文档内容
广安中学 2026 年高考冲刺月测二
九 月 月 测 数 学 试 题
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分。
1．已知集合A={-2,0,2,4}，B={x∈N∣x<3}，则A∪B=（ ▲ ）
A．{0,2} B．{-2,0,2}
C．{-2,0,1,2,4} D．{-2,0,1,2,3,4}
2．已知数列{a }满足a =2，a =ma +2m，则“数列{a }为等差数列”是“m=1”的
n 1 n+1 n n
（ ▲ ）
A．必要不充分条件 B．充要条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知△ABC，|BC|=a，|AC|=b，|AB|=c，满足asinA+bsinB=2c，用S表示△ABC的面
S
积，当 最大时，tanA的值为（ ▲ ）
2
|AB|
❑√5+1
A．1 B． C．2 D．❑√5
2
4．设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为x ，则x ⋅x ⋅⋯⋅x 的值为
n 1 2 n
（ ▲ ）
1 1 n
A． B． C． D．1
n n+1 n+1
5．已知函数f (x)=sin(2x-2)-e1-x+ex-1+2，(x∈R)．若f (2a2)+f (1-a)<4，则实数a的取值
范围为（ ▲ ）
( 1 ) ( 1)
A． - ,1 B． -∞,- ∪(1,+∞)
2 2
( 1) (1 )
C． -1, D．(-∞,-1)∪ ,+∞
2 2
6．下列函数是周期为π的偶函数是（ ▲ ）
A．y=sinx B．y=|sinx| C．y=tanx D．y=cosx
试卷第1页，共4页
学科网（北京）股份有限公司7．已知函数f (x)=¿，数列{a }满足a =f (n)，n∈N*，则“{a }为递增数列”是“4≤a<5”的
n n n
（ ▲ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
1
8．若b>1，a∈R，且ea+2lnb= -a，则（ ▲ ）
b
A．a2b C．ea>b-1 D．ea>b-2
二、多选题：共3小题，每小题6分，全选得满分，漏选得部分分，错选得0分，共18分。
9．已知数列{a }的通项公式为a =¿，前n项和为S ，则（ ▲ ）
n n n
A．a =17 B．a >a C．S =42 D．S >S
6 4 5 5 6 5
10．下列各组函数表示同一函数的是（ ▲ ）
A．f (x)=❑√x2+1，g(x)=(❑√x) 2+1 B．f (x)=log x2，g(x)=2log x
5 5
C．f (x)=❑√4-x2，g(x)=❑√2-x⋅❑√2+x D．f (x)=2x-4，g(t)=2t-4
11．已知函数f (x)=4x3-6x2+(2-a)x，则下列结论正确的是（ ▲ ）
A．当a=2时，则f (x)有三个零点
B．当a=2且x∈(0,1)时，f (sinx)0且a≠1时，函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点（2，－2）；
试卷第2页，共4页④用二分法求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过3次二分后精确
度达到0.1；
⑤函数f(x)=2x-x2的零点有2个．
其中所有正确命题的序号是 ▲ ．
13．若函数y=f (x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f (x+a)-b为奇函数.
1 1
则f (x)= 的对称中心为① ▲ 不等式f (x)+f (x-2)< 的解集为② ▲ .
2x+4 4
14．设A,B,C是一个三角形的三个内角，则cosA(3sinB+4sinC)的最小值为 ▲ .
四、解答题：共5小题，15题13分，16-17题，每题15分，18-19题，每题17分，共77分。
15．随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶
和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到
下表（单位：人）．
老年人 中年人 青年人
鲜 酸
酸奶 酸奶 鲜奶 鲜奶
奶 奶
满意 100 120 120 100 150 120
不满
50 30 30 50 50 80
意
(1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
(2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率；
(3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体
对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可）
注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值．
▲
16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b=c+2acosC.
(1)求A；
试卷第3页，共4页
学科网（北京）股份有限公司3❑√3
(2)若△ABC的周长为9，面积为 ，求a.
