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第五讲 容斥问题
✎代入公式：
总人数-圈外部分=总人次-重复部分
0次+1次+2次+3次=总人数
例题1（2022广东）
某单位计划从全部80名员工中挑选专项工作组成员，要求该组成员须同时有基层经历
和计算机等级证书。已知，单位内有40人有基层经历，有46人有计算机等级证书，既没有
基层经历又未获得计算机等级证书的有10人。那么能够进入工作组的员工有多少人？
A．16 B．40
C．46 D．54
【答案】A
【解析】设进入工作组人数为 x，列式：总人数-圈外部分=总人次-重复部分；
80-10=40+46-x，解得 x=16，答案为A选项。例题2（2025国考）
某研发小组员工中，60％的人参与了A项目，45％的人参与了B项目，两个项目都参与
的人比两个项目都不参与的多2人。问该研发小组有多少人？
A．100 B．50
C．40 D．20
【答案】C
【解析】设研发小组有 x 人，列式：总人数-圈外部分=总人次-重复部分；则
x-y=1.05x-y-2，解得x=40，答案为C选项。
例题3（2022天津）
某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的14%，物理及格的人数
比化学及格的人数多10人，且化学及格的人数占全班人数的60%。已知全班人数不超过70
人，问物理及格的人中化学也及格的有多少人？
A．25 B．26
C．27 D．28
【答案】C
【解析】根据整除特性，不及格占 14%，可逐项得出：全班人数 50 人，都不及格 7 人，
化学及格30人，物理及格40人。
设两科均及格人数为 x，列式：总人数-圈外部分=总人次-重复部分；则50-7=30+40-4，解
得 x=27，答案为C选项。例题4（2024深圳）
某高校法学院对学生毕业后就职于司法机关、律所、企业的意愿进行调查，共725名学
生参与调查，可选其中0至3项。结果显示，选择司法机关、律所、企业的学生分别有360
人、380人、237人，3项都选的学生有60人，3项都不选的学生有8人，则仅选择其中1
项的学生有多少人？
A．517 B．516
C．515 D．514
【答案】A
【解析】设只选一项的为 x 人，选两项的为 y 人，列式：总人数-圈外部分=总人次-重复
部分；则725-8=360+380+237-y-2×60， 解得y=140人；
根据隐藏公式：0 科+1 科+2 科+3 科=总人数，列式：8+x+140+60=725，解得 X=517，答
案为A选项。例题5（2023浙江）
某班级对70多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有12%的学生两个科目均不及格。
批注 [1]: 因为人一定要是整数，既要是70多人，还要是
已知有
2
的学生英语及格，数学及格的学生比英语多10人，那两科均及格的学生有多少人？
25的倍数，所以人数确定为是75人。
3
A．31 B．37
C．41 D．44
【答案】D
【解析】根据12%的整除特性，可依次得出：全班 75 人，英语 50 人，数学 60 人，都不
及格 9 人；
设题干所求为 x，列式：总人数-圈外部分=总人次-重复部分；则75-9=50+60-x，x=44，答
案为D选项。例题6（2012四川省考）
某次射击比赛共有52人参加，前1、2、3、4、5靶未命中的人数分别为4、6、10、20、
39。5靶中如每人至少射中1靶，只中1靶的有7人，5靶全中的有6人，中2靶的人数与
中3靶的一样多，问中4靶的有几人？
A．20 B．25
C．29 D．31
【答案】D
【解析】未命中反面即为：前 1、2、3、4、5次靶命中的是 48、46、42、32、13 人，
设命中两靶和命中三靶的为 y 人，命中4靶的为 x 人，列式：52=（5×52-79）-y-2y-3x-4
×6；7+y+y+x+6=52； 解得x=31，答案为D选项。
拓展例题：✎最值思想：
通过最大/最小解出唯一的一组解，也就是两个未知数一个不定方程求最值。
例题7（2021浙江事业单位）
