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年河南省五市高三第一次联考
２０２５
数学参考答案
一 选择题；本题共 小题，每小题 分，共 分在每小题给出的四个选项中，只
． ８ ５ ４０
有一项是符合题目要求的。
题号
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答案 Ａ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ
二、选择题：本题共 小题 每小题 分 共 分．在每小题给出的选项中 有多项符合
３ ， ６ ， １８ ，
题目要求．全部选对的得 分 部分选对得部分分 有选错的得 分．
６ ， ， ０
题号
９ １０ １１
答案 ＢＤ ＡＢ ＡＢＣ
三、填空题：本题共 小题 每小题 分 共 分
３ ， ５ ， １５ ．
π
１４７ [ １ ｅ )
１２．６０ １３． １４． ｅ ，＋∞
２
四、解答题：本题共 小题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤
５ ， ７７ ． ．
解 ｂ Ａ ａ Ｂ
１５． ：（１）∵ ｓｉｎ － ３ ｃｏｓ ＝０，
由正弦定理可得 Ｂ Ａ Ａ Ｂ ． 分
ｓｉｎ ｓｉｎ － ３ｓｉｎ ｃｏｓ ＝０ …………………………………… １
Ａ Ａ Ｂ Ｂ ．
∵ ∈（０，π），ｓｉｎ ≠０，∴ ｓｉｎ － ３ｃｏｓ ＝０
Ｂ π 分
∴ ２ｓｉｎ（ － ）＝ ０ ……………………………………………………………… ４
３
Ｂ Ｂ π 分
∵ ∈（０，π），∴ ＝ ；………………………………………………………… ６
３
方法一 在 ＡＢＣ 中 由余弦定理得 ｂ２ ａ２ ｃ２ ａ ｃ Ｂ 分
（２）（ ） △ ， ＝ ＋ －２ · ·ｃｏｓ ， ……… ７
即 ａ２ ｃ２ ａｃ ａｃ ａｃ ａｃ 当且仅当 ａ ｃ 时取等号． 分
４＝ ＋ － ≥２ － ＝ ， ＝ ＝２ ………………… １０
Ｓ １ａ ｃ ＡＢＣ １ ３ ．
∴ △ ＡＢＣ＝ · ·ｓｉｎ∠ ≤ ×４× ＝ ３
２ ２ ２
即 ＡＢＣ 的面积的最大值为 ． 分
△ ３ …………………………………………… １３
ａ ｃ
方法二 由正弦定理得 ２． 分
（ ） Ａ＝ Ｃ＝ ……………………………………… ７
ｓｉｎ ｓｉｎ ３
２
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１ （ ８ ）ａ ４ ３ Ａ ｃ ４ ３ Ｃ
∴ ＝ ｓｉｎ ， ＝ ｓｉｎ
３ ３
Ａ Ｃ
则 ＡＢＣ 面积 Ｓ １ａｃ Ｂ １ ３ ４ ３ｓｉｎ ４ ３ｓｉｎ ． 分
△ ＝ ｓｉｎ ＝ × × × …………………… １０
２ ２ ２ ３ ３
é æ ö ù
２ ３ ê ê ç Ａ π÷ １ú ú ．
＝ ëｓｉｎè２ － ø＋ û≤ ３
３ ６ ２
当且仅当 Ａ Ｃ π时取等号．
＝ ＝
３
即 ＡＢＣ 的面积的最大值为 ． 分
△ ３ …………………………………………… １３
．解 ｘ １
１６ ：（１） ＝ （１＋２＋３＋４＋５＋６＋７）＝ ４，
７
ｙ １ 分
