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参考答案
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答案 Ｃ Ａ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ
题号 ９ １０ １１
答案 ＡＣ ＢＣＤ ＡＣＤ
８
１２．－５ １３．槡３５ １４．
１７
１ ２＋ｉ ２＋ｉ ２ １ １
１．【详解答案】ｚ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ ｉ，虚部为 ，故选Ｃ．
２－ｉ （２－ｉ）（２＋ｉ） ５ ５ ５ ５
２．【详解答案】ｘ２－２ｘ＞０等价于ｘ＜０或ｘ＞２，因此“ｘ＞２”“ｘ２－２ｘ＞０”，故选Ａ．
３．【详解答案】令ｘ－１＝ｔ∈Ｒ，则ｘ＝ｔ＋１，所以ｆ（ｔ）＝ｅｔ＋１，即ｆ（ｘ）＝ｅ３．故选Ｄ．
４０ 频率
４．【详解答案】由题意成绩在区间［９２．５，１０２．５］内学生的频率为 ＝０．２，因此 ＝０．０２，故
２００ 组距
选Ａ．
５．【详解答案】圆台的侧面积＝大圆锥的侧面积－小圆锥的侧面积，π×４×４槡２－π×３×３槡２＝
７槡２π，故选Ｂ．
６．【详解答案】ｘ３的系数是１×Ｃ３（２ｘ）３×１２＋（－ｘ）×Ｃ２（２ｘ）２×１３＝８０－４０＝４０，故选Ｄ．
５ ５
７．【详解答案】由函数ｇ（ｘ）＝（ｘ－２）ｆ（ｘ）的图像关于点（２，０）中心对称可知，
ｇ（２－ｘ）＝－ｇ（２＋ｘ），即（２－ｘ－２）ｆ（２－ｘ）＝－（２＋ｘ－２）ｆ（２＋ｘ），
可得ｆ（２－ｘ）＝ｆ（２＋ｘ），因此函数ｆ（ｘ）具有对称轴ｘ＝２，
由ｇ（－１）＝（－１－２）ｆ（－１）＝３，可得ｆ（－１）＝－１，
由ｆ（ｘ）为Ｒ上的偶函数且具有对称轴ｘ＝２，可得ｆ（３）＝ｆ（１）＝ｆ（－１）＝－１．故选Ｂ．
８．【详解答案】由题意的∠ＯＳＣ＝α，∠ＥＯＳ＝β，则∠ＳＣＯ＝９０°－α，∠ＥＯＣ＝９０°－β，
ｃｏｓβ ｓｉｎ∠ＥＯＣ
所以ｅ＝ ＝ ，在△ＳＯＣ中，ＳＥ＝２ＥＣ，ＳＯ＝２槡２，ＣＯ＝１，
ｃｏｓα ｓｉｎ∠ＳＣＯ
则｜
Ｏ
→
Ｅ｜２＝
( ２
Ｏ
→
Ｃ＋
１
Ｏ
→
Ｓ
)２
＝
４
，所以ＯＥ＝
２槡３
，且ＳＣ＝３，ＥＣ＝１．
３ ３ ３ ３
ＥＣ ＥＯ ｓｉｎ∠ＥＯＣ ＥＣ 槡３
由正弦定理得， ＝ ，即 ＝ ＝ ，故选Ｃ．
ｓｉｎ∠ＥＯＣ ｓｉｎ∠ＳＣＯ ｓｉｎ∠ＳＣＯ ＥＯ ２
２π
９．【详解答案】函数ｆ（ｘ）的周期为 ＝π，故Ａ正确；
２
( π) π π π
ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ－ 的单调增区间为２ｋπ－ ≤２ｘ－ ≤２ｋπ＋ ，
３ ２ ３ ２
π ５π
即ｋπ－ ≤ｘ≤ｋπ＋ （ｋ∈Ｚ），故Ｂ错误；
１２ １２
π π ｋπ ５π
令２ｘ－ ＝ｋπ＋ ，则ｘ＝ ＋ （ｋ∈Ｚ），故Ｃ正确；
３ ２ ２ １２
参考答案 第 １页 （共７页）
书书书π [ ( π)] ( ２π)
函数ｙ＝ｓｉｎ２ｘ向右平移 个单位长度得到ｙ＝ｓｉｎ２ｘ－ ＝ｓｉｎ２ｘ－ ，故Ｄ错误．
３ ３ ３
故选ＡＣ．
１０．【详解答案】当ａ ＋ａ＝ｆ（ｎ）＝２ｎ时，若ａ＝２，可演绎为ａ＝０，ａ＝４，ａ＝２，