4
▲
17．如图，在三棱柱ABC-A B C 中，所有的棱长均相等，D是AC
1 1 1
的中点，D在上底面A B C 的投影为△A B C 的重心O．
1 1 1 1 1 1
(1)证明：AC⊥BO；
(2)求平面ABC与平面A ACC 的夹角的正弦值．
1 1
▲
18．已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F.抛物线C上一点P(x ,1)满足|PF|=2，Q为直线
0
l:x- y-4=0上的动点，过Q作曲线C的两条切线QA，QB，其中A,B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：直线AB恒过定点；
(3)求△QAB面积的最小值．
▲
xa
19．已知函数f (x)= +x-alnx-1(a∈R).
ex
(1)当a=1时，求函数f (x)在x=1处的切线方程；
(2)若函数f (x)有两个零点，记作x ，x .
1 2
（ⅰ）求参数a的取值范围；
试卷第4页，共4页（ⅱ）若 ，证明： .
0<3x ≤x x ⋅x3≥243
1 2 1 2
▲
试卷第5页，共4页
学科网（北京）股份有限公司广安中学 2026 年高考冲刺月测二
九月月测 数学试题参考答案
1．C
【分析】根据并集的定义即可得出答案.
【详解】由题可知B={x∈N∣x<3}={0,1,2}，又因为A={-2,0,2,4}，故A∪B={-2,0,1,2,4}.
故选：C
2．A
【分析】若 ，则利用等差数列的定义可判断；若 为等差数列，利用 求出
m=1 {a } 2a =a +a
n 2 1 3
1 1
m=1或m= ，检验得出m= 时满足题意.
2 2
【详解】当 时， ，则 为等差数列，必要必成立；
m=1 a =a +2 {a }
n+1 n n
因 且 ，有 ， ， ，
a =2 a =ma +2m a =2 a =4m a =4m2+2m
1 n+1 n 1 2 3
因为 为等差数列，有 ，即 ，
{a } 2a =a +a 8m=4m2+2m+2
n 2 1 3
1
解得m=1或m= ，
2
1 1 1
当m= 时，a = a +1，即a -2= (a -2)，
2 n+1 2 n n+1 2 n
因 ，则 恒成立，即 为等差数列，充分性不成立.
a =2 a =2 {a }
1 n n
故选：A.
3．C
【分析】根据已知条件应用正弦定理结合基本不等式得出最大值，再应用二倍角公式及弦化
切计算求解.
【详解】因为asinA+bsinB=2c，由正弦定理得sin2A+sin2B=2sinC，
又因为
答案第1页，共13页
学科网（北京）股份有限公司1 1
bcsinA bsinA
S 2 2 sinBsinA sinBsinA 1 1 1
= = = = = ≤ =
|AB| 2 c2 c 2sinC sin2A+sin2B sinB
+
sinA
2❑
√sinB
×
sinA 2
sinA sinB sinA sinB
所以当且仅当sinB sinA ，即 时等号成立，即 S 取最大值，
= sinB=sinA
sinA sinB |AB| 2
又因为 ，所以 ，
sin2A+sin2B=2sinC 2sin2A=2sin(A+B)=2sin2A
所以2sin2A=2×2sinAcosA，
π
由于A∈(0,π)，且A≠ ，
2
所以tanA=2.
4．B
n
【分析】根据幂函数导数公式求导，进而求切线方程并得到x = ，即可求目标式的值.
n n+1
【详解】对 求导得 ．
y=xn+1(n∈N*) y'=(n+1)xn
令x=1，得在点(1,1)处的切线的斜率k=n+1，
在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1)．
n
令y=0，得x = ，
n n+1
1 2 3 n-1 n 1
x ⋅x ⋅⋯⋅x = × × ×⋯× × = ．
1 2 n 2 3 4 n n+1 n+1
故选：B
5．A
【分析】先通过对变量替换，即令t=x-1，将原函数变为f(x)=g(t)+2，通过求导判断g(t)的
单调性，利用其严格递增性将原不等式转化为2a2-10
答案第2页，共13页因此，g(t)在R上严格递增，
原不等式 转化为： ，即 ，
f (2a2)+f (1-a)<4 [g(2a2-1)+2]+[g(-a)+2]<4 g(2a2-1)<-g(-a)
因为 为奇函数，即 ，所以 ，
g(t) g(-a)=-g(a) g(2a2-1)a f (n+1)>f (n)
n n+1 n
当n<5时(n=1,2,3,4)，f (n+1)-f (n)=2a-2n-1>0成立，即
3
n=1：2a-3>0⇒a> ，
2
5
n=2：2a-5>0⇒a> ，
2
7
n=3：2a-7>0⇒a> ，
2
n=4：需要满足f (4)1
7
综上，若数列{a }递增，则 1，则 +ln > +2ln = +ln > +ln ，
b b b b b b2 b2 b2
1 1 1 1
所以 +ln >ea+a> +ln ，
b b b2 b2
令 ，对 求导可得 ，所以 在 上单调递增.
