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江西省十校协作体 2025 届高三第一次联考数学答案
一、1A 2A 3C 4C 5C 6A 7D 8B
1、A 由题， 2-x20得 ，故 ，进而 ，
H-T
2 A 因为 所以
、 ， .
令 ，即 ，解得 a>1或 a c-l ，所以 a c-l 推得出 ，故充分性
成立； 由 推不出 ，故必要性不成立；所以“ ”是“ ”的充分
不必要条件.
3、C 由题意可得 r5-(1.,m-4) ，因为 ，所以
， 解得
4 C 由题意可知 且M=350,N-250
、 ， ， ，
所以样本平均数
， 故该校高一学生的平均身高的估计值为 167cm n .
5、C
对于 A ，y-x'+2xh4-(x+i"+323 ，当且仅当 —-1 时取等号，所以其最小值为 3 ，A 不符合题
in x-2
意； 对于 B ，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取
不到，所以
其最小值不为
斗
，B 不符合题意；
z -a
对于 C ，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即
时
取等号，所以其最小值为
斗
，C 符合题意；
lar--l y=-5
对于 D ， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ，
，D
不符合题意.
6、 A
“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场 ”可分为甲最后一个出场或甲在
中 间出场，方法数为 ，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一
个出 场 ”的前提下，“运动员丙第一个出场 ”，即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是
最后一个 出场 ”，方法数为 ，因此所求概率为 .
7 、 D 圆 (s-2F+y'-1 的圆心为(2,0) ， 半径y=1 ，双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
因为 ，所以圆心(2,0)到双曲线的渐近线的距离
， 所以 ，即 ，所以 ，即该双曲线的离心率为
.
8、B
二、9 BD 10 AC 11ABD
9、
10、AC
o-
由图象得A=2 ，周
, 得 ，
期所以 ，
. 令 ，解得 ，故单调递增
区间为 . A 正确，B 错误；令 ，解得
，
-xs44-3sn k=,1,2
令 得 ，解得 ，可知 C 选项正确；函数图象关
于直 线 x=3对称，向左平移 3 个单位长度，图象关于 轴对称，得到的函数为偶函数，
故 D 错误.
11 ABD
G
A 选项、
取 EF 的中点 G，连接 CG、DG，DC，CG 平行且等于 BE，在三棱台中，易得 DC=DG=2 3 ，
CG=2，
3
易得 DCG 的余弦值为
6 ，A 正确。
H
.
G
B 选项、
取 EF 的中点 G、取 DF 的中点 H，连接 CG、CH、HG，易得 CG 平行且等于 BE，易得 CH 平
行且等 于 AD，所得面 CHG 平行面 ABED，面 CHG 与面 FDE 相交与 HG，HG 为三角形 FDE 的
中位线，HG=2， B 正确。J
K
C 选项、
过 C 作 CJ 垂直面 DEF 于 J，取 DE 的中点为 K，连接 FK，点 J 在 FK 上，CJ 为定值，
在面 DEF 内的动点 M 到 E 点时，EJ 的距离最长，此时LCEJ 的正切值最小，LCEJ 的余
弦值最大。
2 2
LCFJ 的正弦值为 ，CF=2，所以 CJ= ，FJ= ，在三角形 DEF 中，FK=2 ，
3
KJ= ，
又因为 KE=2，所以 JE= ，所以 CE=2·、i3 ，LCEJ 的余弦值是 ，C 错误。
o
T
J
D 选项、
2 2
过 C 作 CJ 垂直面 DEF 于 J，由 C 选项可知, CJ= ， ，此时 M 点运动到
点 J 时， 3 3
MC丄 MF。以 CF 为直径的球与面 DEF 的交线，就是 M 点的轨迹。取 O 为 CF 的中点，T 为
JF 的
中点，点 M 在以T 为圆心，TJ 为半径的圆弧上运动，这段圆弧对的圆心角为 120 ° , TJ=
1
，
3
这段圆弧的长度为 。)
三、 12、-25 13、0.5 14、 (| 0, U (1, 2)
( ,12、 -25
当 取 1 ，(x+y)' 取 ， , (x+y)' 取 时 ，
的系数为 ；当 取 得
的系数为： -2 =-40 .所以
的系数为： 15-40=-25
.
