浙江省衢州、丽水、湖州三地市二模2025年4月高三教学质量检测数学+答案_2025年4月_250413浙江省衢州、丽水、湖州三地市二模2025年4月高三教学质量检测（全科）

(cid:16024)(cid:5140)(cid:573)(cid:1139)(cid:8810)(cid:573)(cid:9356)(cid:5140) 2025 (cid:5290) 4 (cid:7486)(cid:1087)(cid:3430)(cid:5176)(cid:20750)(cid:1087)(cid:7055)(cid:4508)(cid:17246)(cid:18437)(cid:7926)(cid:9089)(cid:16907)(cid:2477) (cid:7078)(cid:4508)(cid:16907)(cid:20174)(cid:2477) 1. 本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2. 考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3. 选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂 处用橡皮擦净. 4. 非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使 用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效. (cid:1078)(cid:573)(cid:2443)(cid:20143)(cid:17983)(cid:6431)(cid:20174)：(cid:7522)(cid:20174)(cid:1959)8(cid:4677)(cid:20174)(cid:952)(cid:8709)(cid:4677)(cid:20174)5(cid:2108)(cid:952)(cid:1959)40(cid:2108)(cid:954)(cid:3422)(cid:8709)(cid:4677)(cid:20174)(cid:13583)(cid:2096)(cid:11450)(cid:3345)(cid:1120)(cid:17983)(cid:20143)(cid:1123)(cid:952)(cid:2592) (cid:7487)(cid:1078)(cid:20143)(cid:7269)(cid:12636)(cid:2622)(cid:20174)(cid:11556)(cid:16311)(cid:8824)(cid:11450)． 1．已知集合A(cid:32){x x2 (cid:16)x(cid:16)2(cid:100)0}，B(cid:32){x y(cid:32)lnx}，则A(cid:20)B(cid:32) A．(0,2] B．(0,2) C．[(cid:16)1,2] D．(0,1] 2．已知i为虚数单位，复数z(cid:32)a2 (cid:16)4(cid:14)(a(cid:16)2)i（a(cid:143)R）是纯虚数，则a(cid:32) A．2或(cid:16)2 B．2 C．0 D．(cid:16)2 (cid:38) (cid:38) (cid:38) (cid:38) (cid:38) 3．已知向量a(cid:32)(1,1)，b(cid:32)((cid:16)1,1)，则向量a(cid:14)b在向量b上的投影向量为 A．(1,1) B．((cid:16)1,1) C．(0,1) D．(0,0) 4．若(1(cid:16)x)7 (cid:32)a (cid:14)ax(cid:14)a x2 (cid:14)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:14)a x7，则a (cid:14)a (cid:14)a (cid:32) 0 1 2 7 2 4 6 A．31 B．32 C．63 D．64 (cid:68) 5．“sin2(cid:68)(cid:31)0”是“tan (cid:33)1”的 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 6．正方体ABCD(cid:16)ABCD 中，点M,N 分别为正方形ABCD 及ABB A的中心，则异面直 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 线BD与MN 所成角的余弦值为 3 1 3 A．0 B． C． D． 4 2 2 4 7．在(cid:39)ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A,B,C成等差数列，a,c, b成等比 3 数列，则cosA(cid:32) 1 1 3 3 A． B． C． D． 4 2 3 2 高三数学试题卷 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司8．过抛物线C: y2 (cid:32)4x焦点F 的直线与抛物线交于A,B两点，过点A作C的切线l，交x轴 于点M ，过点B作直线l的平行线交x轴于点N，则 FM (cid:14)4 FN 的最小值是 A．12 B．10 C．9 D．