ｎ＋１ ｎ １ ２ ３ ４
ａ＝６，…因此数列｛ａ｝不是等差数列，故Ａ选项错误；
５ ｎ
当ａ ＋ａ＝ｆ（ｎ）＝２ｎ＋１时，若ａ＝１，可演绎为ａ＝２，ａ＝３，ａ＝４，ａ＝５，…
ｎ＋１ ｎ １ ２ ３ ４ ５
因此数列｛ａ｝是等差数列，故Ｂ选项正确；
ｎ
当ａ ＋ａ＝ｆ（ｎ）＝４时，若ａ＝２，可演绎为ａ＝２，ａ＝２，ａ＝２，ａ＝２，…
ｎ＋１ ｎ １ ２ ３ ４ ５
因此数列｛ａ｝是等比数列，故Ｃ选项正确；
ｎ
当ａ ＋ａ＝ｆ（ｎ）＝３×２ｎ－１时，若ａ＝１，可演绎为ａ＝２，ａ＝４，ａ＝８，ａ＝１６，…
ｎ＋１ ｎ １ ２ ３ ４ ５
因此数列｛ａ｝是等比数列，故Ｄ选项正确；
ｎ
故选ＢＣＤ．
１１．【详解答案】当点 Ａ与圆 Ｍ的圆心重合时，线段 ＰＡ的中垂线与直线 ＰＭ的交点 Ｑ即为 ＰＭ
的中点，因此点Ｑ的轨迹为圆，故Ａ选项正确；当点Ａ在圆Ｍ上时，轨迹为一个点，故Ｂ选项
错误，当点Ａ在圆Ｍ内且非圆心时，｜ＱＰ｜＝｜ＱＡ｜，则｜ＱＭ｜＋｜ＱＡ｜＝ｒ（其中 ｒ为圆 Ｍ的半
径），因此点Ｑ的轨迹为椭圆，故Ｃ选项正确．当点 Ａ在圆 Ｍ外时，｜ＱＰ｜＝｜ＱＡ｜，则｜ＱＭ｜－
｜ＱＡ｜＝ｒ或｜ＱＡ｜－｜ＱＭ｜＝ｒ（其中ｒ为圆Ｍ的半径），因此点Ｑ的轨迹为双曲线，故Ｄ正确；
故选ＡＣＤ．
１２．【详解答案】ａ２＝ａ·ａ，则（１＋２ｄ）２＝（１＋ｄ）·（１＋５ｄ），ｄ＝－２，
３ ２ ６
则ａ＝ａ＋３ｄ＝１＋３×（－２）＝－５．故答案为－５．
４ １
１３．【详解答案】｜ａ－ｂ｜＝槡｜ａ－ｂ｜２＝槡（ａ－ｂ）２＝槡ａ２－２ａ·ｂ＋ｂ２＝槡３５．
故答案为槡３５．
１４．【详解答案】设事件Ａ＝“有且仅有一次经过Ｍ（－１，０）”，事件Ｂ＝“水平方向移动２次”，
按到Ｍ（－１，０）位置需要１步，３步分类讨论．记Ｌ＝向左，Ｒ＝向右，Ｕ＝向上，Ｄ＝向下，
①若１步到位为事件Ａ，则满足要求的是ＬＵ（Ｌ或Ｕ或Ｒ），ＬＬ（Ｌ或Ｕ或Ｄ），
１
( １)３ １２ ３
ＬＤ（Ｌ或Ｒ或Ｄ），ＬＲ（Ｕ或Ｄ或Ｒ），所以Ｐ（Ａ）＝４×３× ＝ ＝ ；
１ ４ ６４ １６
②若３步到位为事件Ａ，则满足要求的是ＵＬＤ，ＤＬＵ，ＲＬＬ，ＵＤＬ，ＤＵＬ
２
( １)３ ５ １７
所以Ｐ（Ａ）＝５× ＝ ；所以Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ａ）＝ ，
２ ４ ６４ １ ２ ６４
满足ＡＢ的情况有：ＬＵ（Ｌ或Ｒ），ＬＤ（Ｌ或Ｒ），ＬＬ（Ｕ或Ｄ），ＬＲ（Ｕ或Ｄ）．
８ １ Ｐ（ＡＢ） ８ ８
所以Ｐ（ＡＢ）＝ ＝ ，所以Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝ ＝ ．故答案为 ．
６４ ８ Ｐ（Ａ） １７ １７
１５．（本小题满分１３分）
２ｃ２
【详解答案】（１）因为ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＝ ，由余弦定理得
ａ２＋ｃ２－ｂ２
２ｃ２ ｃ
ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＝ ＝ ， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３分
２ａｃｃｏｓＢ ａｃｏｓＢ
由正弦定理得