13、0.5
设等比数列{a } 的奇数项的和、偶数项的和分别为 ， .
n
由题意可得 解得 所以 ．故答案为：0. .
5
当 0 0
1, 所 以 0 < a < ; 当 a > 1 时，外层函数 y = log u 为增函数，要使函数有最小值，对
a
于内层函数 u = (5a - 2)x 2 - 4ax + 2 有最小值，有 解得 < a <
△= 16a
2, 又 a > 1 ，所以 1 < a < 2, 综上所述，实数a 的取值范围是 U (1, 2)
四、15.（1）因为b2 + c2 - a2 = bc ，
由余弦定理可得cosA = 5 分
因为cos A = 则
由正弦定理可得
所以，b + c = 2 sin B + 2 sin C = 2 sin B + 2 sin (A + B) = 2 sin B + 2 sin (| B
(
)
+ = 2 sin B + sin B + cos B = 3sin B + 3 cos B = 2 3 sin
,
9 分 因为 ΔABC 为锐角三角形，则 解得
所以， ，则 sin即b+ c 的取值范围是 13 分
16.（1）取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，如图所示：
」M 为棱PC 的中点，
:MN//CD ，MN = CD ， Q AB//CD ， AB = CD ， :AB//MN ， AB = MN ，
: 四边形 ABMN 是平行四边形， :BM//AN
， 又BM / 平面PAD ，MN 平面PAD ，
:BM// 平面 PAD ； 6 分
」PC = 5 ， PD = 1 ， CD = 2 ，
: PC2 = PD2 + CD2 ， :PD 丄 DC ，
」平面PDC 丄 平面 ABCD ，平面PDC∩ 平面ABCD = DC
， PD 平面 PDC ，
: PD 丄 平面 ABCD ，
又 AD ， CD 平面 ABCD ， :PD 丄 AD ， PD 丄 CD ，由 AD 丄 DC ， 8 分
: 以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，如
图：
则
故
设平面BDM 的一个法向量为 ( )，
–→
n = x, y, Z0
则 ，令z = 2 ，则y = -1 ，x = 1 ， : 分
平面PBM 的一个法向量为 = (a, b,
c)
,
则 ，令c = 2 ，则b = 1 ， a = 1 ，故
分
由于二面角P - BM - D 的平面角为锐角，故二面角P - BM - D 的余弦值为 ； 15 分
17.( 1） 由题意知
解得a = 2 , c = · , b = 1，
∴椭圆 C 的方程为 + y2 = 1. 5 分
（2）如图，
设M(x 1 , y 1 ) , N(x 2 , y 2 ) , F 2 ( · , 0) , A( -2 , 0) , B(2 , 0) .
,
设l : x = - 3, 联立 得 0, :y + y = , yy =
1 2 1 2
0,
分 ① S = S - S = |QF |. ||y |- |y | = | |y - y | (y y > 0),
△ F 2 MN △QF 2 N △QF 2 M 2 2 1 2 1 1 2
:| y - y |= ·i(y - y ) 2 = = .