8 (cid:1218)(cid:573)(cid:3920)(cid:20143)(cid:17983)(cid:6431)(cid:20174)：(cid:7522)(cid:20174)(cid:1959)3(cid:4677)(cid:20174)(cid:952)(cid:8709)(cid:4677)(cid:20174)6(cid:2108)(cid:952)(cid:1959)18(cid:2108)(cid:954)(cid:3422)(cid:8709)(cid:4677)(cid:20174)(cid:13583)(cid:2096)(cid:11450)(cid:3345)(cid:1120)(cid:17983)(cid:20143)(cid:1123)(cid:952)(cid:7487)(cid:3920)(cid:20143) (cid:12636)(cid:2622)(cid:20174)(cid:11556)(cid:11450)(cid:16311)(cid:8824)(cid:952)(cid:1950)(cid:18206)(cid:17983)(cid:4655)(cid:11450)(cid:5581)6(cid:2108)(cid:952)(cid:18206)(cid:2108)(cid:17983)(cid:4655)(cid:11450)(cid:5581)(cid:18206)(cid:2108)(cid:2108)(cid:952)(cid:7487)(cid:17983)(cid:19279)(cid:11450)(cid:5581)0(cid:2108)(cid:954) 9．已知函数 f(x)(cid:32)sinx(cid:14)cosx，则 (cid:83) A(cid:714) f(x)(cid:11444)(cid:7472)(cid:3927)(cid:1644)(cid:7263) 2 B(cid:714) f(x)在(0, )上单调递增 2 (cid:83) C(cid:714) f( (cid:16)x)(cid:32) f(x) D(cid:714) f(x)在[0,(cid:83)]上有两个零点 2 10．若函数 f(x)与函数g(x)的图象关于直线x(cid:16) y(cid:14)1(cid:32)0对称，则函数 f(x)的解析式可能是 ex (cid:16)e(cid:16)x A． f(x)(cid:32)3x(cid:14)2 B． f(x)(cid:32) 2 C． f(x)(cid:32)ex (cid:16)2x D． f(x)(cid:32)ln(x(cid:14) 1(cid:14)x2)(cid:16)x 11．如图，多面体PABCQ由正四面体P(cid:16)ABC和正四面体Q(cid:16)ABC 拼接而成，一只蚂蚁从 顶点P出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记n次 爬行后，该蚂蚁落在点P的概率为 p ，落在点Q的概率为q ，则 P n n 1 A． p (cid:32) B． p (cid:33)q 2 4 3 4 A C 1 C． p (cid:32)q D． p (cid:31) n n 2n(cid:14)1 6 B 第11题图 Q (cid:1087)(cid:573)(cid:3745)(cid:12464)(cid:20174)：(cid:7522)(cid:20174)(cid:1959)3(cid:4677)(cid:20174)(cid:952)(cid:8709)(cid:4677)(cid:20174)5(cid:2108)(cid:952)(cid:1959)15(cid:2108). 12．已知等差数列{a }的前n项和为S ，a (cid:32)2，a (cid:32)20，则S (cid:32) (cid:376)(cid:3)(cid:3)(cid:3)． n n 1 10 10 x2 13．已知斜率大于零的直线l交椭圆(cid:42): (cid:14) y2 (cid:32)1于A,B两点，交x,y轴分别于C,D两点， 4 且C,D是线段AB的三等分点，则直线l的斜率为 (cid:376)(cid:3)(cid:3)(cid:3)． 14．若定义在R 上的函数 f(x)满足 f(x(cid:14)1)(cid:32)1(cid:14) 2f(x)(cid:16)(cid:11)f(x)(cid:12)2 ，则 f(2025)(cid:14)2f(0)的最 大值是 (cid:376)(cid:3)(cid:3)(cid:3)． 高三数学试题卷 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司(cid:3345)(cid:18528)(cid:12430)(cid:10181)(cid:0)(cid:18454) (cid:7055)(cid:0)(cid:3513) 5(cid:4677)(cid:20174)(cid:952)(cid:1959)77(cid:2108)(cid:954)(cid:16409)(cid:12682)(cid:5322)(cid:1999)(cid:2096)(cid:7101)(cid:4493)(cid:16938)(cid:7236)(cid:18528)(cid:0)(cid:6850)(cid:0)(cid:9964)(cid:6216)(cid:8327)(cid:10220)(cid:7753)(cid:0) (cid:954) 15．（本题满分13分） 如图，在直角梯形ABCD中，AD(cid:0)BC，AB(cid:65) AD，BD(cid:65)DC．将(cid:3290)ABD沿BD折 起，使AB(cid:65) AC，连接AC，得到三棱锥A(cid:16)BCD． （1）求证：CD(cid:65)平面ABD； （2）点E是BC的中点,连接AE、DE，若AB(cid:32) AD(cid:32) 2， （i）求二面角B(cid:16)AD(cid:16)E的正切值；（ii）求三棱锥A(cid:16)BCD的外接球体积． A A D D B E C B E C 第15题图 16．（本题满分15分） 某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在A,B两点进行投篮，共投两 次.