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2024 年上海夏季高考数学（网络回忆版）
一、填空题
1．设全集U ={1,2,3,4,5}，集合A={2,4}，则 A= ．
x,x>0
2．已知 f (x)= ,则 f (3)= ．
1,x≤0
3．已知x∈R,则不等式x2−2x−3<0的解集为 ．
4．已知 f (x)=x3+a，x∈R，且 f (x)是奇函数，则a= ．
5．已知k∈R,a =(2,5),b =(6,k)，且a //b ，则k的值为 ．
6．在(x+1)n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为 ．
7．已知抛物线y2 =4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为 ．
8．某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小
申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72．现他从所有的题中
随机选一题，正确率是 ．
2
9．已知虚数z，其实部为1，且z+ =m(m∈R )，则实数m为 ．
z
10．设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大
值 ．
11．已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC =CD,存在点A满足∠BAC =16.5°,∠DAC =37°，则
∠BCA= (精确到0.1度)
12．无穷等比数列{a }满足首项a >0,q>1，记I = { x−y x,y∈[ a,a ]∪[ a ,a ]} ，若对任意正整数n集合I 是闭
n 1 n 1 2 n n+1 n
区间，则q的取值范围是 ．
二、单选题
13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）
A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势14．下列函数 f (x)的最小正周期是2π的是（ ）
A．sinx+cosx B．sinxcosx
C．sin2x+cos2x D．sin2x−cos2x
15．定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P,P,P ∈Ω，存在不全为0的实数λ,λ,λ，使得
1 2 3 1 2 3
λOP +λOP +λOP =0．已知(1,0,0)∈Ω，则(0,0,1)∉Ω的充分条件是（ ）
1 1 2 2 3 3
A．(0,0,0)∈Ω B．(−1,0,0)∈Ω
C．(0,1,0)∈Ω D．(0,0,−1)∈Ω
16．已知函数 f(x)的定义域为R，定义集合M ={ x x ∈R,x∈(−∞,x ), f (x)< f (x )} ，在使得M =[−1,1 ]的所有 f (x)
0 0 0 0
中，下列成立的是（ ）
A．存在 f (x)是偶函数 B．存在 f (x)在x=2处取最大值
C．存在 f (x)是严格增函数 D．存在 f (x)在x=−1处取到极小值
三、解答题
17．如图为正四棱锥P−ABCD,O为底面ABCD的中心．
(1)若AP=5,AD=3 2，求POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若AP= AD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．
18．若 f (x)=log x(a>0,a≠1)．
a
(1)y= f (x)过(4,2)，求 f (2x−2)< f (x)的解集；
(2)存在x使得 f (x+1)、f (ax)、f (x+2)成等差数列，求a的取值范围．
19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻
炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围学业成绩 [0,0.5) [0.5,1) [ 1,1.5) [1.5,2) [2,2.5)
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
（附：χ2 =
n(ad−bc)2
,其中n=a+b+c+d，P ( χ2 ≥3.841 ) ≈0.05．）
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
20．已知双曲线Γ:x2−
y2
=1,(b>0),左右顶点分别为A,A ，过点M(−2,0)的直线l交双曲线Γ于P,Q两点.
b2 1 2
(1)若离心率e=2时，求b的值．
2 6
(2)若b= ,△MAP为等腰三角形时，且点P在第一象限，求点P的坐标．
3 2
(3)连接OQ并延长，交双曲线Γ于点R，若AR⋅AP=1，求b的取值范围．
1 2
21．对于一个函数 f (x)和一个点M(a,b)，令s(x)=(x−a)2+(f (x)−b)2，若P ( x , f (x )) 是s(x)取到最小值的点，
0 0
则称P是M 在 f (x)的“最近点”．
1
(1)对于 f(x)= (x>0)，求证：对于点M(0,0)，存在点P，使得点P是M 在 f (x)的“最近点”；
x
(2)对于 f (x)=ex,M(1,0)，请判断是否存在一个点P，它是M 在 f (x)的“最近点”，且直线MP与y= f(x)在点P处
的切线垂直；
(3)已知y= f(x)在定义域R上存在导函数 f′(x)，且函数 g(x) 在定义域R上恒正，设点M ( t−1, f (t)−g(t)) ，
1
M ( t+1, f (t)+g(t)) ．若对任意的t∈R，存在点P同时是M ,M 在 f (x)的“最近点”，试判断 f (x)的单调性．
2 1 2