＝ （７＋９＋１０＋１２＋１６＋１９＋１１）＝ １２， ………………………………………… ２
７
７ ｘ ｙ ｘ ｙ
∑ｉ
＝１
ｉ ｉ－７ ·
３７４－７×４×１２ １９ 分
＝ ＝ ＝ ………………………………………… ４
∑ｉ ７ ｘ２ ｉ－７ ｘ２ １４０－７×４ ２ １４
＝１
ｙ ｘ １９ ４６． 分
＝ － ＝１２－ ×４＝ ……………………………………………………… ５
１４ ７
线性回归方程为 １９ｘ ４６． 分
＝ ＋ ………………………………………………… ６
１４ ７
当 ｘ 时 １９ ４６ １２２．
＝８ ， ＝ ×８＋ ＝
１４ ７ ７
即预测春节假期第 天的营业额为１２２千元． 分
８ ………………………………… ７
７
由题意可知 Ｘ 的所有可能取值为 ． 分
（２） ：１，２，３，４ …………………………… ８
Ｃ１ Ｃ３ Ｃ２ Ｃ２
Ｐ Ｘ ４ × ３ ４ Ｐ Ｘ ４ × ３ １８
（ ＝１）＝ Ｃ４ ＝ ， （ ＝２）＝ Ｃ４ ＝ ，
３５ ３５
７ ７
Ｃ３ Ｃ１ Ｃ４
Ｐ Ｘ ４ × ３ １２ Ｐ Ｘ ４ １． 分
（ ＝３）＝ Ｃ４ ＝ ， （ ＝４）＝ Ｃ４ ＝ …………………………………… １２
３５ ３５
７ ７
Ｘ 的分布列为
Ｘ
１ ２ ３ ４
Ｐ ４ １８ １２ １
３５ ３５ ３５ ３５
分
……………………………………………………………………………………… １４
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２ （ ８ ）Ｘ 的数学期望为 ＥＸ ４ １８ １２ １ １６． 分
＝１× ＋２× ＋３× ＋４× ＝ ……………………… １５
３５ ３５ ３５ ３５ ７
．解 方法一 以 Ａ 为原点 Ａ→Ｂ Ａ→Ｄ Ａ→Ｐ分别为 ｘ ｙ ｚ 轴正方向建立空间直
１７ ：（ ）（１） ， ， ， 、 、
角坐标系 则 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｐ 分
， （０，０，０）， （２，０，０）， （２，２，０）， （０，１，０）， （０，０，２） ………… ２
由 Ｅ 为线段 ＰＣ 的中点 可得 Ｅ Ｄ→Ｅ ．
， （１，１，１），∴ ＝（１，０，１）
由题意可得Ａ→Ｄ 为平面 ＰＡＢ 的一个法向量 分
＝（０，１，０） ……………………… ３
Ａ→Ｄ Ｄ→Ｅ 且 ＤＥ 平面 ＰＡＢ ＤＥ 平面 ＰＡＢ 分
∵ · ＝０×１＋１×０＋０×１＝０， ⊄ ，∴ ∥ ； …… ５
Ｄ→Ｃ Ｐ→Ｃ ．
（２） ＝（２，１，０）， ＝（２，２，－２）
{ｎＤ→Ｃ ｘ ｙ
设ｎ ｘ ｙ ｚ 为平面 ＰＣＤ 的一个法向量 则
＝２ ＋ ＝０，
＝（ ， ， ） ， ｎ Ｐ→Ｃ ｘ ｙ ｚ ，
· ＝２ ＋２ －２ ＝０
不妨设 ｘ 则ｎ 分
＝１， ＝（１，－２，－１）………………………………………………… ８
ｎ Ａ→Ｄ
设点 Ａ 到平面 ＰＣＤ 的距离为 ｄ 则 ｄ · ｜０－２＋０｜ ６ 分
， ＝ ｎ ＝ ＝ ………… １０
｜ ｜ １＋４＋１ ３
设平面 ＰＡＢ 与平面 ＰＣＤ 夹角为 θ 由题意可知 θ 为锐角
（３） ， ， ，
ｎ Ａ→Ｄ
θ · －２ ６ 分
ｃｏｓ ＝ ｎ Ａ→Ｄ ＝ ＝ …………………………………………… １４