1 2 1 2
6, :S = 10 分
△MF
2
N
②设l : y = (x + 2) , l : y = (x - 2) ，
AN BM
2 -y y x - 2 y x - 2 yx - 2y
: 2 (x + 2) = 1 (x - 2) → = 2 × 1 = 2 1 2 ， 12 分
x + 2 x - 2 x +2 x +2 y xy +2y
2 1 2 1 2 1 1
y x - 2 y y ( ty - 3) - 2 y ty y - 5 y
」 2 1 2 = 2 1 2 = 1 2 2
xy + 2y y (ty - 3) + 2y ty y - y
, 2 1 1 1 2 1 1 2 1
由 得tyy = (y + y
1 2 1 2
) ，
故交点的轨迹方程为x = - . 15 分
（1） 由题意得 = 2x -
又f (x) 的图象在x =1 处的切线方程为3x -y +b = 0 ，
所以 = 3 ，解得a = -1 ，
所以f (x ) = x2 + ln x -1 ，所以f (1) = 0 ，所以3 + b = 0 ，解得b = -3 . 5 分
（2） 由题意得f (x) 的定义域为(0, +∞) ， f, (x ) = 2x - ，
当a ≤ 0 时， f, (x ) > 0 ，f (x)在(0, +∞) 上单调递增，
又f (1) = 0 ，所以f (x)有且仅有一个零点 1 ； 6 分
当0 < a < 2 时，令f, (x ) = 0 ，解得x = · < 1，
( ) ( )
易知在 |0 , 上， f, (x ) < 0 ， 则f (x) 在 |0 , 上单调递
( , ( ,
( ) ( )
减， 在 | · , +∞ 上， f, (x ) > 0 ， 则f (x) 在| · , +∞
( , ( ,
( )
上单调递增， 又f | · < f ( 1 ) = 0 ， f (| e - = e - > 0
( , ( ,
，
( ) )
所以f (x) 在|0 , · 上有一个零点， f (x) 在 (| · , +∞ 上有一个零点
|(
( , ,
( ) ( )
1， 所以f (x) 在| 0 , · ， | · , +∞ 上各有一个零点； 8 分
( , ( ,
当a = 2 时，令f, (x ) = 0 ，解得x = 1，易知在(0, 1) 上， f, (x ) < 0 ，则f (x)在(0, 1) 上单调递
减， 在(1, +∞) 上， f, (x ) > 0 ，则f (x)在(1, +∞) 上单
调递增，
故f (x) 的最小值为f (1) = 0 ，故f (x)仅有一个零点； 9 分
当a > 2 时，令f, = 0 ，解得x =
(
) (
易知在 ( | 上， f, (x ) < 0 ， 则f (x) 在 |0 , ) 上单调递减， 且f ( 1 ) =
, (
,
所以 在 上有一个零点 1，
( ) ( )
在| · , +∞ 上， f, (x ) > 0 ， 则f (x) 在| · , +∞ 上单调递增，
( , ( ,
( )
又f | · < f ( 1 ) = 0 ， f ( ea ) = ( ea )2 -1- a2 > (a +1)2 -1- a2 = 2a
( ,
> 0 ， 所以 在 上有一个零点，
故f (x)在| a )
，
a
, +∞ 上各有一个零点.
( 2 , 2
,
综上，当a ≤ 0 或a =2 时， f (x)仅有一个零点；
当0 < a < 2 或a > 2 时， f (x)有两个零点. 12 分
（2）证明：若a = 2 ，则f (x) = x2 - 2ln x -1，
所以 = 2x -
令f, (x ) > 0 ，解得x >1 ，令f, (x ) < 0 ，解得0 < x
<1， 所以f (x)在(0, 1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单
调递增，
所以f (x) = f (1) = 0 ，所以f (x ) ≥ 0 ， 14 分
min
当且仅当x =1 时，等号成立；
,
令 ， x > 0 ，所以g令g, (x ) > 0 ，解得0 < x < 2 ，令g, (x ) < 0 ，解得x
> 2 ， 所以g(x ) 在(0, 2) 上单调递增，在(2, +∞) 上
单调递减，
所以g(x) = g (2) = 0 ，所以g(x) ≤ 0 ，当且仅当x = 2 时，等号成立，
max
所以 17 分
19. (1)
n = 2时，
n = 3时P(X = 0) = , P(X = 1) = , P(X = 2) = ;
n = 4时P
n = 5时P(X = 0) = , P(X = 1) = , P(X = 2) =
(8 分)
规律从n=1 开始每一类情况下所有概率的分子以“三角形 ”的形式列出来，刚好得到了一个“欧拉三角
”（与
杨辉三角形类似)
(欧拉三角不影响得分, 仅供找规律参考)
当 n≥2 时 , a = 1, a = 4, a = 11, a = 26,a = 57, a = 120, a = 247, a = 502 猜
想 2 3 4 5 6 7 8 9
a = 2a + n(n ≥ 2, n ∈ N* ) 13 分
n+1 n
当 n≥2 时 P 递推关系 an+1=2an+n
变形为 a
n+1
+n+2=2(a
n
+n+1),于是数列{a
n
+n+1}从第二项起成等比数列,所以 a
n
+n+1=2n,a
n
=2n-n-1(n≥2，
n∈N*)，因此 P(X=n-2)= ，于是 P(X≥n-2)= (n≥2 ，n∈N*) 17 分