学校评选优秀学生，参与评选的学生有26人，且均有相关比赛证书，部分学生拥有三
批注 [2]: 说明中间交叉部分不为零。
种比赛证书。其中，拥有数学和物理比赛证书的有 5 人，拥有物理和音乐比赛证书的有 4
人，拥有数学和音乐比赛证书的有7人。只有拥有两种及以上比赛证书的学生才有资格进入
批注 [3]: 根据题干问题，拥有2种及以上的学生要尽量多，
下一轮评选，那么至少有多少学生无法进入下一轮评选？ 只拥有一种证书的学生人数才会少。
A．12 B．13
C．14 D．15
【答案】A
【解析】设拥有3种证书的学生人数为x,则两种及以上最多有16-2x=14人进入评选，
批注 [4]: 因为要求最多的人数，所以x看作1。
解得x=1，总人数-拥有2种及以上人数=只拥有一种证书人数，则为26-14=12人，答案为
A选项。
例题8（2018浙江事业单位）某单位45名职工利用假期重读马克思主义著作，其中60%的人阅读《资本论》，阅读
批注 [5]: 则，读资本论的为27人
《共产党宣言》的人比阅读《政治经济学批判》的多5人，但少于阅读《资本论》的人。已
知所有人都阅读过这三本著作中的至少一本，最多有多少人这三本著作都阅读了？
A．12 B．13
C．14 D．15
【答案】C
【解析】根据题干则知，读资本论的人为27人；题干求的是读完三本著作的人最多是
多少，且已知信息为读共产党宣言的人要少于读资本论的人，则读共产党宣言的人为26人，
读政治的人为21人。设三本都读了的人为x，读了2本的人为y，列式：总人数-圈外部分
=总人次-重复部分；45=27+26+21-y-2x，29=y+2x，解得y=1,x=14，答案为C选项。
批注 [6]: 因为要让x尽量大，所以y要尽量小，还要保证
是整数，因为人必须是整数
例题9（2023四川事业单位）
某机关部门有65人，为加强文化建设，组织员工到电影院观看A、B、C三部电影，由
于三部电影放映时间错开，要求每个员工至少观看一部电影，有40%员工选择看电影A，有
批注 [7]: 说明没有都不。
27人选择观看电影B，有48人选择观看电影C。则选择观看三部电影的员工至多可以有多
少人？
A．16 B．17
C．18 D．19
【答案】C
【解析】已知看A的为26人，看B的为27 人，看C的为48 人，设看两部的为y人，看
三部的为x人，套公式： 65=26+27+48-y-2x，解得 2x+y=36，y要尽量小，则y为0，x=18，
答案为C选项。✎画图解决：
例题10（2023深圳）
小明对甲、乙、丙三种手机软件的安装情况进行街头调查。随机选取的一批调查对象中，
手机安装了甲、乙、丙三种软件的人数分别是40，36，35，只安装了其中一种软件的人数分
别占其中的25%、25%、20%，同时安装了甲、乙两种软件而未安装丙软件的有4人，同时安装
了甲、丙两种软件而未安装乙软件的人数比同时安装乙、丙两种软件而未安装甲软件的人数
多3人，有多少人同时安装了甲、乙、丙三种软件？
A．15 B．21
C．27 D．33
【答案】B
【解析】根据题干要求，设安装乙丙软件的为X人，安装三款软件的为y人，可画图得出
以下信息：列式：2x+y+3+7=35；x+y+4+9=36，可得出 X=21，y=2，答案为B选项。
例题11（2023国考副省）
农科院在某村287名淡水鱼养殖人员中开展防病培训和育种培训。已知参加防病培训的
养殖人员中，参加育种培训的人数比未参加的多21%；参加育种培训的养殖人员中，参加防
病培训的人数比未参加的多76人。问共有多少人未参加任何一项培训？
A．21 B．23
C．25 D．27
【答案】A
【解析】根据整除特性21%，可得出防病培训中，两种都参加的为121人，只参加防病的为
100人。列式：287-（145+121+45）=21，答案为A选项。例题12（2024国考行政执法）
某高校外国语学院中，会俄语的学生都会英语，其中一半还会法语；会英语的学生中有
一半会法语；这三种语言都会的学生有50人，只会其中两种语言的有100人，只会其中一种
语言的有150人。问会法语的学生有多少人？
A．50 B．100
C．150 D．200
【答案】D
【解析】题目已知条件梳理如下图：
题干问会法语多少人：100+50+50=200 人，答案为D选项。
小总结