第一次投篮点可在A,B两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中， 则第二次切换投篮点.在A点投中得2分，在B点投中得3分，未投中均得0分，各次投中 与否相互独立. （1）在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下2(cid:117)2列联表： 得分(cid:116)3分 得分(cid:31)3分 合计 先在A点投篮 20 5 25 先在B点投篮 10 15 25 合计 30 20 50 是否有99%的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？ （2）小明在A点投中的概率为0.7，在B点投中的概率为0.3. （i）求小明第一次投中的概率； （ii）记小明投篮总得分为X ，求X 的分布列及数学期望. n(ad (cid:16)bc)2 参考公式：(cid:70)2 (cid:32) (a(cid:14)b)(c(cid:14)d)(a(cid:14)c)(b(cid:14)d) (cid:68) 0.1 0.05 0.01 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 (cid:68) 高三数学试题卷 第3页 共4页 学科网（北京）股份有限公司17．（本题满分15分） x2 y2 已知双曲线E: (cid:16) (cid:32)1（a(cid:33)0,b(cid:33)0）的左，右焦点分别为F,F ，且 FF (cid:32)2 2， a2 b2 1 2 1 2 圆(x(cid:16) 2)2 (cid:14) y2 (cid:32)1与E的渐近线相切. （1）求双曲线E的标准方程； (cid:41)(cid:41)(cid:41)(cid:41)(cid:38) (cid:41)(cid:41)(cid:41)(cid:38) 4 （2）若E上两点A,B满足F B(cid:32)(cid:79)FA（(cid:79)(cid:33)1），且四边形AFF B的面积为 7，求(cid:79) 2 1 1 2 3 的值. 18．（本题满分17分） 已知函数 f(x)(cid:32)ex(cid:14)a（a(cid:143)R），O为坐标原点. （1）当a(cid:32)1时， （i）求曲线y(cid:32) f(x)在点((cid:16)1, f((cid:16)1))处的切线方程； （ii）若点P是函数 f(x)图象上一点，求 OP 的最小值； （2）若函数 f(x)图象上存在不同两点A,B满足 OA (cid:32) OB (cid:32) 1(cid:14) a ，求a的取值范围. 19．（本题满分17分） 对于给定的n项整数数列A ：a,a ,(cid:152)(cid:152)(cid:152),a （n(cid:116)3），定义变换H(i)：①若i(cid:32)1，则a 加 n 1 2 n 1 2，a ,a 均加1，其余项不变；②若1(cid:31)i(cid:31)n，则a 加2，a ,a 均加1，其余项不变； n 2 i i(cid:16)1 i(cid:14)1 ③若i(cid:32)n，则a 加2，a ,a 均加1，其余项不变.例如，对数列：(cid:16)1,0,1做变换H(1)得到1,1,2， n n(cid:16)1 1 即(cid:16)1,0,1(cid:127)变(cid:127)换(cid:127)H(1)(cid:127)(cid:111)1,1,2；而对数列：2,5,7,3先后做变换H(3)，H(4)可得到3,6,10,6，即 2,5,7,3(cid:127)变(cid:127)换(cid:127)H(3)(cid:127)(cid:111)2,6,9,4(cid:127)变(cid:127)换(cid:127)H(4)(cid:127)(cid:111)3,6,10,6. （1）找出一系列变换，使得数列：1,2,3经过这系列变换后成为常数列； （2）是否能找出一系列变换，使得数列：(cid:16)1,(cid:16)1,0,2,2经过这系列变换后成为常数列， 若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当n为奇数时， 对于任意数列A ，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列（无须证明）. n （3）当n为偶数且数列A 是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数 n 列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由. 高三数学试题卷 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司(cid:16024)(cid:5140)(cid:573)(cid:1139)(cid:8810)(cid:573)(cid:9356)(cid:5140) 2025 (cid:5290) 4 (cid:7486)(cid:1087)(cid:3430)(cid:5176)(cid:20750)(cid:1087)(cid:7055)(cid:4508)(cid:17246)(cid:18437)(cid:7926)(cid:9089)(cid:16907)(cid:2477) (cid:7078)(cid:4508)(cid:2552)(cid:13881)(cid:12682)(cid:7806) (cid:1078)(cid:573)(cid:17983)(cid:6431)(cid:20174)(cid:966)(cid:7522)(cid:20174)(cid:1959)8(cid:4677)(cid:20174)(cid:952)(cid:8709)(cid:4677)(cid:20174)5(cid:2108)(cid:952)(cid:1959)40(cid:2108).