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石家庄实验中学 2025 届高三年级第一次调研考试
数 学
命题：高三数学 考试时间：120分钟
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知平面向量 满足 ，则 （ ）
.
A 3 B. C. D. 1
4. 已知圆与直线 相切于点 ，且圆过点 ，则圆的半径是（ ）
A. B. C. 8 D. 9
5. 已知 ，且 ， ，其中 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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学科网（北京）股份有限公司6. 已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 若数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 超市举办抽奖活动．箱子里装有十张参与奖与两张 100元代金券．顾客第一次可使用5积分进行一次抽
奖，若摸中100元代金券则结束，若摸中参与奖则可将奖券放回并花费 2积分再抽一次．若紫阿姨铁了心
也要抽中100元代金券，则她所花费积分的数学期望为（ ）
A. 12 B. 15 C. 17 D. 20
二、多选题：本题共 3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数 与所用时间 （单位： ）的5组数据为：
，根据以上数据可得经验回归方程为： ，则（
）
A.
B. 回归直线 必过点
C. 加工60个零件的时间大约为
的
D. 若去掉 ，剩下4组数据 经验回归方程会有变化
10. 已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，左、右顶点分别是 ，点 是椭圆 上异
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学科网（北京）股份有限公司于 的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 存在点 满足
C. 直线 与直线 的斜率之积为
D. 若△ 的面积为 ，则点 的横坐标为
11. 已知 ， ，且 则以下正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 过椭圆 ： 右焦点 的直线 ： 交 于 、 两点， 为AB的
中点，且OP的斜率为 ，则椭圆 的标准方程为______.
13. 如图，正四面体 的体积为 ， 、 是棱 、 靠近点 的三等分点， 是棱
靠近点 的三等分点， 是棱 靠近点 的三等分点，则多面体 体积为______.
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学科网（北京）股份有限公司14. 若不等式 （ 是自然对数的底数）对任意 恒成立，则当 取最大值时，实
数 __________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
的
15. 在三角形 中，角 对边分别为 ，已知 .
（1）求角 ；
（2）若 ，设 为 的中点，且 ，求三角形 的周长.
16. 已知抛物线 的焦点为 ，设 为 上不重合的三点，且 .
（1）求 ；
（2）若 均在第一象限，且直线 的斜率为 ，求 的坐标.
17. 已知三棱锥 中，平面 平面 ， 平面 ．
（1）求证：
（2）若二面角 正弦值为 ，且 ， ，求 ．
的
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）求函数 的单调区间；
（2）证明： ；
（3）设 ，若存在实数 使得 ，求 的最大值.
19. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点．对任意的点 ，定义 ．任取点 ，
，记 ， ，若此时 成立，则称点 ， 相
关．
（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
① ， ；② ， ．
（2）给定 ， ，点集 ．
（ ）求集合 中与点 相关的点的个数；
（ ）若 ，且对于任意的 ， ，点 ， 相关，求 中元素个数的最大值．
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