参考答案 第 ２页 （共７页）ｓｉｎＣ ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ） ｓｉｎＣ
ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＝ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ，
ｓｉｎＡｃｏｓＢ ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ ｃｏｓＡｃｏｓＢ ｃｏｓＡｃｏｓＢ ｃｏｓＡｃｏｓＢ
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６分
在△ＡＢＣ中，所以ｓｉｎＣ＞０，ｃｏｓＢ≠０，
π π
所以ｓｉｎＡ＝ｃｏｓＡ，所以ｔａｎＡ＝１，又Ａ∈（０， ），所以Ａ＝ ； !!!!!!!!!! ７分
２ ４
（２）由余弦定理可得ａ２＝ｃ２＋ｂ２－２ｃｂｃｏｓＡ＝ｃ２＋ｂ２－槡２ｃｂ＝４，!!!!!!!!!! ９分
由ｂ２＋ｃ２≥２ｂｃ，当且仅当ｂ＝ｃ时“＝”成立，
４
４＋槡２ｂｃ≥２ｂｃ，ｂｃ≤ ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１分
２－槡２
→ → ４ 槡２
ＡＢ·ＡＣ＝ｃ·ｂ·ｃｏｓＡ≤ · ＝２槡２＋２．!!!!!!!!!!!!!!!! １３分
２－槡２ ２
１６．（本小题满分１５分）
１
【详解答案】（１）ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｋｘ，则ｆ′（ｘ）＝ －ｋ，!!!!!!!!!!!!!!! １分
ｘ
１
当ｋ≤０时，ｆ′（ｘ）＝ －ｋ＞０恒成立，一定存在ｘ使ｆ（ｘ）≥０．!!!!!!!!!! ３分
ｘ
１ １
当ｋ＞０时，令ｆ′（ｘ）＝ －ｋ＝０（ｘ＞０），则ｘ＝ ，!!!!!!!!!!!!!!! ４分
ｘ ｋ
( １) １ １ １
ｆ ＝ｆ ＝ｌｎ －ｋ· ＝－ｌｎｋ－１≥０，则０＜ｋ≤ ， !!!!!!!!!!!! ６分
ｍａｘ ｋ ｋ ｋ ｅ
１
综上ｋ≤ ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７分
ｅ
６ ６
（２）ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｋｘ≤ ，令ｈ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｋｘ－ ，
ｋｘ ｋｘ
１ ６ －ｋ２ｘ２＋ｋｘ＋６ ２ ３
令ｈ′（ｘ）＝ －ｋ＋ ＝ ＝０，则ｘ＝－ （舍）或ｘ＝ ， !!!!! １０分
ｘ ｋｘ２ ｋｘ２ １ ｋ ２ ｋ
３ ３ ３ ６ ３
ｈ ＝ｈ（ ）＝ｌｎ －ｋ· － ＝ｌｎ３－ｌｎｋ－３－２＝ｌｎ －ｌｎｋ≤０， !!!!! １３分
ｍａｘ ｋ ｋ ｋ ３ ｅ５
ｋ·
ｋ
３ ３
则ｋ≥ ，则ｋ的最小值为 ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １５分
ｅ５ ｅ５
１７．（本小题满分１５分）
【详解答案】（１）证明：取ＡＢ中点Ｏ，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ为ＡＢ中点，所以ＯＣ⊥ＡＢ，
