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第八讲 经济利润之函数最值、增长相关
✎函数最值：
画函数图形，图形开口向上，存在最小值；图形开口向下，存在最大值。
例题1（2022联考）
某地的一种特色纪念品在旅游旺季十分畅销，有商家发现，进价为每个40元的纪念品，
当售价定为44元时，每天可售出300个，售价每上涨1元，每天销量减少10个。现商家决
定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为多少？
A．51 B．52
C．54 D．57
【参考答案】D
【实战解析】利润=单个利润×销量，假设利润为Y,涨价X元。根据总利润=单个利润×销
量可列方程：Y=（4+X）×（300-10X）。当Y=0时，X=-4，X=30，
1 2
X =
X
1
+
2
X
2 =
3 0 −
2
4
= 1 3
时，Y取最大值，此时售价为44+13=57元。
例题2（2020江苏）
某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每
降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的
金额是多少？
A．5元 B．6元
C．7元 D．8元【参考答案】C
【实战解析】假设降价X元，利润为Y=（20-X）（120+20X），解得 X=20，X=-6,X=
1 2
2 0 −
2
6
=7 元。
例题3（2023四川事业单位）
某电脑制造厂商生产销售一批电脑。每台电脑成本价格为 4499 元，销售价格为 5699
元。某单位计划以销售原价购买20台电脑，在此基础上，若销售价格每降低100元，就多
购买2台。则该电脑制造厂商可在该笔交易中可获得的最大利润为多少元？
A．24200 B．24000
C．36000 D．31200
【参考答案】A
【实战解析】根据题意可得降价前每台电脑的利润为1200元，设利润为Y元，降
价100元降了X次，可列方程为：
Y （= 1 2 0 0 − 1 0 0 X ） （ 2 0 + 2 X ） ， X
1
= 1 2 ， X
2
= − 1 0 ， 则 X =
1 2 −
2
1 0
= 1
，此
时Y=1100×22=24200元。
例题4（2024山东）
某线上店铺将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件。店铺计划
提高售价增加利润，若每件商品售价提高1元，每天销售量就要减少10件，为保证每天至
少获利350元，问该商品售价应为多少？
A．不到13元 B．13～15元之间
C．15～17元之间 D．17元以上
【参考答案】B
【实战解析】只需把最高值算出来，获利350元一定在最值附近（一左一右），如
下图所示：
8
总利润 Y=（2+X）（100-10X），解得X1=-2,X2=10,X= =4。代入发现，获利最多360
2元，此时售价为14元，故选项范围应该包含14，定位到B选项。
例题5（2022安徽）
北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销售期间某商家发现，进
价为每个40元的“冰墩墩”，当售价定为44元时，每天可售出300个，售价每上涨1元，
每天销量减少10个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为多少？
A．51元 B．52元
C．54元 D．57元
【参考答案】D
【实战解析】利润=单个利润×销量，假设利润为Y,涨价X元。根据总利润=单个利
润×销
量可列方程：Y=（4+X）×（300-10X）。当 Y=0 时，X1=-4，X2=30，
X =
X
1
+
2
X
2 =
3 0 −
2
4
= 1 3
时，Y取最大值，此时售价为44+13=57元。
✎增长率相关：
X
R=
A
R =R +R +R R
间隔 1 2 1 2
R =R +R +R R
乘积 1 2 1 2
R −R
R = 1 2
比值 1+R
2
例题6（2023辽宁）
某高校今年共有231名本科毕业生被录取为硕士研究生。其中推荐录取人数比上年度减
1 31
少 ，而考试录取人数比上年度增加 ，总体录取人数比上年度高10%，那么，这所高校今 批注 [1]: 分数非常大，没法再约分，所以直接赋值去年考