f(x)=ex+x f(x) f' (x)=ex+1>0 f(x) R
因为 ， 1 1 ln 1 1 1 ，1 1 ln 1 1 1 ，
ea+a=f(a) +ln =e b2+ln =f(ln ) +ln =e b+ln =f(ln )
b2 b2 b2 b2 b b b b
1 1
所以f(ln )>f(a)>f(ln )，
b b2
1 1 1 1
根据f(x)的单调性可知ln >a>ln ，即ln >lnea>ln ，
b b2 b b2
再根据对数函数的性质，所以b-1>ea>b-2，C错，D对；
1
若b=e，此时ea+a= -2，且-1>a>-2，
e
而 - 7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3e-8 ，
(e 4- )-( -2)= - + > - + = - = >0
4 e e√4e3 e 4 3e e 4 4 3e 12e
所以 - 7 7 1 ，则 7，此时 49 ，排除A，
e 4- > -2=ea+a -2 >b
4 e 4 16
若b=en，此时ea+a=e-n-2n，且-n>a>-2n，
若n→+∞时，a→-2n，必有a2<4n20,S =44，可知B、D正确，A、C错误.
6 5 6 5
故选：BD
10．CD
【分析】分别对选项中的两函数的定义域、对应关系、值域进行逐一判断，只有三者完全相
同才符合题意，即可得出结论.
答案第5页，共13页
学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，易知函数 的定义域为 ，而 的定义域为 ，
f (x)=❑√x2+1 R g(x)=(❑√x) 2+1 [0,+∞)
两函数定义域不同，所以表示的不是同一函数，A错误；
对于B，函数 的定义域为 ，而 定义域为 ，
f (x)=log x2 (-∞,0)∪(0,+∞) g(x)=2log x (0,+∞)
5 5
两函数定义域不同，所以表示的不是同一函数，B错误；
对于C，由 可知定义域为 ，函数 定义域为 ，
f (x)=❑√4-x2 [-2,2] g(x)=❑√2-x⋅❑√2+x [-2,2]
对应关系和值域也相同，所以表示的是同一个函数，即C正确；
对于D，函数解析式与表示字母无关，所以f (x)=2x-4，g(t)=2t-4表示的是同一个函数，即
D正确；
故选：CD
11．BCD
【分析】令f (x)=0求出x可判断A；利用导数判断出f (x)在x∈(0,1)上的单调性可判断B；计
算出 可判断C；令 可得 ， ，再由
f (x)+f (1-x)=-a f'(x)=0 x +x =2x 2-a=-12x2+12x
1 2 0 1 1
3 3
f (x )=f (x )、f (x )=f (x )得2x +x = 、2x +x = ，最后x -x 、x -x 相乘可得答案.
4 1 2 3 1 4 2 2 3 2 4 3 0 1
【详解】对于A，当 时， ，令 可得 ，
a=2 f (x)=4x3-6x2 f (x)=0 2x2(2x-3)=0
3
解得x=0，或x= ，则f (x)有2个零点，故A错误；
2
对于B，当 时， ， ，
a=2 f (x)=4x3-6x2 f'(x)=12x(x-1)
时， ， 单调递减，且 ，
x∈(0,1) f'(x)<0 f (x) sinx-sin2x=sinx(1-sinx)>0
可得 ，所以 ，故B正确；
sinx>sin2x f (sinx)0 f(x) (-1,0)
且 ， ，所以2，4也是函数 的零点，故⑤错误.
f(2)=22-22=0 f(4)=24-42=0 f(x)
故答案为：①③.
