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江西省六校2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题
一、单选题
1．若集合 （i是虚数单位）， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若命题 ， ，则命题 的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．已知向量 ，其中 ， ，且 ，则向量 和 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白
如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外
形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为 ，则该茶杯容量
（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（ ）（单位： ）
A． B． C． D．6．已知函数 ，则 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知曲线 ， ，其中 ．点 ， ， 是曲线 与 依次相
邻的三个交点．若 是等腰直角三角形，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知正实数 ， 满足 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据 ， ， ， ， ， ， ， 的第80百分位数为10
B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 的值越接近于1
C．已知随机变量 服从正态分布 ， 越大，则随机变量 越集中
D．若随机变量 ，随机变量 ，则
10．已知函数 ， 是函数 的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 在区间 上单调递减
C．过点 能作两条不同直线与 相切
D．函数 恰有4个零点11．如图，有一组圆 都内切于点 ，圆 ，设直线 与圆
在第二象限的交点为 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A．圆 的圆心都在直线 上
B．圆 的方程为
C．若 ，则圆 与 轴有交点
D．设直线 与圆 在第二象限的交点为 ，则
三、填空题
12．已知椭圆 ，过左焦点 作直线 与圆 相切于点 ，与椭圆 在
第一象限的交点为 ，且 ，则椭圆 的离心率为 ．
13．在等比数列 中， ， 是函数 的两个极值点，若 ，则 的
值为 ．
14．设 ， ， ， ，函数 （e是自然对数的底数， ）．从有序实数对
中随机抽取一对，使得 恰有两个零点的概率为 ．
四、解答题15．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ．
(1)求角 ；
(2)若 ， ，求 的周长．
16．已知抛物线 与双曲线 的渐近线在第一象限的交点为 ，且 点的横坐标
为6．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点， 关于 轴的对称点为 ，证明：直线 必过定
点．
17．如图，四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形， ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2) 是边 上的点，且 与平面 所成角的正切值是 ，求 的面积．
18．已知函数 ．
(1)若函数 在定义域上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 ，证明： ；
(3)设 ， 是函数 的两个极值点，证明： ．
19．甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式，当球在甲手中
时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留，当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙，当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙
将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．设投掷 次后 ，球在
乙手中的概率为 ．
(1)求 和 ；
(2)求数列 的通项；
(3)设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，证明： ．参考答案
1．B
【详解】 ，
所以 ，
故选：B
2．C
【详解】命题 的否定为: ， ,
故选：C
3．A
【详解】
解：由于 ， ，且 ，
则 ，即有 ，
，
由于 ， ，
则 与 的夹角为 ．
故选：A．
4．B
【详解】因为 ，
则 ，即 ，
所以 ，
则 .故选：B.
5．D
【详解】圆台的体积即为该茶杯容量，如图， cm， cm，
过点 分别作 ⊥ ， ⊥ 于点 ，
则 cm， cm，
其中圆台的高为 cm，
故圆台体积为 .
故选：D
6．A
【详解】当 时， ，
当 时， ，则 ，
所以 ， ，
则所求切线方程为 ，即 .
故选：A
7．D
【详解】
因为点 ， ， 是曲线 与 依次相邻的三个交点，不妨设点 为曲线 与 在 轴上
的交点，如图所示， 为 的中点，连接 ,易知 ， , 与 轴平行，所以
又因为 是等腰直角三角形，所以 ，所以
又因为 在曲线 上，所以 ，
又因为 所以： 即
所以 .
故选：D
8．C
【详解】由题设可得 (当且仅当 时取等号),
即 ,由于 ， 均为正实数，即 ，
设 ，
则当 时， 在 单调递减，当 时， 在
单调递增，故当 ，
故 当且仅当 时取等号，
因此 ，故 ，则 ，
故 ，解得 ,所以 ,
故选：C.