(cid:3422)(cid:8709)(cid:4677)(cid:20174)(cid:13583)(cid:2096)(cid:11450)(cid:3345)(cid:1120)(cid:17983)(cid:20143)(cid:1123)(cid:952)(cid:2592)(cid:7487)(cid:1078)(cid:20143) (cid:7269)(cid:12636)(cid:2622)(cid:20174)(cid:11556)(cid:16311)(cid:8824)(cid:11450). 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C B C D C (cid:1218)(cid:573)(cid:17983)(cid:6431)(cid:20174)(cid:966)(cid:7522)(cid:20174)(cid:1959)3(cid:4677)(cid:20174)(cid:952)(cid:8709)(cid:4677)(cid:20174)6(cid:2108)(cid:952)(cid:1959)18(cid:2108).(cid:3422)(cid:8709)(cid:4677)(cid:20174)(cid:13583)(cid:2096)(cid:11450)(cid:17983)(cid:20143)(cid:1123)(cid:952)(cid:7487)(cid:3920)(cid:20143)(cid:12636)(cid:2622)(cid:20174) (cid:11556)(cid:16311)(cid:8824).(cid:1950)(cid:18206)(cid:17983)(cid:4655)(cid:11450)(cid:5581)6(cid:2108)(cid:952)(cid:18206)(cid:2108)(cid:17983)(cid:4655)(cid:11450)(cid:5581)(cid:18206)(cid:2108)(cid:2108)(cid:952)(cid:7487)(cid:17983)(cid:19279)(cid:11450)(cid:5581)0(cid:2108). 题号 9 10 11 答案 AC ABD ACD 11.解析：设记n次爬行后，该蚂蚁落在点A或B或C的概率为r ， n (cid:173) 1 p (cid:32) r (cid:176) n(cid:14)1 4 n (cid:176) (cid:176) 1 1 1 1 则(cid:174)r (cid:32) p (cid:14) r (cid:14)q ，其中 p (cid:32)0,r (cid:32)1,q (cid:32)0，计算易得 p (cid:32) ,r (cid:32) ,q (cid:32) ， n(cid:14)1 n 2 n n 1 1 1 2 4 2 2 2 4 (cid:176) (cid:176) 1 q (cid:32) r (cid:176) (cid:175) n(cid:14)1 4 n 1 3 1 3 1 1 p (cid:32) ,r (cid:32) ,q (cid:32) ，q (cid:32) ，故A、C正确，B错误.由原方程组可得r (cid:32) r (cid:14) r ， 3 8 3 4 3 8 4 16 n(cid:14)2 2 n(cid:14)1 2 n 1 1 1 1 则r (cid:14) r (cid:32)r (cid:14) r ，所以{r (cid:14) r }为常数列，且r (cid:14) r (cid:32)1(cid:17439). n(cid:14)2 2 n(cid:14)1 n(cid:14)1 2 n n(cid:14)1 2 n n(cid:14)1 2 n 1 1 1 同理r (cid:16)r (cid:32)(cid:16) (r (cid:16)r )，且r (cid:16)r (cid:32)(cid:16) ，所以r (cid:16)r (cid:32)((cid:16) )n(cid:17440)， n(cid:14)2 n(cid:14)1 2 n(cid:14)1 n 2 1 2 n(cid:14)1 n 2 2 2 1 1 1 1 1 1 由(cid:17439)(cid:17440)可知，r = (cid:16) ((cid:16) )n，所以 p (cid:32) r (cid:32) (cid:16) (cid:152) (cid:31) ，故D正确， n 3 3 2 2n(cid:14)1 4 2n 6 6 4n 6 综上所述，选ACD. (cid:1087)(cid:573)(cid:3745)(cid:12464)(cid:20174)(cid:966)(cid:7522)(cid:20174)(cid:1959)3(cid:4677)(cid:20174)(cid:952)(cid:8709)(cid:4677)(cid:20174)5(cid:2108)(cid:952)(cid:1959)15(cid:2108)(cid:954) 1 12. 110 13. 14. 