π
在△ＡＡＯ中，∠ＡＡＯ＝ ，ＡＯ＝２，ＡＡ＝４，所以ＡＯ＝２槡３，
１ １ ３ １ １
π
所以有ＡＡ２＝ＡＯ２＋ＡＯ２，即∠ＡＯＡ＝ ，所以ＡＯ⊥ＡＢ，!! ２分
１ １ １ ２ １
又因为ＡＯ∩ＯＣ＝Ｏ，ＡＯ平面ＡＯＣ，ＯＣ平面ＡＯＣ，
１ １ １ １
ＡＢ⊥平面ＡＯＣ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４分
１
又因为ＡＣ平面ＡＯＣ，所以ＡＢ⊥ＡＣ；!!!!!!!!! ６分
１ １ １
（２）由（１）知ＡＯ⊥ＡＢ且平面ＡＡＢＢ⊥平面ＡＢＣ，
１ １ １
参考答案 第 ３页 （共７页）所以ＡＯ⊥面ＡＢＣ，
１
则ＡＯ⊥ＯＣ，如图以ＯＡ，ＯＣ，ＯＡ两两垂直，以Ｏ为坐标原点，以 ＯＡ，ＯＣ，ＯＡ方向为 ｘ轴，ｙ
１ １ １
轴，ｚ轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．
Ａ（２，０，０），Ｂ（－２，０，０），Ｃ（０，２槡３，０），Ａ（０，０，２槡３），!!! ７分
１
λ 槡３λ
设ＢＤ＝λ，Ｄ（－２－ ，０， ），!!!!!!!!!!!! ９分
２ ２
→ → λ 槡３λ
ＡＣ＝（０，２槡３，－２槡３），ＤＣ＝（２＋ ，２槡３，－ ），
１ ２ ２
设平面ＡＣＤ法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
１ ０ ０ ０
→ {２槡３ｙ－２槡３ｚ＝０
{ＡＣ·ｎ＝０ ０ ０
１
， ，
Ｄ
→
Ｃ·ｎ＝０ （２＋
λ
）ｘ＋２槡３ｙ－
槡３
λｚ＝０
２ ０ ０ ２ ０
得ｎ＝
( 槡３（λ－４）
，１，１
)
，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１分
λ＋４
平面ＡＡＤ的法向量为ｍ＝（０，１，０），!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２分
１
所以有
１
＝
槡２１
，化简得λ２－１０λ＋１６＝０，
( 槡３（λ－４）)２
＋１２＋１２
７
槡
λ＋４
所以有λ＝８（舍）或者λ＝２，所以ＢＤ＝２．!!!!!!!!!!!!!!!!!! １５分
１８．（本小题满分１７分）
【详解答案】（１）由ｘ２＋ｙ２＝λ＋μｙ，得ｘ２＋（１－μ）ｙ２＝λ，
若（λ，μ）曲线为双曲线，则λ≠０，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １分
ｘ２ （１－μ）ｙ２ １－μ
所以ｘ２＋ｙ２＝λ＋μｙ２可化为 ＋ ＝１，则 ＜０，则μ＞１， !!!!!!! ３分
λ λ λ２
所以当λ≠０，且μ＞１时，（λ，μ）曲线为双曲线；!!!!!!!!!!!!!!!! ４分
４ ４ ｙ２
方法一：（２）当λ＝１，μ＝ 时，ｘ２＋ｙ２＝１＋ ｙ２，即ｘ２－ ＝１， !!!!!!!!! ５分
３ ３ ３
→ １→
（ⅰ）由题意得Ｂ（－ｘ，－ｙ），Ｄ（－ｘ，ｙ），设点Ｅ（ｘ，ｙ），由ＤＥ＝ ＡＤ，
０ ０ ０ ０ ３
{ ２ { ５
１ ｘ＋ｘ＝－ ｘ ｘ＝－ ｘ
即（ｘ＋ｘ，ｙ－ｙ）＝ （－２ｘ，０），即 ０ ３０，得 ３０，
０ ０ ３ ０
ｙ－ｙ＝０ ｙ＝ｙ
０ ０
５
则Ｅ（－ ｘ，ｙ），
３０ ０
２ｙ ３ｙ