｜ ｜×｜ ｜ ６×１ ３
æ ö２
θ ２θ çç ６÷÷ ３
ｓｉｎ ＝ １－ｃｏｓ ＝ １－ è ø ＝
３ ３
即平面 ＰＡＢ 与平面 ＰＣＤ 夹角的正弦值为 ３ 分
……………………………… １５
３
方法二 取 ＰＣ ＰＢ 的中点分别为 Ｅ Ｆ 连接 ＤＥ ＥＦ ＦＡ 分
（ ）（１） 、 、 ， 、 、 …………… １
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３ （ ８ ）ＥＦ 为 ＰＢＣ 的中位线 ＥＦ ＢＣ ＥＦ １ＢＣ．
∵ △ ，∴ ∥ ， ＝
２
ＡＢ ＡＤ ＡＢ ＢＣ ＢＣ ＡＤ ＡＤ ＢＣ ＡＤ １ＢＣ
∵ ⊥ ， ⊥ ， ＝２， ＝１，∴ ∥ ， ＝
２
ＥＦ ＡＤ ＥＦ ＡＤ
∴ ∥ ， ＝ ，
四边形 ＥＦＡＤ 为平行四边形 ＤＥ ＡＦ 分
∴ ，∴ ∥ ………………………………… ４
又 ＤＥ 面 ＰＡＢ ＡＦ 面 ＰＡＢ
⊄ ， ⊂ ，
ＤＥ 平面 ＰＡＢ 分
∴ ∥ ……………………………………………………………… ５
ＡＢ ＡＤ ＡＢ ＢＣ ＰＡ 底面 ＡＢＣＤ ＡＢ ＢＣ ＰＡ ＡＤ ．
（２）∵ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ， ＝ ＝ ＝２， ＝１
ＣＤ ＰＤ ２ ２ ＰＣ ２ ２ ２ 分
∴ ＝ ＝ ２ ＋１ ＝ ５， ＝ ２ ＋２ ＋２ ＝２ ３ …………………………… ７
设点 Ａ 到平面 ＰＣＤ 的距离为 ｄ 则由 Ｖ Ｖ 可得
， Ｐ － ＡＣＤ＝ Ａ － ＰＣＤ ：
１ １ ｄ １ １ 解得 ｄ ２ ６ 分
× ×２ ３× ２× ＝ × ×２×１×２， ： ＝ ＝ ……………………… １０
３ ２ ３ ２ ６ ３
延长 ＢＡ ＣＤ 交于点 Ｇ 连接 ＰＧ 分
（３） ， ， ………………………………………… １１
底面 ＡＢＣＤ 为直角梯形 ＢＣ ＡＤ ＡＤ 为 ＧＢＣ 的中位线．
∵ ， ＝２， ＝１，∴ △
ＡＧ ＡＢ ．又 ＰＡ 底面 ＡＢＣＤ ＰＡ ＧＰＢ 为等腰直角三角形 其中 ＧＰ
∴ ＝ ＝２ ⊥ ， ＝２，∴ △ ，
ＰＢ．
⊥
同理可证 ＧＰ ＰＣ．
： ⊥
ＢＰＣ 为平面 ＰＡＢ 与平面 ＰＣＤ 所成二面角的平面角 分
∴ ∠ ………………… １３
ＢＣ
在 ＢＰＣ 中 ＢＣ ＰＢ ＰＣ ＢＰＣ ２ ３．
Ｒｔ△ ， ＝２， ＝２ ２， ＝２ ３，∴ ｓｉｎ∠ ＝ＰＣ＝ ＝
２ ３ ３
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４ （ ８ ）即平面 ＰＡＢ 与平面 ＰＣＤ 夹角的正弦值为 ３． 分
……………………………… １５
３
．解 设 Ｐ ｘ ｙ 动点 Ｐ 满足直线 ＰＡ 和直线 ＰＢ 的斜率乘积为 ３
１８ ：（１） （ ， ）， － ，
４
ｙ ｙ
ｋ ｋ ３ 即 ３ 分
∴ ＰＡ· ＰＢ＝－ ， ｘ ·ｘ ＝－ …………………………………………… ２
４ －２ ＋２ ４
ｘ２ ｙ２
即 ｘ ．
＋ ＝１，（ ≠±２）
４ ３
ｘ２ ｙ２
曲线 Ｃ 的方程为 ｘ 或 ｙ ． 分
∴ ＋ ＝１，（ ≠±２） （ ≠０） …………………………… ５