3(cid:14) 5 2 14(cid:16403)(cid:7616)(cid:726)(cid:11105)(cid:5154)(cid:11797)(cid:2591)(cid:5575)1(cid:100) f(x)(cid:100)2(cid:712)[f(x(cid:14)1)(cid:16)1]2 (cid:14)[f(x)(cid:16)1]2 (cid:32)1(cid:712)(cid:2121) [f(x(cid:14)2)(cid:16)1]2 (cid:14)[f(x(cid:14)1)(cid:16)1]2 (cid:32)1(cid:712)(cid:6256)(cid:1301)[f(x(cid:14)2)(cid:16)1]2 (cid:32)[f(x)(cid:16)1]2(cid:712)(cid:2467) f(x(cid:14)2)(cid:16)1(cid:32) f(x)(cid:16)1(cid:712) (cid:7029)2(cid:1130)(cid:2093)(cid:7072) f(x)(cid:11444)(cid:1072)(cid:1114)(cid:2712)(cid:7503)(cid:712)(cid:3344)(cid:8596) f(2025)(cid:32) f(1).(cid:13875)(cid:15489)(cid:2144)[f(0)(cid:16)1]2 (cid:14)[f(1)(cid:16)1]2 (cid:32)1(cid:712)(cid:16878) (cid:83) f(0)(cid:16)1(cid:32)cos(cid:84), f(1)(cid:16)1(cid:32)sin(cid:84),(cid:712)(cid:84)(cid:143)[0， ](cid:712)(cid:2121) 2 f(2025)(cid:14)2f(0)(cid:32)3(cid:14) 5sin((cid:84)(cid:14)(cid:77)),tan(cid:77)(cid:32)2(cid:712)(cid:7029) f(1)(cid:14)2f(0)(cid:7472)(cid:3927)(cid:1644)(cid:1130)3(cid:14) 5. 学科网（北京）股份有限公司(cid:3345)(cid:573)(cid:16409)(cid:12682)(cid:20174)(cid:966)(cid:7522)(cid:20174)(cid:1959)5(cid:4677)(cid:20174)(cid:952)(cid:1959)77(cid:2108)(cid:954)(cid:16409)(cid:12682)(cid:5322)(cid:1999)(cid:2096)(cid:7101)(cid:4493)(cid:16938)(cid:7236)(cid:573)(cid:16887)(cid:7236)(cid:17917)(cid:12353)(cid:6220)(cid:9546)(cid:12749)(cid:8603)(cid:20698)(cid:954) 15.（1）因为AB(cid:65) AC，AB(cid:65) AD，AD(cid:20)AC (cid:32) A，所以AB(cid:65)平面ACD 又CD(cid:141)平面ACD，所以AB(cid:65) CD………………………………………………3分 又因为BD(cid:65) CD，BD(cid:20)AB(cid:32) B，所以CD(cid:65)平面ABD.………………………5分 （i）解法一：以D为坐标原点，以DB，DC，Dz所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图 所示的空间直角坐标系D(cid:16)xyz，则A(1,0,1)，E(1,1,0)，所以DA(cid:32)(1,0,1)， (cid:38) DE (cid:32)(1,1,0)，设平面ADE的一个法向量为n(cid:32)(cid:11)x,y,z(cid:12)，则 (cid:41)(cid:41)(cid:41)(cid:42) (cid:42) (cid:173)n(cid:152)DA(cid:32) x(cid:14)z (cid:32)0 (cid:38) (cid:174)(cid:42) (cid:41)(cid:41)(cid:41)(cid:42) ，取x(cid:32)1，则n(cid:32)(cid:11)1,(cid:16)1,(cid:16)1(cid:12) .………………………7分 (cid:175)n(cid:152)DE (cid:32) x(cid:14) y (cid:32)0 (cid:38) (cid:41)(cid:38) (cid:41)(cid:38) (cid:38) (cid:41)(cid:38) n(cid:152)m 3 由（1）可知，平面ABD的一个法向量为m(cid:32)(cid:11)0,1,0(cid:12)，所以 cos n,m |(cid:32) (cid:38) (cid:41)(cid:38) (cid:32)(cid:16) . n m 3 3 由图可知二面角B(cid:16)AD(cid:16)E平面角是锐角，记为(cid:84)，则cos(cid:84)(cid:32) ，所以tan(cid:84)(cid:32) 2 ，故 3 二面角B(cid:16)AD(cid:16)E的正切值为 2 ………………………………………………………10分 解法二：如图，取AD中点H，BD中点I，连接IE，IH，则IH (cid:65) AD，IE//DC.由（i） 易得IE (cid:65)平面ABD，则IE (cid:65) AD，又IE(cid:20)IH (cid:32) I ，所以AD(cid:65)平面IHE，所以 AD(cid:65) HE.由二面角定义可知(cid:145)IHE即二面角B(cid:16)AD(cid:16)E的平面角………………7分 2 在直角三角形IHE中，|IH |(cid:32) ,|IE|(cid:32)1,所以tan(cid:145)IHE (cid:32) 2， 2 所以二面角B(cid:16)AD(cid:16)E的正切值为 2 …………………………10分 (cid:83) （ii）因为(cid:145)BAC (cid:32)(cid:145)BDC (cid:32) ，所以E为三棱锥A(cid:16)BCD的外接球的球心，且球半径为 2 8 2 2 ，故三棱锥A(cid:16)BCD的外接球体积为 (cid:83)……………………………………13分 3 16.