直线ＢＥ的斜率为ｋ ＝ ０ ＝－ ０，
ＢＥ ２ ｘ
－ ｘ ０
３０
３ｙ ３ｙ
所以直线ＢＧ的方程为ｙ＋ｙ＝－ ０（ｘ＋ｘ），即ｙ＝－ ０ｘ－４ｙ， !!!!!!!! ６分
０ ｘ ０ ｘ ０
０ ０
参考答案 第 ４页 （共７页）３ｙ
{ ｙ＝－ ０ｘ－４ｙ
ｘ ０ (９ｙ２ ) ２４ｙ２
联立 ０ ，得 ０－３ｘ２＋ ０ｘ＋（１６ｙ２＋３）＝０，
ｘ２－
ｙ２
＝１
ｘ２
０
ｘ
０
０
３
９ｙ２
由直线ＢＧ与双曲线有２个交点，则 ０－３≠０，
ｘ２
０
(９ｙ２ ) ２４ｙ２
又因为ｘ＝－ｘ满足 ０－３ｘ２＋ ０ｘ＋（１６ｙ２＋３）＝０，
０ ｘ２ ｘ ０
０ ０
１６ｙ２＋３ １６ｙ２＋３
由韦达定得ｘ·（－ｘ）＝ ０ ，解得ｘ＝ ０ ，!!!!!!!!!!!!! ８分
Ｇ ０ ９ｙ２ Ｇ ９ｙ２
０－３ ３ｘ－ ０
ｘ２ ０ ｘ
０ ０
３ｙ
因为ｙ＝－ ０ｘ－４ｙ＞０，且ｙ＞０，
Ｇ ｘ Ｇ ０ ０
０
４
１６ｙ２＋３
４
得ｘ＜－ ｘ＜０，所以ｘ＝ ０ ＜－ ｘ，
Ｇ ３０ Ｇ ９ｙ２ ３０
３ｘ－ ０
０ ｘ
０
ｙ２
又因为ｘ２－ ０＝１，可得ｙ２＝３ｘ２－３，
０ ３ ０ ０
１６ｙ２＋３ １６（３ｘ２－３）＋３ （１６ｘ２－１５）ｘ
４
所以ｘ＝ ０ ＝ ０ ＝ ０ ０＜－ ｘ，!!!!!!!!! １０分
Ｇ ９ｙ２ ３ｘ２－９（３ｘ２－３） ９－８ｘ２ ３０
３ｘ－ ０ ０ ０ ０
０ ｘ ｘ
０ ０
１６ｘ２－１５
４
１６ｘ２－９
因为ｘ＞１，所以 ０ － ＝ ０ ＞０， !!!!!!!!!!!!!!! １１分
０ ８ｘ２－９ ３ ３（８ｘ２－９）
０ ０
所以８ｘ２－９＞０，可得ｘ＞
３槡２
，即ｘ的取值范围为（
３槡２
，＋∞）．!!!!!!!! １２分
０ ０ ４ ０ ４
３ｙ ３ｙ
ｙ＋ ０ｘ＋４ｙ － ０（ｘ－ｘ）＋８ｙ
０ ｘ Ｇ ０ ｘ ０ Ｇ ０ ３ｙ ８ｙ
（ⅱ）由（ⅰ）得ｋ＝ ０ ＝ ０ ＝－ ０＋ ０
２ ｘ－ｘ ｘ－ｘ ｘ １６ｙ２＋３
０ Ｇ ０ Ｇ ０ ｘ＋ ０
０ ９ｙ２
０－３ｘ
ｘ ０
０
７２ｙ３ ７２ｙ３
０－２４ｘｙ ０－２４ｘｙ
３ｙ ｘ ００ ３ｙ ｘ ００ ３ｙ ７２ｙ ２４ｘｙ ｘ
＝－ ０＋ ０ ＝－ ０＋ ０ ＝－ ０＋ ０－ ００＝－ ０，
ｘ ９ｙ２＋１６ｙ２＋３－３ｘ２ ｘ ２４ｙ２ ｘ ２４ｘ ２４ｙ２ ｙ
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
所以ｋｋ＝－１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １５分
２１
因为ｘ
０
＞ ３
４
槡２ ，则０＜
ｘ
１
２
＜ ８
９
，则ｋ
１
＝ ｙ
ｘ
０＝
槡
３ ( １－
ｘ
１
２
) ∈ ( 槡
３
３ ，槡３ ) ，
０ ０ ０
ｋ＋ｋ＝ｋ－
１
∈
(
－
２槡３
，
２槡３)
．１７分
１ ２ １ ｋ ３ ３
１
４ ４ ｙ２
方法二：（２）当λ＝１，μ＝ 时，ｘ２＋ｙ２＝１＋ ｙ２，即ｘ２－ ＝１，!!!!!!!!!! ５分
３ ３ ３
参考答案 第 ５页 （共７页）→ １→
（ⅰ）由题意得Ｂ（－ｘ，－ｙ），Ｄ（－ｘ，ｙ），设点Ｅ（ｘ，ｙ），由ＤＥ＝ ＡＤ，
０ ０ ０ ０ ３
{ ２ { ５
１ ｘ＋ｘ＝－ ｘ ｘ＝－ ｘ ５