４ ３
没有写 ｘ 或 ｙ 的扣 分
（ ≠±２ ≠０ １ ）
设点 Ｍ ｘ ｙ Ｎ ｘ ｙ
（２）（ｉ） （ １， １）、 （ ２， ２），
若 ＭＮ ｙ 轴 则 Ｎ ｘ ｙ 且 ｘ Ｍ→Ａ ｘ ｙ Ｎ→Ａ ｘ ｙ
⊥ ， （－ １， １） １≠０， ＝（２－ １ － １）， ＝（２＋ １ － １），
ｘ２ ｘ２
此时 Ｍ→Ａ Ｎ→Ａ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ３ １ ７ ４ 不合题意 分
， · ＝４－ １ ＋ １ ＝４－ １ － ＋３＝７－ ＞０， ； ……………… ６
４ ４
设直线 ＭＮ 的方程为 ｘ ｍｙ ｎ
＝ ＋ ，
{ｘ ｍｙ ｎ
联立 ＝ ＋ 可得 ｍ２ ｙ２ ｍｎｙ ｎ２
ｘ２ ｙ２ （３ ＋４） ＋６ ＋３ －１２＝０，
３ ＋４ ＝１２
Δ ｍ２ｎ２ ｍ２ ｎ２ ｍ２ ｎ２
＝３６ －１２（３ ＋４）（ －４）＝ ４８（３ ＋４－ ）＞０，
ｍｎ ｎ２
由韦达定理可得 ｙ ｙ ６ ｙ ｙ ３ －１２ 分
１ ＋ ２ ＝－ ｍ２ ， １ ２ ＝ ｍ２ ， …………………………… ８
３ ＋４ ３ ＋４
Ａ→Ｍ ｘ ｙ ｍｙ ｎ ｙ Ａ→Ｎ ｘ ｙ ｍｙ ｎ ｙ
＝（ １ －２， １）＝ （ １ ＋ －２， １）， ＝（ ２ －２， ２）＝ （ ２ ＋ －２， ２），
Ａ→Ｍ Ａ→Ｎ ｍｙ ｎ ｍｙ ｎ ｙ ｙ
∴ · ＝（ １ ＋ －２）（ ２ ＋ －２）＋ １ ２
ｍ２ ｙ ｙ ｍ ｎ ｙ ｙ ｎ ２
＝（ ＋１） １ ２ ＋ （ －２）（ １ ＋ ２）＋（ －２）
ｎ２ ｍ２ ｍ２ｎ ｎ ｎ ２ ｍ２
３（ －４）（ ＋１）－６ （ －２）＋（ －２） （３ ＋４）
＝ ｍ２ ＝０，
３ ＋４
因为直线 ＭＮ 不过点 Ａ 则 ｎ 整理可得 ｎ 解得 ｎ ２．
， ≠２， ７ －２＝０， ＝
７
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５ （ ８ ）æ ö
直线 ＭＮ 的方程为 ｘ ｍｙ ２ 直线 ＭＮ 过定点 Ｄç２ ÷． 分
∴ ＝ ＋ ，∴ è ，０ø …………… １１
７ ７
直线的方程为 ｘ ｍｙ ２ ．
（ｉｉ） － － ＝０
７
１２
点 Ａ 到直线 ＭＮ 的方程为 ｄ ７ １２ 分
∴ ＝ ＝ ， ……………………… １２
ｍ２ ｍ２
＋１ ７ ＋１
æ ｍｎ ö２ ｎ２
ＭＮ ｍ２ ｙ ｙ ２ ｙ ｙ ｍ２ ç ６ ÷ ４（３ －１２）
｜ ｜ ＝ １＋ · （ １ ＋ ２） －４ １ ２ ＝ １＋ · è－ ｍ２ ø － ｍ２
３ ＋４ ３ ＋４
ｍ２ ｍ２ ４
ｍ２ ｍ２ ｎ２ ４ ３ １＋ ）（３ ＋４－ ）
４ ３ （１＋ ）（３ ＋４－ ） ４９
＝ ｍ２ ＝ ｍ２
３ ＋４ ３ ＋４
ｍ２ ｍ２
４ ３ １＋ · ４９（３ ＋４）－４
＝ · ｍ２ ，
７ ３ ＋４
ｍ２ ｍ２
Ｓ １ ＭＮ ｄ １ ４ ３ （１＋ ）［４９（３ ＋４）－４］ １２
∴ ΔＡＭＮ＝
２
｜ ｜· ＝
２
·
７
·
３
ｍ２
＋４
·
７
ｍ２
＋１
ｍ２
２４ ３ ４９（３ ＋４）－４ 分
＝ · ｍ２ ， ………………………………………………… １５
４９ ３ ＋４
ｔ