（1）零假设为 H ：得分与第一投篮点选择独立，即得分无差异 0 学科网（北京）股份有限公司50(300(cid:16)50)2 25 (cid:70)2 (cid:32) (cid:32) (cid:33)6.635…………………………………………4分 25(cid:152)25(cid:152)30(cid:152)20 3 根据小概率值(cid:68)(cid:32)0.01的独立性检验，我们推断H 不成立，因此认为得分与第一投篮点选 0 择有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01……………………………………………5分 （2）设第1次选择在点A投篮记为事件A，在点B投篮记为事件B，投中记为事件E，则 1 1 P(A)(cid:32) ，P(B)(cid:32) ,P(E A)(cid:32)0.7,P(E B)(cid:32)0.3. 2 2 1 （i）P(E)=P(EA(cid:14)EB)(cid:32)P(A)(cid:152)P(E A)(cid:14)P(B)(cid:152)P(E B)(cid:32) 2 所以小明第一次投篮命中的概率为0.5.…………………………………………………9分 （ii）小明投篮总得分X 可取0，2，3，4，6，则 21 7 3 49 9 P(X (cid:32)0)(cid:32) ，P(X (cid:32)2)(cid:32) ，P(X (cid:32)3)(cid:32) ，P(X (cid:32)4)(cid:32) ，P(X (cid:32)6)(cid:32) . 100 20 20 200 200 (cid:1525)X的分布列为 X 0 2 3 4 6 21 7 3 49 9 P 100 20 20 200 200 21 7 3 49 9 12 (cid:17224)E(X)(cid:32)0(cid:117) (cid:14)2(cid:117) (cid:14)3(cid:117) (cid:14)4(cid:117) (cid:14)6(cid:117) (cid:32) ……………………15分 100 20 20 200 200 5 bc 17.（1）易知c(cid:32) 2，(cid:17225)双曲线的渐近线为ay(cid:114)bx(cid:32)0，(cid:17224)| |(cid:32)1，解得b(cid:32)1， a2 (cid:14)b2 所以a(cid:32)1，得曲线方程为：x2 (cid:16) y2 (cid:32)1.………………………………………………6分 （2）由FA,F B同向可知，直线FA、F B与E均有两个交点.设直线FA: x(cid:32)ty(cid:16) 2， 1 2 1 2 1 它与E的另一个交点记为C.由双曲线的对称性可知，|FC|(cid:32)|F B|，故三角形AF B面积等 1 2 2 于三角形CFF 面积，所以四边形AFF B面积等于三角形ACF 面积.设A(x ,y ),C(x ,y )， 1 2 1 2 2 1 1 2 2 (cid:173) (cid:176)x(cid:32)ty(cid:16) 2 联立方程：(cid:174) (cid:159)(t2 (cid:16)1)y2 (cid:16)2 2ty(cid:14)1(cid:32)0，得(cid:39)(cid:32)4(t2 (cid:14)1)(cid:33)0 (cid:176) (cid:175)x2 (cid:16) y2 (cid:32)1 2 2t 1 y (cid:14) y (cid:32) ,y y (cid:32) ………………………………………………………8分 1 2 t2 (cid:16)1 1 2 t2 (cid:16)1 1 2 2 t2 (cid:14)1 4 7 三角形ACF 面积S (cid:32) (cid:152)2 2(cid:152)| y (cid:16) y |(cid:32) 2 (y (cid:14) y )2 (cid:16)4y y (cid:32) (cid:32) 2 2 1 2 1 2 1 2 |t2 (cid:16)1| 3 5 1 整理得14t4 (cid:16)37t2 (cid:14)5(cid:32)0，解得t2 (cid:32) 或t2 (cid:32) ………………………………12分 2 7 5 1 经检验t2 (cid:32) (cid:33)1时，FA,F B反向，故舍去；当t2 (cid:32) FA,F B同向，符合题意，此时 2 1 2 7 1 2 学科网（北京）股份有限公司14 14 14 14 |FC| |F B| 原方程解为(cid:16) ， 或 ，(cid:16) ，故(cid:79)(cid:32) 1 (cid:32) 2 (cid:32)3.……………15分 2 6 2 6 |AF | |AF | 1 1 18.（1）当a (cid:32)1， f(x)(cid:32)ex(cid:14)1， （i）因为 f(cid:99)(x)(cid:32)ex(cid:14)1，则 f(cid:99)((cid:16)1)(cid:32)1，故切线方程为y(cid:16)x(cid:16)2(cid:32)0………………3分 （ii）|OP|(cid:32) x2 (cid:14)e2x(cid:14)2(x(cid:143)R)，记g(x)(cid:32) x2 (cid:14)e2x(cid:14)2 ……………………………5分 则g(cid:99)(x)(cid:32)2(x(cid:14)e2x(cid:14)2)，易知g(cid:99)(x)(cid:32)2(x(cid:14)e2x(cid:14)2)是关于x的增函数且g(cid:99)((cid:16)1)(cid:32)0……8分 所以当x(cid:143)((cid:16)(cid:102),(cid:16)1),g(cid:99)(x)(cid:31)0,g(x)单调递减；当x(cid:143)((cid:16)1，(cid:14)(cid:102)),g(cid:99)(x)(cid:33)0,g(x)单调递增， 故g(x)最小值为g((cid:16)1)(cid:32)2，得 OP 的最小值 2.