即（ｘ＋ｘ，ｙ－ｙ）＝ （－２ｘ，０），即 ０ ３０，得 ３０，则Ｅ（－ ｘ，ｙ），
０ ０ ３ ０ ３０ ０
ｙ－ｙ＝０ ｙ＝ｙ
０ ０
２ｙ ３ｙ
直线ＢＥ的斜率为ｋ ＝ ０ ＝－ ０，
ＢＥ ２ ｘ
－ ｘ ０
３０
３ｙ
所以直线ＢＧ的方程为ｙ＋ｙ＝－ ０（ｘ＋ｘ），!!!!!!!!!!!!!!!!! ６分
０ ｘ ０
０
设点Ｇ（ｘ，ｙ）（ｘ＜０，ｙ＞０），因为ｘ２－
ｙ２
＝１，所以ｘ２＞
ｙ２
，所以
ｘ２
＞
１
，
｜ｘ｜
＞
槡３
，
３ ３ ｙ２ ３ ｜ｙ｜ ３
{ ｘ２－
ｙ２
＝１
ｙ ３ １
同理 ０＜槡３，由 ，两式作差得（ｘ＋ｘ）（ｘ－ｘ）－ （ｙ＋ｙ）（ｙ－ｙ）＝０，
ｘ ｙ２ ０ ０ ３ ０ ０
０ ｘ２－ ０＝１
０ ３
ｙ
将直线ＢＧ方程代入并化简得（ｘ－ｘ）＋ ０（ｙ－ｙ）＝０（）
０ ｘ ０
０
所以
ｙ
０＝
ｘ
０
－ｘ
＞
０－ｘ
＝
｜ｘ｜
＞
槡３
，所以
槡３（ｘ２
０
－１）
＞
槡３
，
ｘ ｙ－ｙ ｙ－０ ｜ｙ｜ ３ ｘ ３
０ ０ ０
３槡２ ３槡２
可得ｘ＞ ，即ｘ的取值范围为（ ，＋∞）； !!!!!!!!!!!!!!! １２分
０ ４ ０ ４
ｙ ｙ ｙ－ｙ
（ⅱ）由（）式可得（ｘ－ｘ）＋ ０（ｙ－ｙ）＝０，所以ｋ·ｋ＝ ０· ０＝－１，!!! １５分
０ ｘ ０ １ ２ ｘ ｘ－ｘ
０ ０ ０
由（ⅰ）得ｋ＝
ｙ
０∈（
槡３
，槡３），
１ ｘ ３
０
所以ｋ＋ｋ＝ｋ－
１
∈
(
－
２槡３
，
２槡３)
．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １７分
１ ２ １ ｋ ３ ３
１
１９．（本小题满分１７分）
【详解答案】
（１）由题意可得：ｘ＝８，ｙ＝３，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １分
５
∑ｘｙ－５ｘｙ
ｉｉ １２４－５×８×３ ２ ２ １
ｂ＾＝ｉ＝１ ＝ ＝ ，ａ＾＝３－ ×８＝－ ，
５ ３３０－５×６４ ５ ５ ５
∑ｘ２－５ｘ２
ｉ
ｉ＝１
２ １
所以回归方程ｙ＾＝ ｘ－ ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４分
５ ５
２３
ｘ＝１２时，ｙ＾＝ ，
５
２３
所以日访问量１２万人时销售 千件商品； !!!!!!!!!!!!!!!!!! ５分
５
（２）Ｘ可取值为１，２，…，ｎ，
参考答案 第 ６页 （共７页）１ ( ２)ｋ－１
当ｋ＜ｎ时，Ｐ（ｘ＝ｋ）＝ · ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６分
３ ３
( ２)ｎ－１
Ｐ（Ｘ＝ｎ）＝ ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７分
３
所以Ｘ的分布列为
Ｘ １ ２ ３ … ｎ－１ ｎ
１ １ ２ １ ( ２)２ １ ( ２)ｎ－２ ( ２)ｎ－１
Ｐ · · … ·
３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３
１ １ ２ １ ( ２)２ １ ( ２)ｎ－２ ( ２)ｎ－１
故Ｅ（Ｘ）＝ ＋２× × ＋３× × ＋…＋（ｎ－１）· · ＋ｎ ①!!