令 ｔ ｍ２ 则 Ｓ ２４ ３ ４９ －４ ２４ ３ ４９ ４ ２４ ３
＝ ３ ＋ ４ ≥ ４， ΔＡＭＮ ＝ · ｔ ＝ ｔ －ｔ２ ＝
４９ ４９ ４９
æ ö２ ２
ç１ ４９÷ ４９
－４è ｔ － ø ＋ ，
８ １６
因为 １ １时 故当 ｔ 时 Ｓ 取最大值２４ ３ １４４． 分
０＜ ｔ ≤ ， ＝４ ， ΔＡＭＮ ×２ ３ ＝ ………… １７
４ ４９ ４９
本题中若 Ｓ Ｓ Ｓ １ ＡＤ ｙ ｙ
ΔＡＭＮ＝ ΔＡＭＤ＋ ΔＡＮＤ＝ ｜ ｜·｜ １ － ２｜
２
６ ｙ ｙ 同样给分．
＝ ·｜ １ － ２｜
７
．解 函数 ｆ ｘ ｘ ａｘ 的定义域为 ｆ ′ ｘ ｘ ａ． 分
１９ ： （ ）＝ ｅ － Ｒ， （ ）＝ ｅ － ……………………… １
当 ａ 时 ｆ ′ ｘ ｘ ａ 恒成立 ｆ ｘ 在 上单调递增
（１） ≤０ ， （ ）＝ ｅ － ＞０ ，∴ （ ） Ｒ ；
当 ａ 时 由 ｆ ′ ｘ 解得 ｘ ａ 由 ｆ ′ ｘ 解得 ｘ ａ．
＞０ ， （ ）＞０， ： ＞ｌｎ ； （ ）＜０， ： ＜ｌｎ
ｆ ｘ 在 ａ 上单调递减 ａ 上单调递增． 分
∴ （ ） （－∞，ｌｎ ） ，（ｌｎ ，＋∞） ………………… ４
综上所述 当 ａ 时 ｆ ｘ 在 上单调递增
： ≤０ ， （ ） Ｒ ；
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６ （ ８ ）当 ａ 时 ｆ ｘ 在 ａ 上单调递减 ａ 上单调递增． 分
＞０ ， （ ） （－∞，ｌｎ ） ，（ｌｎ ，＋∞） ………… ５
要使 ｆ ｘ 恒成立 只需 ｆ ｘ 恒成立．
（２） （ ）≥１ ， （ ）ｍｉｎ≥１
由 可知 当 ａ 时 ｆ ｘ 在 上单调递增 且 ｆ 当 ｘ 时 ｆ ｘ
（１） ， ≤０ ， （ ） Ｒ ， （０）＝ １，∴ ＜０ ， （ ）＜１，
不合题意 舍去．
，
当 ａ 时 ｆ ｘ 在 ａ 上单调递减 ａ 上单调递增 ｆ ｘ ｆ
＞０ ， （ ） （－∞，ｌｎ ） ，（ｌｎ ，＋∞） ，∴ （ ）ｍｉｎ ＝
ａ ａ ａ ａ
（ｌｎ ）＝ － ｌｎ ，
只需 ｆ ｘ ａ ａ ａ 即 ａ ａ ａ 在 ａ 时恒成立． 分
（ ）ｍｉｎ ＝ － ｌｎ ≥１， － ｌｎ －１≥０ ＞０ ……………… ７
记 ｇ ａ ａ ａ ａ ａ 则 ｇ′ ａ ａ ａ
（ ）＝ － ｌｎ －１， ＞０， （ ）＝ １－ｌｎ －１＝－ｌｎ
当 ａ 时 ｇ′ ａ ｇ ａ 单调递增 当 ａ 时 ｇ′ ａ ｇ ａ 单调递减
∵ ０＜ ＜１ ， （ ）＞０， （ ） ； ＞１ ， （ ）＜０， （ ） ；
ｇ ａ ｇ ｇ ａ
∴ （ ）ｍａｘ ＝ （１）＝ １－ｌｎ１－１＝０，∴ （ ）≤０
只有 ａ 符合题意．
∴ ＝１
综上所述 实数 ａ 的取值范围为 ． 分
， ｛１｝ ……………………………………… １０
由 可知 当 ａ 时 ｆ ｘ 在 上单调递增 函数 ｙ ｆ ｘ 不可能有两个零
（３） （１） ， ≤０ ， （ ） Ｒ ， ＝ （ ）
点 不合题意 舍去．
， ，
当 ａ 时 ｆ ｘ 在 ａ 上单调递减 ａ 上单调递增 且当 ｘ
＞０ ， （ ） （－∞，ｌｎ ） ，（ｌｎ ，＋∞） ， →－∞
时 ｆ ｘ 当 ｘ 时 ｆ ｘ ．