……………………………………9分 （2）记h(x)(cid:32) x2 (cid:14)e2x(cid:14)2a,x(cid:143)R ，则h(cid:99)(x)(cid:32)2(x(cid:14)e2x(cid:14)2a)，易知h(cid:99)(x)是关于x的增函数 ln((cid:16)x ) 且存在负实数x 使得h(cid:99)(x )(cid:32)0，即a(cid:32) 0 (cid:16)x .………………………………11分 0 0 2 0 所以当x(cid:143)((cid:16)(cid:102),x ),h(cid:99)(x)(cid:31)0,h(x)单调递减，当x(cid:143)(x，(cid:14)(cid:102)),h(cid:99)(x)(cid:33)0,h(x)单调递增， 0 0 故h(x)最小值为h(x )，注意到，h((cid:14)(cid:102))(cid:111)(cid:14)(cid:102)，且h((cid:16)(cid:102))(cid:111)(cid:14)(cid:102)，为使h(x)(cid:32)1(cid:14) a 有两个 0 不等实数解，则有h(x )(cid:31)1(cid:14)|a|.…………………………………………………………12分 0 ln((cid:16)x ) ln((cid:16)x ) 即x2 (cid:14)e2x0(cid:14)2a (cid:31)1(cid:14) 0 (cid:16)x (cid:156) x2 (cid:16)x (cid:31)1(cid:14) 0 (cid:16)x . 0 2 0 0 0 2 0 ln((cid:16)x) 1 1 考虑到函数 p(x)(cid:32) (cid:16)x是关于x的减函数，且 p((cid:16) )(cid:33)0，p((cid:16) )(cid:31)0，故该函数存在 2 2 e2 1 1 唯一零点(cid:68)满足(cid:68)(cid:143)((cid:16) ,(cid:16) )，（此处只需给出 p(x)零点(cid:68)的一个合理估计即可.） 2 e2 ln((cid:16)x ) (cid:17439)若a(cid:31)0，即 0 (cid:16)x (cid:31)0，则(cid:68)(cid:31)x (cid:31)0. 2 0 0 ln((cid:16)x ) ln((cid:16)x) 由h(x )(cid:31)1(cid:14)|a|化简得x2 (cid:16)2x (cid:14) 0 (cid:16)1(cid:100)0，记F(x)(cid:32)x2 (cid:16)2x(cid:14) (cid:16)1，注意到 0 0 0 2 2 1 1 ln2 F(x)在区间((cid:16)(cid:102),0)的减函数，所以F(x )(cid:31)F((cid:68))(cid:31)F((cid:16) )(cid:32) (cid:16) (cid:31)0， 0 2 4 2 故(cid:68)(cid:31) x(cid:31)0时，h(x )(cid:31)1(cid:14)|a|恒成立，即a(cid:31)0满足.…………………………………14分 0 （几何法：由a(cid:31)0时， f(x)经过点(0,ea)，且0(cid:31)ea (cid:31)1，而A,B两点在以原点为圆心， 1(cid:14)|a|为半径的圆上，且 1(cid:14)|a| (cid:33)1，因此点(0,ea)在圆x2 (cid:14) y2 (cid:32)1(cid:14) a 内，结合 f(x)图 学科网（北京）股份有限公司像，知函数 f(x)图象与圆x2 (cid:14) y2 (cid:32)1(cid:14) a 的图象必有两个不同交点，故a(cid:31)0满足）…14分 ln((cid:16)x ) ln((cid:16)x ) (cid:17440)若a(cid:116)0，即 0 (cid:16)x (cid:116)0，则x (cid:100)(cid:68).由h(x )(cid:31)1(cid:14)|a|化简得x2(cid:16) 0 (cid:16)1(cid:31)0，记 2 0 0 0 0 2 ln((cid:16)x) 4x2 (cid:16)1 1 k(x)(cid:32) x2 (cid:16) (cid:16)1(x(cid:31)0)，则k(cid:99)(x)(cid:32) ，所以k(x)在区间((cid:16)(cid:102),(cid:16) )单调递减， 2 2x 2 1 ln((cid:16)(cid:68)) 在区间((cid:16) ，(cid:68))单调递增且k((cid:16)1)(cid:32)0，k((cid:68))(cid:32)(cid:68)2 (cid:16) (cid:16)1(cid:32)(cid:68)2 (cid:16)(cid:68)(cid:16)1(cid:31)0，故由 2 2 ln((cid:16)x ) ln((cid:16)x ) x2 (cid:16) 0 (cid:16)1(cid:31)0解得(cid:16)1(cid:31)x (cid:100)(cid:68)，而a(cid:32) 0 (cid:16)x ，故a(cid:143)[0,1)满足. 0 2 0 2 0 综上所述a(cid:31)1.