答案第7页，共13页
学科网（北京）股份有限公司13． ( 1)
2, {x∣x>3}
8
【分析】设函数f (x)的对称中心为(a,b)，再由奇函数的定义代入计算，即可得到其对称中心，
1 1
f (x)+f (x-2)< 可化为f (x-2)< -f (x)即f (x-2)4-x，即x>3．
1
故f (x)+f (x-2)< 的解集为{x∣x>3}．
4
故答案为：( 1)； .
2, {x∣x>3}
8
125❑√3
14．-
108
【分析】根据三角形内角和定理，两角和的正弦公式、辅助角公式、结合换元法得到
，再运用导数的性质进行求解即可.
f (t)=25t2+24t3
答案第8页，共13页【详解】
cosA(3sinB+4sinC)=cosA[3sinB+4sin(π-A-B)]=cosA(3sinB+4sin AcosB+4cosAsinB)
，
=cosA[(3+4cosA)sinB+4sin AcosB]
令3+4cosA=a,b=4sinA，
所以 ，
cosA(3sinB+4sinC)=cosA(asinB+bcosB)=❑√a2+b2cosAsin(θ+B)
要想cosA(3sinB+4sinC)有最小值，显然A为钝角，即cosA<0，
于是有 ，
❑√a2+b2cosAsin(θ+B)≥❑√a2+b2cosA
设 ，
f (A)=cosA⋅❑√9+24cosA+16cos2A+16sin2A=cosA⋅❑√25+24cosA
因为cosA<0，
所以
f (A)=-❑√25cos2A+24cos3A
令 ，即 ，
cosA=t(-10，函数f (t)单调递增，
36
25
当- 1,θ∈ ( , ) ，显然存在B，使得B+θ= ，
2 4 2 2
125❑√3
即cosA(3sinB+4sinC)的最小值为- ，
108
125❑√3
故答案为：-
108
答案第9页，共13页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角形内角和定理把三个变量变成二个变量问题，
最后利用辅助角公式就成一个变量，利用导数的性质求最值.
15．【详解】
（1）设“这个人恰好对生产的酸奶质量满意”为事件A，
样本总人数为500，其中对酸奶质量满意的人数为100+120+150=370，
370 37
所以P(A)= = ．
500 50
150 3
（2）用样本频率估计总体概率，该地区青年人对酸奶满意的概率p= = ．
150+50 4
（3）青年人消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大.
理由如下：
120
老年人满意度为 =0.8，满意度提高0.1后增加的满意人数为150×0.9-150×0.8=15
120+30
（人）；
100
中年人满意度为 ≈0.67，满意度提高0.1后增加的满意人数为150×0.77-150×0.67=16
100+50
（人）；
120
青年人满意度为 =0.6，满意度提高0.1后增加的满意人数为200×0.7-200×0.6=20
120+80
（人）；
所以青年人总人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以青年人对鲜奶的满意度提升0.1，
人数提高得最多，则整体对鲜奶的满意度提升最大.
16．【详解】
（1）在△ABC中，由2b=c+2acosC及正弦定理得2sinB=sinC+2sin AcosC，
则sinC+2sin AcosC=2sin(A+C)=2sin AcosC+2cosAsinC，
1
因此2cosAsinC=sinC，而sinC>0，则cosA= ，又A∈(0,π)，
2
π
所以A= .
3
1 ❑√3 3❑√3
（2）由（1）及已知得S = bcsin A= bc= ，解得bc=3，
△ABC 2 4 4
由a+b+c=9，得b+c=9-a，
答案第10页，共13页由余弦定理得 ，则 ，
a2=b2+c2-2bccosA=(b+c) 2-3bc a2=(9-a) 2-9
所以a=4.
17．【详解】
（1）∵D在上底面A B C 的投影为△A B C 的重心O．
1 1 1 1 1 1
平面 ， 平面 ， ，
∵A C ⊂ A B C ∴OD⊥ A B C ∴DO⊥A C
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∵A C ∥AC，∴AC⊥OD，
1 1
∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，故BD⊥AC，
∵OD∩BD=O，OD⊂平面BOD，BD⊂平面BOD，∴AC⊥平面BOD，
又因为BO⊂平面BOD，∴AC⊥BO.