， （ ）→＋∞； →＋∞ ， （ ）→＋∞
要使函数 ｙ ｆ ｘ 有两个零点 只需 ｆ ｘ ｆ ａ ａ ａ ａ 解得 ａ ．
∴ ＝ （ ） ， （ ）ｍｉｎ ＝ （ｌｎ ）＝ － ｌｎ ＜０， ： ＞ｅ
已知 ｆ 不妨设 ｍ ｎ 则有 ｍ ａ ｎ．
（０）＝ １＞０， ＜ ， ０＜ ＜ｌｎ ＜
ｆ ′ ｘ ｘ ａ 单调递增 要证 ｆ ′ ｍｎ 只需 ｍｎ ａ．
∵ （ ）＝ ｅ － ，∴ （ ）＜０， ＜ｌｎ
ｍ ｎ
ｍｎ ＋ 只需证 ｍ ｎ ａ
∵ ＜ ， ＋ ＜２ｌｎ
２
即证 ｍ ａ ｎ
＜２ｌｎ － ，
由单调性可知 ｍ ａ ｎ ａ ｎ ａ
＜ｌｎ ＜ ，∴ ２ｌｎ － ＜ｌｎ ，
ｆ ｘ 在 ａ 上单调递减 即证 ｆ ｍ ｆ ａ ｎ 分
∵ （ ） （－∞，ｌｎ ） ， （ ）＞ （２ｌｎ － ） ………………… １３
方法一 ｆ ｍ ｆ ｎ 即证 ｆ ｎ ｆ ａ ｎ ．
：∵ （ ）＝ （ ）， （ ）－ （２ｌｎ － ）＞０
令 ｈ ｘ ｆ ｘ ｆ ａ ｘ 其中 ｘ ａ．
（ ）＝ （ ）－ （２ｌｎ － ）， ＞ｌｎ
ａ２ ａ２
ｈ′ ｘ ｆ ′ ｘ ｆ ′ ａ ｘ ｘ ａ ２ｌｎ ａ － ｘ ｘ ａ ｘ ａ
（ ）＝ （ ）＋ （２ｌｎ － ）＝ ｅ －２ ＋ｅ ＝ｅ ＋ ｘ－２ ≥２ ｅ × ｘ －２ ＝０，
ｅ ｅ
ｈ ｘ 单调递增
∴ （ ） ，
又 ｎ ａ ｈ ｎ ｈ ａ 即 ｆ ｎ ｆ ａ ｎ ．
∵ ＞ｌｎ ，∴ （ ）＞ （ｌｎ ）＝ ０， （ ）－ （２ｌｎ － ）＞０
ｍ ｎ ａ 成立．
∴ ＋ ＜２ｌｎ
ｍｎ ａ．
∴ ＜ｌｎ
ｆ ′ ｍｎ ． 分
∴ （ ）＜０ ……………………………………………………………… １７
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７ （ ８ ）方法二 ｆ ｍ 即证 ｆ ａ ｎ ．
：∵ （ ）＝ ０， （２ｌｎ － ）＜０
ａ２
而 ｆ ａ ｎ ２ｌｎ ａ － ｎ ａ ａ ｎ ａ ａ ａｎ
（２ｌｎ － ）＝ ｅ － （２ｌｎ － ）＝ ｎ－２ ｌｎ ＋ ，
ｅ
ｎ ａ２ ｎæ ö
ｎ ａｎ ａ ｅ ａ ａ ａｎ ｅ ç１ ｎ ｎ÷
∵ ｅ ＝ ，∴ ＝ ｎ，∴ ｎ－２ ｌｎ ＋ ＝ ｎ èｎ＋２ｌｎ － ø
ｅ
ｎ ａ 且 ａ ｎ ．
∵ ＞ｌｎ ＞ｅ，∴ ＞１
ｘ ２
令 ｈ ｘ １ ｘ ｘ ｘ 则 ｈ′ ｘ １ ２ （ －１）
（ ）＝ ｘ ＋２ｌｎ － （ ＞１）， （ ）＝ －ｘ２ ＋ｘ －１＝－ ｘ２ ＜０，
ｈ ｘ 在 上单调递减 ｈ ｎ ｈ
∴ （ ） （１，＋∞） ，∴ （ ）＜ （１）＝ ０，
ｎæ ö
ｅ ç１ ｎ ｎ÷ ｆ ａ ｎ 可得 ｍ ｎ ａ
∴ ｎ èｎ＋２ｌｎ － ø＜０，∴ （２ｌｎ － ）＜０， ＋ ＜２ｌｎ ，
ｍ ｎ
ｆ ｍ ａ ｎ ＋ ｍｎ 即 ｍｎ ａ
∵ （０）＝ １＞０，∴ ０＜ ＜ｌｎ ＜ ，∴ ＞ ， ＜ｌｎ ，
２
又 ｆ ｘ 在 ａ 上单调递减 ｆ ′ ｍｎ ． 分
∵ （ ） （－∞，ｌｎ ） ，∴ （ ）＜０ ……………………… １７
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８ （ ８ ）