……………………………………………………………………………17分 19.（1）1，2，3(cid:127)变(cid:127)换(cid:127)H(1)(cid:127)(cid:111)3,3,4(cid:127)变(cid:127)换(cid:127)H(2(cid:127))(cid:111)4,5,5(cid:127)变(cid:127)换(cid:127)H(1)(cid:127)(cid:111)6,6,6 此处H(1),H(1),H(2)三个变换顺序可调换，也可得到其他全相等的数.………………5分 （2）存在，(cid:16)1,(cid:16)1,0,2,2(cid:127)变(cid:127)换(cid:127)H(1)(cid:127)(cid:111)1,0,0,2,3(cid:127)变(cid:127)换(cid:127)H(2(cid:127))(cid:111)2,2,1,2,3(cid:127)变(cid:127)换(cid:127)H(3(cid:127))(cid:111)2,3,3,3,3 (cid:127)变(cid:127)换(cid:127)H(1)(cid:127)(cid:111)4,4,3,3,4(cid:127)变(cid:127)换(cid:127)H(1)(cid:127)(cid:111)6,5,3,3,5(cid:127)变(cid:127)换(cid:127)H(4(cid:127))(cid:111)6,5,4,5,6(cid:127)变(cid:127)换(cid:127)H(3(cid:127))(cid:111)6,6,6,6,6, 上述变换的顺序可以调换，也可以得到其他全相等的数，酌情给分.……………………10分 结合上述情况，推断当n为奇数时，对于任意数列A ，总存在一系列变换能使该数列 n 成为常数列.（判断结论正确即可给分，无须证明）………………………………………12分 （3）不存在，理由如下： 假设存在m次变换，能使得a,a ,(cid:152)(cid:152)(cid:152),a 经过这m次变换后， 1 2 n 成为常数列b,b ,(cid:152)(cid:152)(cid:152),b ，其中b (cid:32)b (cid:32)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:32)b . 1 2 n 1 2 n 注意到每作一次变换H(i)，均能使奇数项的和a (cid:14)a (cid:14)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:14)a 增加2， 1 3 n(cid:16)1 偶数项的和a (cid:14)a (cid:14)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:14)a 增加2，………………………………………………………14分 2 4 n (cid:173)b (cid:14)b (cid:14)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:14)b (cid:32)a (cid:14)a (cid:14)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:14)a (cid:14)2m 因此m次变换后有(cid:174) 1 3 n(cid:16)1 1 3 n(cid:16)1 ， (cid:175) b (cid:14)b (cid:14)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:14)b (cid:32)a (cid:14)a (cid:14)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:14)a (cid:14)2m 2 4 n 2 4 n 由b (cid:32)b (cid:32)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:32)b 知b (cid:14)b (cid:14)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:14)b (cid:32)b (cid:14)b (cid:14)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:14)b ， 1 2 n 1 3 n(cid:16)1 2 4 n 所以a (cid:14)a (cid:14)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:14)a (cid:32)a (cid:14)a (cid:14)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:14)a ，（*）……………………………………………16分 1 3 n(cid:16)1 2 4 n 而{a }为递增数列，故a (cid:31)a ，a (cid:31)a ，…a (cid:31)a ， n 1 2 3 4 n(cid:16)1 n 学科网（北京）股份有限公司从而得a (cid:14)a (cid:14)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:14)a (cid:31)a (cid:14)a (cid:14)(cid:152)(cid:152)(cid:152)(cid:14)a ，这与（*）矛盾，因此假设不成立，即不存在这 1 3 n(cid:16)1 2 4 n 样的系列变换使得该数列成为常数列.……………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司