３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８分
２ １ ２ １ ( ２)２ １ ( ２)３ １( ２)ｎ－１ ( ２)ｎ
因为 Ｅ（Ｘ）＝ × ＋２× × ＋３× × ＋…＋（ｎ－１）· ＋ｎ ②
３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３
１ １ １ ２ １ ( ２)２ １ ( ２)ｎ－２ ２ｎ＋１( ２)ｎ－１ ( ２)ｎ
由①－②得 Ｅ（Ｘ）＝ ＋ × ＋ × ＋…＋ · ＋ －ｎ
３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３ ３
１[ ( ２)ｎ－１ ]
１－
３ ３ １( ２)ｎ－１ ( ２)ｎ ( ２)ｎ
＝ ＋ ＝１－ ，所以Ｅ（Ｘ）＝３－３· ＜３；!!!! １１分
２ ３ ３ ３ ３
１－
３
（３）当ｋ＝ｎ时，Ｙ只能取ｎ，故ｍ只能取ｎ，有Ｐ（Ｙ＝ｍ）＝Ｐ（Ｙ＝ｎ）＝１；
当０＜ｋ＜ｎ时，整数ｍ满足ｔ≤ｍ≤ｋ，其中ｔ是０和２ｋ－ｎ中的较大者．
两次抽球包含的基本事件总数为（Ｃｋ）２，
ｎ
事件“Ｙ＝ｍ”所包含的基本事件数为ＣｋＣｍＣｋ－ｍ，
ｎ ｋ ｎ－ｋ
ＣｋＣｍＣｋ－ｍ ＣｍＣｋ－ｍ
此时Ｐ（Ｙ＝ｍ）＝ ｎ ｋ ｎ－ｋ＝ ｋ ｎ－ｋ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３分
（Ｃｋ）２ Ｃｋ
ｎ ｎ
当ｔ＜ｍ≤ｋ时，Ｐ（Ｙ＝ｍ）≥Ｐ（Ｙ＝ｍ－１）ＣｍＣｋ－ｍ≥Ｃｍ－１Ｃｋ－ｍ＋１
ｋ ｎ－ｋ ｋ ｎ－ｋ
（ｋ＋１）２
（ｋ－ｍ＋１）２≥ｍ（ｎ＋ｍ－２ｋ）ｍ≤ ，!!!!!!!!!!!!!!!! １５分
ｎ＋２
（ｋ＋１）２ （ｎ－ｋ）ｋ－１
因为０＜ｋ＜ｎ，所以ｋ－ ＝ ≥０，
ｎ＋２ ｎ＋２
（ｋ＋１）２
当２ｋ－ｎ≤０时，显然 ＞０，
ｎ＋２
（ｋ＋１）２ （ｋ＋１）２－（ｎ＋２）（２ｋ－ｎ） （ｎ＋１－ｋ）２
当２ｋ－ｎ＞０时， －ｔ＝ ＝ ＞０，
ｎ＋２ ｎ＋２ ｎ＋２
（ｋ＋１）２
所以ｔ＜ ≤ｋ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １６分
ｎ＋２
（ｋ＋１）２ （ｋ＋１）２ （ｋ＋１）２
当 ∈Ｚ时，Ｐ（Ｙ＝ｍ）取得最大值的整数ｍ＝ 或 －１，
ｎ＋２ ｎ＋２ ｎ＋２
（ｋ＋１）２ [（ｋ＋１）２ ]
当 Ｚ时，Ｐ（Ｙ＝ｍ）取得最大值的整数ｍ＝ ，
ｎ＋２ ｎ＋２
[（ｋ＋１）２ ] （ｋ＋１）２
其中 为不超过 的最大整数．!!!!!!!!!!!!!!!! １７分
ｎ＋２ ｎ＋２
参考答案 第 ７页 （共７页）