（2）解法一：延长B O交A C 于点D ，如图所示，
1 1 1 1
由（1）知平面DBB D ⊥AC，故∠D DB为平面ABC与平面
1 1 1
A ACC 的夹角，
1 1
π
∵B D ∥BD，∴∠B D D+∠DD O= ，
1 1 1 1 1 2
❑√3 ❑√3 ❑√33
设棱长为1，则B D = ，∵O为△A B C 重心，∴OD = ，∴DO=❑√D D2-D O2= ，
1 1 2 1 1 1 1 6 1 1 6
DO ❑√33，
∴cos∠D DO= =
1 DD 6
1
❑√33
∴平面ABC与平面A ACC 的夹角的正弦值为 .
1 1 6
2❑√3 ❑√33
解法二：设AB=2，有BD=❑√3，OB = ，BB =2，可求得OD= ，
1 3 1 3
由AB=AC=BC，AD=CD，可得BD⊥AC，
又由OD⊥平面ABC，以D为坐标原点，
DA，DB，DO分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
有 ， ， ， ， ( ❑√33)，
D(0,0,0) A(1,0,0) C(-1,0,0) B(0,❑√3,0) O 0,0,
3
可得 ，
⃗CA=(2,0,0)
答案第11页，共13页
学科网（北京）股份有限公司，
设平面ACC A 的一个法向量为⃗m=(x,y,z)，
1 1
有 ，取 ， ， ，可得 ，
¿ x=0 y=❑√11 z=1 ⃗m=(0,❑√11,1)
又由平面ABC的一个法向量为⃗n=(0,0,1)，有⃗m⋅⃗n=1，|⃗m|=2❑√3，|⃗n|=1，
1 ❑√3
有cos〈⃗m,⃗n〉= = ，
2❑√3 6
故平面
ABC
与平面
ACC A
的夹角的正弦值为
❑
√
1-
(❑√3) 2
=
❑√33．
1 1
6 6
18．【详解】
p
（1）由题意|PF|=1+ =2故p=2，所以抛物线方程为x2=4 y.
2
（2）设 ， ， ，
A(x ,y ) B(x ,y ) Q(x ,y )
1 1 2 2 0 0
1 1 1 1 1
由y= x2得y'= x ，故切线QA：y- x2= x (x-x )，即y= x x- y ，
4 2 4 1 2 1 1 2 1 1
1
同理可得切线QB：y= x x- y ，
2 2 2
1 1
Q在两条切线，则¿，所以直线AB:y = x x- y，即y= x x- y ，
0 2 0 2 0 0
1 1
因y =x -4，故y= x x+4-x = x (x-2)+4，故直线AB恒过定点(2,4).
0 0 2 0 0 2 0
（法二）
当直线AB斜率存在时，设AB:y=kx+m，
联立 ，得 设 ， ， ，
¿ x2-4kx-4m=0 A(x ,y ) B(x ,y ) Q(x ,y )
1 1 2 2 0 0
， ， ，
Δ=16(k2+m)>0 x +x =4k x +x =-4m
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
由y= x2得y'= x 故切线QA:y- x2= x (x-x )，即y= x x- x2
4 2 4 1 2 1 1 2 1 4 1
1 1
同理切线QB:y= x x- x2，
2 2 4 2
联立得¿，故Q(2k,-m)，
答案第12页，共13页代入直线l:x- y-4=0得m=4-2k，
直线AB:y=kx+2-4k=k(x-2)+4，所以恒过定点(2,4)
当直线AB斜率不存在时，由对称性知Q(0,-4)，直线AB:y=4，也过定点(2,4)
综上：直线AB恒过定点(2,4).
