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2023 级校际联考（一）数学试题
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】函数 的定义域为 ，
所以集合 ，
，
则 .
故选：D.
2. 曲线 在 处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】 ，求导得： ，
所以曲线 在 处的切线的斜率 ，
故选：A.
3. 角 的始边为x轴非负半轴，复数z满足 ，且复数z对应的点在角 的终边上，则
的值为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【详解】依题意由 可得 ，
因此复数z对应的点的坐标为 ，即点 在角 的终边上，
所以可知 .
故选：D
4. 下列函数中，既是偶函数，又是 上的减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】A. 是偶函数，在区间 上有增区间也有减区间，故A错误；
B. 函数 不 是偶函数，在区间 上单调递增，故B错误；
C.函数 定义域为 ，满足 ，所以函数是偶函数，
， ，所以函数在区间 上不是减函数，故C错误；
D.函数 是偶函数，外层函数 是增函数，内层函数 在区间 是减函数，所以函
数 在区间 上是减函数，故D正确.
故选：D
5. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则使 最大的 的值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 8或9
【答案】C【详解】根据题意，数列 为等差数列，所以 （ 为正整数），
，
因为 ， ，所以 ， 解得 ，
所以 ， 最大时， ，
但由于 为正整数，所以当 或 ， 最大.
故选：C.
6. 将函数 的图象向左平移 （ ）个单位后，所得的图象仍然关于原点对称，则 的最
小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
的
【详解】函数 图象平移后得到 ，其图象关于点 对称，
那么 ，所以 ，又 ，所以m的最小值为 .
故选：C
7. 设 为正项等差数列 的前n项和，若 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 9 D. 5
【答案】B【详解】因为数列 为正项等差数列，所以 ， ，
，可得 ，即 ，
由等差数列性质可得 ，
所以 ，
因 为， ，故 ， ，
则 ，当且仅当 时等号成立.
由 解得 ， ，
即当 ， 时， 取得最小值为 ，
故选：B.
8. 已知向量 ， ，满足对任意 ，恒有 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由 ，则 ，即 ，
即 ，又 ，
则对任意 ， ，
则 ，即 恒成立，又 ，
故 ，即 ；
对A： ，故A正确；
对B： ，不一定为 ，故B错误；
对C： ，故C错误；
对D： ，不一定为 ，故D错误.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. ， 可能垂直
B. ， 可能共线
C. 若 ，则 在 方向上的投影向量为
D. 若 ，则
【答案】BCD
【详解】对于A，由 ，得 ， 不可能垂直，A错误；
对于B，取 ，则 ，此时 ， 共线，B正确；
对于C，当 时， ， ， 在 方向上的投影向量为 ，C正
确；对于D，当 时， ， ，则 ，D正确.
故选：BCD
10. 已知函数 部分图象如图所示，则下列说法正确（
）
A. 的图象关于点 对称
B. 将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象
C. 若 在 上有3个极值点，则m取值范围是
D. 若方程 在 上有且只有一个实数根，则 的取值范围是
【答案】BC
【详解】由图知 ，
，所以 ，所以 ，
，
因为 ，所以 ，所以 ，
对于 ： ，故 错误；
对于 ： ，故 正确；
对于 ： ， ，
根据正弦函数的图象可得， 在 上有3个极值点，
则 ，解得 ，故 正确；
对于 ： ， ，
，
由图可知， 在 上只有一个实数根，
则 ，故 错误.故选： .
