湖北省部分高中协作体2025—2026学年上学期9月联考
高三数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上
的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 1
1.“0<a<b”是“a- <b- ”的( )
a b
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若f(x)=sin( π)+1,则函数y=|f(x)|-1的零点为( )
2x+
6
π kπ π
A.kπ- (k∈Z) B. - (k∈Z)
6 2 6
π kπ π
C.kπ- (k∈Z) D. - (k∈Z)
12 2 12
3.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥中与平面α平行的棱有( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
4.某小区对小区内的2 000名居民进行走访调查,各年龄段男、女居民人数如下表。已知在小区的居民中随
机抽取1人,抽到20岁~50岁女居民的概率是0.19。现用分层随机抽样的方法在全小区抽取200名居民,则
应在50岁以上的居民中抽取的女居民人数为( )
1岁~20岁 20岁~50岁 50岁以上
女居民 370 X Y
男居民 380 370 250
A.75 B.50
C.25 D.20
5.有一根蜡烛点燃6 min后,蜡烛长为17.4 cm,点燃21 min后,蜡烛长为8.4 cm。已知蜡烛长度l(cm)与燃
烧时间t(min)之间的关系可以用直线方程表示,则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时( )
A.25 min B.35 min
C.40 min D.45 minx2 y2
6.已知点P(x,y)是椭圆 + =1上任意一点,则点P到直线l:y=x+5的最大距离为( )
9 4
5√2+√26 5√2-√26
A. B.
2 2
C.5√2+√26 D.5√2-√26
7.在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取该数列的项:第一次取1;第二次取2个连续的偶数2,4;第三
次取 3 个连续的奇数 5,7,9;第四次取 4 个连续的偶数 10,12,14,16;第五次取 5 个连续的奇数
17,19,21,23,25。按此规律取下去,得到一个数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,…,则这个数列中的第
2 025个数是( )
A.3 980 B.3 982
C.3 984 D.3 986
8.如图所示,某景观湖内有四个人工小岛,为方便游客登岛观赏美景,现计划设计三座景观桥连通四个小岛,
每座桥只能连通两个小岛,且每个小岛最多有两座桥连接,则设计方案的种数最多是( )
A.8 B.12
C.16 D.24
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要
求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
1
9.在平面四边形ABCD中,|⃗AB|=|⃗BC|=|⃗CD|=⃗DA·⃗DC=1,⃗BA·⃗BC= ,则( )
2
A.|⃗AC|=1 B.|⃗CA+⃗CD|=|⃗CA-⃗CD|
2+√3
C.⃗AD=√2⃗BC D.⃗BD·⃗CD=
2
10.函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则以下命题错误的是( )
A.-3是函数y=f(x)的极值点
B.-1是函数y=f(x)的最小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增
D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零
11.自然环境中,大气压强受到各种因素的影响。如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变,都将导致大气
压强发生相应的变化,其中以海拔的影响最为显著,如图是根据一组观测数据得到的海拔6 km~15 km的大气
压强散点图,根据一元线性回归模型得到经验回归方程为 =-4.0x+68.5,决定系数 =0.99;根据非线性回
^y R2
1 1归模型得到非线性经验回归方程为 =132.9e-0.163x,决定系数 =0.99,则下列说法正确的是( )
^y R2
2 2
A.由散点图可知,大气压强与海拔负相关
B.由方程^y =-4.0x+68.5可知,海拔每升高1 km,大气压强必定降低4.0 kPa
1
C.由方程^y =-4.0x+68.5可知,样本点(11,22.6)的残差为-1.9
1
D.对比两个回归模型,结合实际情况,方程^y =132.9e-0.163x的预报效果更好
2
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y的值为 。
a+i
13.已知复数z= ,a∈R。若z为纯虚数,则a= 。
1-i
14.名参加交流会,在已选出的2名中有1名是男生的条件下,另1名是女生的概率为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
a+b sin C+sin B
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设 = 。
c-b sin A
(1)求C;
(2)若(√3+1)a+2b=√6c,求A。
16.（本小题满分15分）
已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C。
(1)求角C的大小;
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且⃗CA·(⃗AB-⃗AC)=18,求c。
17.（本小题满分15分）
已知点P(1,2),圆C:x2+y2-6y=0。
(1)若直线l过点P且在两坐标轴上截距之和等于0,求直线l的方程;
(2)设A是圆C上的动点,求⃗OA·⃗OP(O为坐标原点)的取值范围。
18.（本小题满分16分）
a
已知函数f(x)=x+ +b(x≠0),其中a,b∈R。
x
(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)在(1,2)上为单调函数,求实数a的取值范围。
19.（本小题满分16分）
中国茶文化博大精深,饮茶深受大众喜爱。茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。某数学建模小组为了