（3）联立 ，得 ，
¿ x2-2x x+4x -16=0
0 0
由韦达定理可得x +x =2x ，x x =4x -16，
1 2 0 1 2 0
|AB|=❑ √( 1+ 1 x2)[(x +x ) 2-4x x ]=❑ √( 1+ 1 x2)[4x2-4(4x -16)]=2❑ √( 1+ 1 x2) (x2-4x +16)
4 0 1 2 1 2 4 0 0 0 4 0 0 0
|1 | |1 |
x2- y +4-x x2-2x +8
到直线的距离 2 0 0 0 2 0 0 1 |x2-4x +16|
Q d= = = 0 0
√ 1 √ 1 2 √ 1
❑1+ x2 ❑1+ x2 ❑1+ x2
4 0 4 0 4 0
S = 1 (❑√x2-4x +16) 3 = 1 (❑√(x -2) 2+12) 3
△QAB 2 0 0 2 0
当x =2时，S 最小值为12❑√3
0 △QAB
（法二）
当直线AB斜率不存在时，直线AB:y=4，|AB|=8，Q(0,-4)到直线距离为8，
1
S = ×8×8=32
△QAB 2
当直线AB斜率存在时
，
|AB|=❑√1+k2|x -x |=4❑√1+k2❑√k2+m
1 2
所以 Q(2k,-m) 到直线的距离 d= 2|k2+m| ， S= 1 |AB|d=4(❑√k2+m) 3
❑√1+k2 2
答案第13页，共13页
学科网（北京）股份有限公司，
k2+m=k2-2k+4=(k-1) 2+3
当 时， 的最小值为3，故 ，
k=1 k2+m S =12❑√3
min
所以△QAB的面积的最小值为12❑√3.
19．【详解】
x
（1）当a=1时，f (x)= +x-lnx-1，
ex
1-x 1
则f'(x)= +1- ，∴f'(1)=0.
ex x
1 1
又∵f (1)= ，∴f (x)在x=1处的切线方程为y= .
e e
xa
（2）（ⅰ）由题知，f (x)= +x-alnx-1=0在(0,+∞)上有两个根x ，x ，
ex 1 2
elnxa
∴ +x-alnx-1=0，即ealnx-x-(alnx-x)-1=0.
ex
令 ，则 .
g(t)=et-t-1 g'(t)=et-1
当 时， ， 单调递减，
t∈(-∞,0) g'(t)<0 g(t)
当 时， ， 单调递增，
t∈(0,+∞) g'(t)>0 g(t)
∴g(t) =g(0)=0，
min
所以问题转化为alnx-x=0在(0,+∞)上有两个根.
1 lnx
易知a≠0，故 = ，
a x
lnx 1-lnx
令h(x)= (x>0)，则h'(x)= .
x x2
当 时， ， 单调递增
∴ x∈(0,e) h'(x)>0 h(x)
当 时， ， 单调递减.
x∈(e,+∞) h'(x)<0 h(x)
1
又∵h(e)= ，x∈(0,1)时，h(x)<0，x∈(1,+∞)时，h(x)>0，
e
且x→+∞时，h(x)→0；x→0时，h(x)→-∞，
答案第14页，共13页1 1
∴0< < ，解得a>e，即参数a的取值范围为(e,+∞).
a e
（ⅱ）由（ⅰ）知， ，两式相减得 x
¿ aln 2=x -x
x 2 1
1
x
ln 2 ，
1 x
∴ = 1
a x -x
2 1
要证 ，
x ⋅x3≥243
1 2
即证lnx +3lnx ≥ln243=5ln3，
1 2
x
ln 2
即证 ，
x 3x 1 x
1+ 2= (x +3x )= 1 (x +3x )≥5ln3
a a a 1 2 x -x 1 2
2 1
3x
2+1
x x
即证 ，
1 ln 2≥5ln3
x x
2-1 1
x
1
令 x ，即证3t+1 在 上恒成立.
t= 2∈[3,+∞) lnt≥5ln3 [3,+∞)
x t-1
1
3t+1
令u(t)= lnt(t≥3)，
t-1
(3t+1
)
3t2-2t-1
+3lnt (t-1)-(3t+1)lnt -4lnt，
t t
∴u'(t)= =
(t-1) 2 (t-1) 2
3t2-2t-1
令v(t)= -4lnt(t≥3)，
t
1 4 (t-1)(3t-1) ，
∴v'(t)=3+ - = >0
t2 t t2
∴v(t)在[3,+∞)上单调递增，
20
∴v(t)≥v(3)= -4ln3>0，
3
答案第15页，共13页
学科网（北京）股份有限公司，则 在 上单调递增.
∴u'(t)>0 u(t) [3,+∞)
3×3+1
∴u(t)≥u(3)= ln3=5ln3，
3-1
3t+1
∴ lnt≥5ln3，得证，
t-1
.
∴x ⋅x3≥243
1 2
答案第16页，共13页