11. 在 中 ， 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 且 ，
， 为角 的平分线交 于 ，则（ ）
A. B. 的面积为
C. D.
【答案】ACD
【详解】对于A，结合正弦定理，由 ，
得
因 ,
代入得
即
因为 ，所以 ，则 ，得 ，
又 ，则有 ， ，故A正确；
对于B，由 和正弦定理，得 （ 是 外接圆的半径），
化简得 ，故 的面积为 ，即B错误；
对于C，因 为角 的平分线，则 ，可得 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，即 ，故C正确；
对于D， ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设 ， ， ，若 与 的夹角为钝角，则m的取值范围是______．
【答案】
【详解】若 ，则 ，解得 ，
当 与 共线时， ，则 ，
当 时， ，此时两向量方向相反，
故当 与 的夹角为钝角时， 且 ，
故答案为：
13. 已知 ，则 ______．【答案】
【详解】由 ，
由 ，则 ，
，
所以 .
故答案为： .
14. 已知向量 满足 ， 且 与 的夹角为
，设 ，记数列 的前n项和为 ，则 ______．
【答案】
【详解】由 ，
可得 ，
因为 且 与 的夹角为 ，所以 ，
则 ，
又由等差数列的求和公式，可得 ，所以 .
故答案为： .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在边长为1的菱形 中， ， ，设 ， ．
（1）用 ， ，表示 ，并求 ；
（2）若 ， ，求实数 的值．
【答案】（1） ， ；
（2） .
【小问1详解】
因为 ，所以 。
因为 ， ，所以 ，
则 ，
所以 ；
【小问2详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，解得 ．
16. 已知数列 中， ，记 ．
（1）求证：数列 是等差数列，并求出 ；
（2）设 ，求 ．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【小问1详解】
由 ，得 ，即 ，
又 ，所以 为常数，
又 ，所以 ，
所以数列 是公差为2，首项为－5的等差数列， ．
【小问2详解】
由（1）知， ，当 时， ，所以 ；
当 时 ， ， 所 以
，
得到 ．
综上， .
17. 已知函数 ．
（1）若 的最小正周期为 ．
（ⅰ）求 的单调递增区间；
（ⅱ）若 ，且 ，求 的值；
（2）若 在区间 上的值域为 ，求 的取值范围．
【答案】（1）（i） ；（ii） ；
（2）
【小问1详解】若 的最小正周期为 ，则 ，解得 ，所以 .
（i）由题意，令 ， ，
解得 ， ，即 的单调递增区间为 .
（ii） ， ，
又 ， ， ，
.
【小问2详解】
当 时， ，又 在区间 上的值域为 ，
，解得 ，
即 的取值范围是 .18. 在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ．
（1）求角C的值；
（2）若AB边上的中线CD长为 ，求 的面积；
（3）求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
整理得 .
因为 是锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，解得 .
【小问2详解】
已知 ， 是 边上的中线，所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，整理得 （1）.
由正弦定理， ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
将 代入（1）整理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ,
解得 ，又 ，所以 ，
所以 是等边三角形，
【小问3详解】
由（2） ，
所以 .
因为 是锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
即 的取值范围为 .
19. 已知函数 .（1）若 ，求函数 在 上的最值；
（2）若 ，对 ，求证： ；
（3）若 是函数 的极小值点，求 的取值范围.
【答案】（1） 在 上的最小值为 ，最大值为
（2）证明见解析 （3）
【小问1详解】
若 ，
故当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
而 ，
故 在 上的最小值为 ，最大值为 .
【小问2详解】
法一：若 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
则 在 上单调递增，所以 ，
即 ，则 在 上单调递增，所以 ，
即 ，则 在 上单调递增，所以 ，
所以当 时， ，即 .
法二：若 ，
故 在 上单调递增，所以当 时， ，即 .
令 ，
则 ，
故 在 上单调递增，所以 ，
即当 时， ，即 .
【小问3详解】
由题意得， ， .
当 时，不妨设 ，
因为 ，故 在 上恒成立， 单调递增.
又 ，所以当 时， ；当 时， .
又 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增，
故 是函数 的极小值点.
当 时，不妨设 ，故存在 ，使得 ，
且当 时， ，故 在 上单调递减，
故当 时， ，
故 在 上单调递减，故 不是函数 的极小值点.
综上，实数 的取值范围为 .
