】由函数 恰有5个零点， 得方程 有5个根， 在平面直角坐标系中作出函数 的图象， 令 ，观察图象知，当 时，直线 与 的图象有3个交点， 当 时，直线 与 的图象有2个交点， 令 ， 由函数 有5个零点，得 有两个不等实根 ，且 ， ， 因此 或 ，解得 或 ， 所以实数m的取值范围是 . . 故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象， 利用数形结合的方法求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高 （单位： ）近 似地服从正态分布 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设 ，则 ，根据正态分布的对称性得 ， 结合选项即可判断. 【详解】设 ，则 ， 由 服从正态分布 得 ， 所以 ，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 10. 已知点 位于角 的终边上，则（ ） A. 是锐角 B. C. D. 是奇函数 【答案】BCD【解析】 【分析】根据象限角以及终边相同的角的定义即可求解 A，根据三角函数的定义即可求解B，结合和差角 公式即可求解CD. 【详解】对于A， 是第一象限角，不一定是锐角，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，由于 ， ，故 ，C 正确； 对于D， ， 故 是奇函数，D正确， 故选：BCD 11. 已知定义域为R的函数 满足 ，且对任意的 ， ， 时， 恒成立，则“不等式 成立”的一个充分不必要条件 为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先构造函数 ，由题意判断其单调性，然后将不等式转化为 ，再利用函数 的单调性和对称性解抽象不等式，最后得到子集即可.【详解】因为对任意的 ， ， 时， 恒成立， 设 ， 则 ， 所以函数 在 上单调递减， 又 ， 所以不等式 成立等价于 ， 又定义域为R的函数 满足 ，即函数关于直线 对称， 当 时， ，解得 ； 当 时，因为关于直线 对称，即 ， 所以 ，解得 ， 综上不等式成立的条件为 ， 所以“不等式 成立”的一个充分不必要条件为其子集，即 或 . 故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】 . 故答案为： 13. 若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l，进而根据扇形的面积公式可得 ，再结合基本不等 式求解扇形AOB的周长最小时圆心角的弧度数. 【详解】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l， 则 ，即 ， 所以周长 ， 当且仅当 时取等号， 所以当扇形AOB的周长最小时，圆心角的弧度数为 . 故答案为：2. 14. 若函数 恰有2个零点，则实数 的取值范围是______.【答案】 【解析】 【 分 析 】 函 数 恰 有 两 个 零 点 ， 等 价 于 有 两 个 实 数 根 ， 设 ， ，利用导数研究函数单调性，作出函数图象通过数形结合求 解. 【详解】令 ，得 ， 即 ，令 ， ， 所以函数 恰有2个零点等价于函数 的图象与 的图象有两个交点. ，令 ，则 ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 且 时 ， 时 ， 所以 的图象如图所示， 设 是经过点 的 的图象的切线，切点为 ， 则切线斜率为 ， 所以 方的程为 ，又 经过点 ，所以 ， 即 ，解得 或 ， 或 ， 所以由图可知，当 或 ， 即 或 时，函数 的图象与 的图象有两个交点， 即函数 恰有2个零点， 所以实数 的取值范围是 . 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将函数 恰有2个零点转化为函数 的图象 与 的图象有两个交点，数形结合求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数 为偶函数，且 ． （1）求 ；（2）若 ，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由 ，得到 在区间 上为减函数，求得 ，结合 以 及函数为偶函数，进而确定实数 的值； （2）由（1）得 ，结合幂函数的性质，把不等式转化为 ，即可求得实数 的取值范围． 【小问1详解】 因为 ，所以幂函数 在区间 上为单调递减函数， 所以 ，解得 ， 又因为 ，则m的值为 ， 函数 为偶函数，所以 为偶数，所以 ． 【小问2详解】 由（1）知函数 ，其图象关于 轴对称，且在区间 上为单调递减函数， 所以不等式 ，即为 ， 解得 或 ，即 的取值范围是 ． 16. 已知集合 ， . 的 （1）若 ， ，且 是 必要不充分条件，求 的取值范围； （2）若函数 的定义域为 ，且 ，求 的取值范围.【答案】（1） （2） 【解析】 【 分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可； （2）先应用对数函数的定义域得出集合C，根据函数有解转化为 ，最后结合二次函数的值域 即可求参. 【小问1详解】 由题意知 ， 解不等式 ，解得 ，所以 ， 因为 是 的必要不充分条件，所以 是 的真子集， 所以 且等号不同时成立， 解得 ，即 的取值范围是 . 【小问2详解】 因为 ，所以 在 上有解， 所以 ， 令 ，则 ， 所以 ，即 的取值范围是 . 17. 如图，直三棱柱 中， ， ， ， 是 的中点， ，分别是棱 ， 上的点， . （1）证明： 平面 ； （2）求平面 和平面 所成的二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，根据平行的传递性得四边形 是平行四边形，从而 利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，然后利用向量法求得二面角的余弦值， 利用同角三角函数关系求解即可. 【小问1详解】 取 中点 ，连接 ， ， 由 是 中点得 ， ， 三棱柱 中，由 ， ， 由题意 ， 分别是棱 ， 上的点， ，得 ， 所以 ， ， 所以四边形 是平行四边形，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .【小问2详解】 在直三棱柱中， 平面 ， ， 所以 ， ， 两两垂直， 以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示， 由 ， ， ， 知 ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ，则 即 取 ，则 ， ，即 ； 易知平面 的一个法向量为 ， 设平面 和平面 所成二面角为 ， 则 ，所以 ， 即平面 和平面 所成的二面角的正弦值为 . 18. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，且 . （1）求 的值，并求出 的解析式；（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得 ，再由偶函数定义可得其解析式； （2）将不等式恒成立转化为求 恒成立问题，由基本不等式计算可得 的取值范围. 【小问1详解】 因为 是偶函数，所以 ， 解得 ， 当 时，可得 ，所以 ， 所以函数 的解析式为 【小问2详解】 由（1）知，当 时， ， 因为 在 上恒成立， 所以 ， 又因为 ， 当且仅当 时，即 时等号成立， 所以 ，即 的取值范围是 .19. 已知函数 ， . （1）讨论 的单调性； （2）若 ，求曲线 与曲线 的公切线； （3）已知 ，若 的两个极值点为 ， ，求 的取值 范围. 【答案】（1）当 时， 在 单调递增；当 时， 在 单调递增，在 单调递减 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据 的取值情况，讨论导函数的正负，即可得出答案； （2）根据两个函数的解析式设出切点坐标，根据导数写出切线斜率，然后写出切线方程，列式求解即可； （3）根据条件求出 ， ，然后构造函数求出函数值域即可. 【小问1详解】 ， 当 时， 在 时恒成立，此时 在 单调递增； 当 时，令 ， 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减， 综上当 时， 在 单调递增；当 时， 在 单调递增，在 单调 递减； 【小问2详解】 ， ， ， 设公切线在 上的切点坐标为 ，则切线的斜率为 ， ， 此时切线方程为 ， 设公切线在 上的切点坐标为 ，则切线的斜率为 ， 此时切线方程为 ， 所以 ， ， 时两边都是单调的， 且 时，等号成立，故 ， 公切线方程为 ； 【 小问3详解】 ， ，即 ，因为 的两个极值点为 ， ， 所以 有两个不同的正数解，所以 又 ，代入解得 ， ， ， 令 ， ， ，所以 在 单调递减， ， 故答案为 .