6 150
试录取150人。
年推荐录取的研究生人数为多少？
A．40人 B．45人
C．50人 D．55人
【参考答案】C
【实战解析】本题考察倍数特性，可以利用415思想。根据题意列表如下：去年 今年
推荐 60 231-181=50
考上 150 181
直接定位到C选项。
例题7（2023黑龙江）
某口罩生产车间一月份生产口罩 100 万包，以后每个月都比前一个月按相同增长率增
长，四月份生产口罩133.1万包，这个增长率是多少？
A．10% B．8%
C．6% D．5%
【参考答案】A
【实战解析】方法一：年均增长率。
现
基
期
期
=
1 3
1
3
0
.1
0
= 1 .3 3 1 （= 1 + R ） 3
批注 [2]: 减少1/6后，今年50人，则去年就是60人
批注 [3]: 去年150份，今年增长31/150，则今年是181份，
今年总共231人，故一份就是一人。
，代入R=10%，A选项当选。
方法二：间隔增长率。
1月到4月总共涨了33.1%，设增长率为10%如下图所示：
则1到3月的增长率为10%+10%+1%=21%；1到4月的增长率为21%+10%+2.1%=33.1%，
A选项当选。
例题8（2024联考）
某商家购进一批商品，每件成本为27元，最初将商品定价为每件40元，该商家经过百
分率相等的连续两次降价后，每件商品的利润率不超过20%。问每次降价的百分率至少是多
少？
A．20% B．15%
C．10% D．5%
【参考答案】C【实战解析】根据题意可列方程：40（1-R）（1-R）=32.4，
（ 1 − R ） 2 = 3 2
4
.4
0
= 8 1 % 批注 [4]: 当利润率为20%时，定价为27（1+20%）
， =27+5.4=32.4元
则R=10%，定位到C选项。
例题9（2023上海）
某公司生产A、B两种产品，其中B是A的升级产品。经过调研，预判2022年市场对A
产品的需求比2021年下降30%（A产品的价格不变）。因此公司决定增加对B产品营销，使
批注 [5]: A产品收入=A产品销量×A产品价格；
B产品在2022年的销售收入比2021年增长70%，这样恰好使公司2022年的总销售收入比 根据乘积增长率公式，价格不变销量下降30%，则A产品
收入下降30%
2021年增长10%。则2021年B产品的销售额占总销售额的比例是多少？
批注 [6]: 注意问法，求的是基期量之比。本题转化成已知
A．40% B．50%
3R求基期量之比。
C．60% D．70%
【参考答案】A
【实战解析】已知3R求量之比，用盐水：
显然基期21年B的占比是40%，A当选。
例题10（2023深圳）
有甲、乙两种咖啡豆，按照质量比a：b相混合制成一种拼配豆，已知甲咖啡豆每公斤
60元，乙咖啡豆每公斤80元，现因产量变化，甲咖啡豆单价上涨15%，乙咖啡豆单价下降
15%，以致该拼配咖啡豆的成本上调了5%，则a∶b为多少？
批注 [7]: 甲成本=甲质量×甲单价，甲质量没有变化，甲
A．1∶1 B．5∶3 单价上涨15%，则甲成本上涨15%；
同理，乙成本下降15%
C．8∶3 D．2∶1
批注 [8]: 甲成本上涨15%；乙成本下降15%，总成本上涨
【参考答案】C
5%；
【实战解析】利用盐水思想求出变化前甲成本：变化前乙成本=2:1，如下图所示： 则用盐水求出来的量之比是甲基期成本：乙基期成本由成本=质量×单价，则
质 量 = a ： b =
成
单
本
价
=
2
6 0
：
1
8 0
= 8 : 3
。
例题11（2023山东）
某企业花费3456万元改造了一条自动化生产线，单位产品人工成本降低了50%，非人
工成本降低了10%，单日产量扩大了一倍，已知改造前的单位产品人工成本是非人工成本的
3倍，改造后每天的人工成本比非人工成本高3.6万元。问多少天后新生产线降低的成本可
与花费的改造成本相抵？
A．480 B．300
C．360 D．540
【参考答案】C
【实战解析】根据题意列表：
人工成本 非人工 产量
改造前 3X X 1
改造后 1.5X 0.9X 2
根据题意可列方程为3X-1.8X=3.6，解得X=3。
原来生产一件4X的成本，现在生产一件2.4X的成本，生产一件可以省1.6X。
现在一天能生产两件，节省2×1.6X=9.6万元。
3456÷9.6=360天，定位到C选项。