9．AD
【详解】对于A，将数据 ， ， ， ， ， ， ， 从小到大排列为 ，由于 ，故第80百分位数为第7个数10，A正确，
对于B，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 的绝对值越接
近于1，B错误，
对于C，正态分布 ， 表示标准差，故 越大，随机变量 越分散，C错误，
对于D，随机变量 ，则 ,故随机变量 ，则
，D正确，
故选：AD
10．AB
【详解】对于A中，由函数 ，可得 ，
因为 是函数 的一个极值点，可得 ，
解得 ，经检验适合题意，所以A正确；
对于B中，由 ，令 ，解得 或 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
故 在区间 上递增，在区间 上递减，在区间 上递增，所以B正确；
对于C中，设过点 且与函数 相切的切点为 ，
则该切线方程为 ，
由于切点 满足直线方程，则 ，
整理得 ，解得 ，所以只能作一条切线，所以C错误；
对于D中，令 ，则 的根有三个，如图所示， ，
所以方程 有3个不同根，方程 和 均有1个根，故 有5个零点，所以D错误．
故选：AB．
11．ABC
【详解】圆 的圆心 ，直线 的方程为 ，即 ，
由两圆内切连心线必过切点，得圆 的圆心都在直线 上，即圆 的圆心都在直线
上，故A正确；
显然 ，设点 ，则 ，而 ，
解得 ，因此圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的方程为 ，
则圆 的方程为 ，故B正确；
圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心到 轴的距离为 ，
由 两边平方得 ，， ，而
所以当 时，圆 与 轴有交点，C选项正确.
在 中，令 ，得点 的纵坐标为 ，因此
，故D错误．
故选：ABC
12．
【详解】设椭圆右焦点为 ，连接 ，如下图所示：
由圆 ： 可知圆心 ，半径 ，
显然 ，且 ，
因此可得 ，所以 ，可得 ，可得
，又 ，
由余弦定理可得 ，
解得 ，
再由椭圆的定义可得 ，即 ，因此离心率 .
故答案为：
13．16
【详解】 的定义域为 ，
，
由题意得 是方程 的两个不相等的正根，
故 ，解得 ，
由韦达定理得 ，故 ，
因为 为等比数列，所以 ，
其中 ，故 ，
所以 ，解得 ，满足要求.
故答案为：16
14．
【详解】由题意， ， ， ， ，则有序实数对 有81个.
由 ，得 ，
令 ，
所以当 时， ，当 时， ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 时， ；当 时， ，所以 ，
要使 有两个零点，则 ，
即 ，得 ，即 .
满足该条件的有序实数对有：
对于 ， 可以取 ，共7个；
对于 ， 可以取 ，共4个；
对于 ， 可以取 ，共1个；
所以所求事件的概率为 .
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）在 中，由正弦定理 得 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 .
（2）在 中，由正弦定理 ，得 ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 周长为 .
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设点 的坐标为 ，因为点 在第一象限，所以 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，因为点 在双曲线的渐近线上，所以
，
所以点 的坐标为 ，又点 在抛物线 上，所以 ，所以
，
故抛物线的标准方程为： ；
（2）设直线 的方程为 ，联立 ，消 得， ，
方程 的判别式 ，即 ，
设 ，则 ，
设 关于 轴的对称点为 ，
则直线 的方程为 ，
根据抛物线的对称性可知定点必定在 轴上，
令 得：．
直线 过定点 ．
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题设得， 从而 .
又 是直角三角形，所以 .
取AC的中点O，连接DO、BO，则DO⊥AC，
又 是正三角形，故 .
则在直角 中， ，
又 ，所以 ，
故 .
而 , 平面 ，
故 平面 ，而 平面 ，
所以平面 ⊥平面 .
（2）设 ， 与平面 所成角为 ,
结合（1）结论，以 为坐标原点, 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立的空间直角坐
标系，
则 ， ,
,设平面 的法向量 ，
则 ,则 ,令 ,则 ,
故 ,
由 ,则
故
则 ,解得
故 ,
则 ,
所以 边上的高为 ,
故 .
18．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知函数 的定义域为 ，
在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
又 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，即 的取值范围是 ,
（2）若 ， ，所以 ，
令 ，解得 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
令 ， ，所以 ，
令 ，解得 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，又等号不同时成立，
所以 .
（3）由题意可知 ，
因为 有两个极值点 ， ，
所以 ， 是方程 的两个不同的根，
则
所以
，所以要证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，即证 .
令 ，则证明 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以原不等式 成立.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当投掷2次骰子后，球在乙手中，共有1种情况：甲 甲 乙，其概率为
，故 ，
当投掷3次骰子后，球在乙手中，共有3种情况：
①：甲 乙 甲 乙，其概率为
②：甲 乙 丙 乙，其概率为
③：甲 甲 甲 乙，其概率为
所以投掷3次后，球在乙手中的概率为 .（2）由于投掷 次骰子后球不在乙手中的概率为 ，此时无论球在甲手中还是球在丙
手中，均有 的概率传给乙，故有 ．
变形为 ．
又 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
所以 ．
所以数列 的通项公式 ．
（3） ,故
，
故
，
所以 ，故 ，
记 ，其前 项和为 ，
所以 ，
故 ，
相减可得 ，故 ，
故 ，
故 ，
