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2024 高考数学
点睛密卷
全国甲卷(理)
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绝密★启用前
2024 年高考数学点睛密卷(全国甲卷理)
数 学
本试卷共6页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡
右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在
试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知
2
U = R ， A = { x | 1 x 3 } ， B = { x || x − 3 | 1 } ，则{x|1 x 4}等于 ( )
A．
U
( A B ) B． A
U
B C．
U
( A B ) D． B
U
A
2．已知复数 z =
2
1
−
+
i
i
，则 z − z = ( )
A． 3 i B． − 3 i C．3 D． − 3
3．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是( )
A．2 B．3 C．4 D．53
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4．在正方体
3
A B C D − A
1
B C1
1
D
1
中， P ， Q 分别是棱 A A
1
， C C
1
靠近 A ， C 下底面的三等分点，
平面 D
1
P Q 平面 A B C D = l ，则下列结论正确的是 ( )
A． l 过点B B． ∥l A C
C．过点D，
1
P ，Q的截面是三角形 D．过点D，
1
P ，Q的截面是四边形
5．函数 f ( x ) = ( e − x − e x ) c o s x 的部分图象大致为 ( )
A． B．
C． D．
6．若 f ( x ) = a ln x + b x 2 + x 在x=1和 x = 2 处有极值，则函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( )
A． ( − ,1 ) B． ( 2 , + ) C． (1 , 2 ) D．
1
2
,1
π π
7．已知0, ，且cos− =2cos2，则
2 4
ta n
π
4
(
+
= )
A． 3 B． 5 C． 7 D． 1 5
8．若数列 { a
n
} 满足 a
n + 1
= a
n
+ 2 ，且 a
3
+ a
1 0
= 4 ，那么数列 { a
n
} 的前n项和S 的最小值是
n
( )
A．S B．S C．
1 5
S
6
D．S
11
9．在正方体ABCD−ABCD 中，点
1 1 1 1
P 在四边形AABB内(含边界)运动．当
1 1
C
1
P =
2
3
1
C C
1
时，点 P
2 3π
的轨迹长度为 ，则该正方体的表面积为
9
( )
A．6 B．8 C．24 D．54
10．为确保马拉松赛事在某市顺利举行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮水
点中间再设置一个服务站，一共6个服务站．由含甲、乙在内的13支志愿者服务队负责这
13 个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务，则甲队和乙队在不同类
型的站点服务且不相邻的概率为( )
2 3 4 5
A． B． C． D．
13 13 13 134
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11．如图，已知双曲线
4
C :
x
a
2
2
−
y
b
2
2
= 1 ( a 0 , b 0 ) 的左、右焦点分别为 F
1
( − 3 , 0 ) ， F
2
( 3 , 0 ) ，点
A 在 C 上，点 B 在 y 轴上， A ， F
2
， B 三点共线，若直线 B F
1
的斜率为 3 ，直线 A F
1
的斜
5 3
率为− ，则双曲线C的离心率是
11
( )
A．
2
5
B．
3
2
C． 5 D．3
12．已知 f ( x ) ， g ( x ) 都是定义在 R 上的函数，对任意 x ，y满足
f ( x − y ) = f ( x ) g ( y ) − g ( x ) f ( y ) ，且 f ( − 2 ) = f (1 ) 0 ，则下列说法正确的是 ( )
A．g(0)=−1
B．若 f (1 ) = 2 0 2 4 ，则
2 0 2 4
n
= 1
f ( n ) = 2 0 2 4
C．函数 f ( 2 x − 1 ) 的图象关于直线 x =
1
2
对称
D． g (1 ) + g ( − 1 ) = 1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量 a = ( 3 , 4 ) ， b = (1 , 0 ) ， c = a + tb ，若 a , c = b , c ，则t = ．
14．若圆锥侧面展开图是圆心角为
2 π
3
，半径为 2 的扇形，则这个圆锥表面积为 ．
15．已知抛物线 C : y 2 = 2 p x ( p 0 )
1
的焦点为F ，准线l:x=− ，直线
2
l 过点 F 且与抛物线 C
交于 M ， N 两点， O 为坐标原点，若
|
|
M
N
F
F
|
|
=
3
4
，则△OMN的面积为 ．
16．若函数 f ( x ) s in x 3 c o s x 1 = + − 在 [ 0 ,2 π ] 上恰有5个零点，且在
−
π
4
,
π
1 5
上单调递增，
则正实数的取值范围为 ．5
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三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答；22、23题为选考题，考生根据要求作答.
2 3
17．在①a2 =− S+abcosC；②
3
5
c o s 2 A − c o s 2 B + c o s 2 C = 1 + 2 s in A s in C ，两个条件中任
选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
在△ABC中，内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ，b， c ，三角形面积为 S ，若 D 为 A C 边
上一点，满足 A B ⊥ B D ， B D = 2 ，且_____．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角B；
2 1
(2)求 + 的取值范围．
AD CD
18．如图在四棱锥 S − A B C D 中， A B C D 为菱形， A B C = 1 2 0 ， S D C = 9 0 ， S B = S D ．
(1)证明： S C ⊥ B D ；
(2)若ASC =90，求平面 S A B 与平面 S B C 所成二面角的正弦值．6
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19．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能
源汽车充电站的数量(单位：个)，得到如下表格：
年份编号x 1 2 3 4 5
年份 2018 2019 2020 2021 2022
新能源汽车充电
站数量
6
y /
37 104 147 186 226
个
(1)已知可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明；
(2)求y关于 x 的线性回归方程，并预测2026年该市新能源汽车充电站的数量．
参考数据：
5
i=
1
y
i
= 7 0 0 ，
5
i=
1
x
i
y
i
= 2 5 6 0 ，
5
i=
1
( y
i
− y ) 2 1 4 6 .5 1 ， 10 3.16．
参考公式：相关系数 r =
n
i=
1
n
( x
i= 1
(
i
x
i
−
−
x
x
2 )
) ( y
n
i=
1
i
(
−
y
i
y
−
)
y ) 2
，回归方程yˆ =b ˆ x+aˆ中斜率和截距的最小
二乘估计公式分别为： ˆb =
n
i=
1
( x
i
n
i=
1
−
( x
x
i
)
−
( y
x
i
)
−
2
y )
， ˆa = y − ˆb x ．
20．已知抛物线C:y2 =2px(p0)上一点P的横坐标为4，且P到焦点 F 的距离为5，
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)点A，B是抛物线C上异于原点 O 的不同的两点，且满足 O A A B = 0 ，求|OB|的最小
值．
21．已知函数 f(x)=ex +mx−1．
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)当m0时，证明： f ( x ) x ln x − ( m + 1 ) s in x ．7
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选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分。
22．在平面直角坐标系
7
x O y 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
曲线 C 的极坐标方程为 s in 2 4 c o s = ，直线 l
π
的极坐标方程为cos− =1．
3
(1)求曲线 C 和直线l的直角坐标方程；
(2)直线 l 与 x 轴的交点为 P ，经过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于 A ， B 两点，若
| P A | + | P B |= 4 6 ，求直线 m 的斜率．
23．已知函数 f ( x ) = | x + 2 | − a | x − 1 | ， a R ．
(1)当 a = 2 时，求不等式 f(x) 0的解集；
(2)当a=−1时，函数 f ( x ) 的最小值为 m ，若 a ， b ， c 均为正数，且 a 2 + b 2 + 4 c 2 = m ，求
a + b + 2 c 的最大值．