获得茶水温度y(单位:℃)关于时间x(单位:min)的回归方程模型,通过实验收集在25 ℃室温,用同一温度
的水冲泡的条件下,茶水温度随时间变化的数据,并对数据做初步处理得到如图所示的散点图以及如表所示
的数据。
7 7
y w ∑❑(x-x)(y-y) ∑❑(x-x)(w-w)
i i i i
i=1 i=1
73.5 3.85 -95 -2.24
1 7
表中:w=ln(y-25),w= ∑❑w。
i i 7 i
i=1
(1)根据散点图判断:①y=a+bx与②y=dcx+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类
型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程;
(3)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳,根据(2)中的经验回归方程,求在相同条件下,刚泡好的茶水大约需
要放置多长时间才能达到最佳饮用口感。
附:①对于一组数据(u,v),(u,v),…,(u,v),其经验回归直线v^=α^+^βu的斜率和截距的最小二乘估计分
1 1 2 2 n n
n
∑❑(u -u)(v -v)
i i
别为^β= i=1 ,α^=v-^βu;
n
∑❑(u -u) 2
i
i=1
②参考数据:e-0.08≈0.92,e4.09≈60,ln 7≈1.9,ln 3≈1.1,ln 2≈0.7。高三数学试题答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C C B A D B
二、选择题：
9.答案：ABD 10.答案：BD 11.答案：ACD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
6
12.答案：27 13.答案：1 14.答案：
7
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
a+b sin C+sin B a+b b+c
解：(1)因为 = ,所以由正弦定理得 = ,化简得a2+b2-c2=-ab,
c-b sin A c-b a
a2+b2-c2 -ab 1 2π
所以cos C= = =- 。因为C∈(0,π),所以C= 。
2ab 2ab 2 3
(2)因为(√3+1)a+2b=√6c,所以由正弦定理,得(√3+1)sin A+2sin B=√6sin C,
又C=2π,A+B+C=π,所以( +1)sin A+2sin(π ) 3√2,即sin( π) √3。
√3 -A = A+ =
3 3 2 4 2
π π π 7π π π π π π
因为0<A< ,所以 <A+ < ,所以A+ = ,即A= - = 。
3 4 4 12 4 3 3 4 12
16.（本小题满分15分）
解:(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0<C<π,
1
所以sin(A+B)=sin C,所以m·n=sin C。又m·n=sin 2C,所以sin 2C=sin C,得cos C= 。
2
π
又因为C∈(0,π),故C= 。
3
(2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理,得2c=a+b。因为⃗CA·(
⃗AB-⃗AC)=18,所以⃗CA·⃗CB=18,即abcos C=18,所以ab=36。由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-
3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6。
17.（本小题满分15分）
解：(1)当截距均为0,即直线过原点时,设直线l的方程为y=kx,代入P(1,2),解得k=2,故直线l的方程为
x y
2x-y=0;当截距均不为 0时,设直线l的方程为 + =1,代入P(1,2),解得a=-1,故直线l的方程为x-
a -ay+1=0。综上所述,所求直线l的方程为2x-y=0或x-y+1=0。
(2) 设 A(x,y), 满 足 x2+y2-6y=0, 设 s= · =x+2y 。 由 {x2+ y2-6 y=0,得 5y2-
⃗OA ⃗OP
s=x+2y,
2(2s+3)y+s2=0,Δ=4(2s+3)2-20s2≥0,即s2-12s-9≤0,解得6-3√5≤s≤6+3√5。
所以⃗OA·⃗OP的取值范围为[6-3√5,6+3√5]。
18.（本小题满分16分）
解 (1)f'(x)=1- a x2-a。当a≤0时,显然f'(x)>0(x≠0),这时f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;
=
x2 x2
当a>0时,f'(x)=(x+√a)(x-√a),令f'(x)=0,解得x=± ,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
√a
x2
(-∞, (-√a, (0, (√a,
x -√a √a
-√a) 0) √a) +∞)
f'(x) + 0 - - 0 +
单调 单调 单调 单调
f(x) b-2√a 2√a+b
递增 递减 递减 递增
所以f(x)在(-∞,-√a)和(√a,+∞)上单调递增,在(-√a,0)和(0,√a)上单调递减。
(2)因为函数f(x)在(1,2)上为单调函数,故若f(x)在(1,2)上单调递增,则f'(x)≥0在x∈(1,2)时恒成立,
所以x2-a≥0,即a≤x2在x∈(1,2)时恒成立,所以a≤1。若f(x)在(1,2)上单调递减,则f'(x)≤0 在
x∈(1,2)时恒成立,所以x2-a≤0,即a≥x2在x∈(1,2)时恒成立,所以a≥4。综上所述,实数a的取值范围为
(-∞,1]∪[4,+∞)。
19.（本小题满分16分）
解 (1)更适宜的回归方程类型为②y=dcx+25。
(2)由y=dcx+25,可得y-25=dcx,对等式两边取自然对数,得ln(y-25)=ln d+xln c,令w=ln(y-25),
1 7 7
则w=ln d+xln c,计算,得x= ∑❑x=3,∑❑(x -x) 2 =28,结合题表中数据,
7 i i
i=1 i=1
7
∑❑(x -x)(w -w)
i i -2.24
可得ln c=i=1 = =-0.08,结合参考数据可得c=e-0.08≈0.92,
7 28
∑❑(x -x) 2
i
i=1
由ln d=w-x·ln c,得ln d=4.09,结合参考数据可得d=e4.09≈60,所以该茶水温度y关于时间x的经验回
归方程为^y=60×0.92x+25。
(3)因为在25 ℃室温下,茶水温度降至60 ℃口感最佳,所以由60=60×0.92x+25,
60-25 7 7
得0.92x= = ,对等式两边取自然对数,得x·ln 0.92=ln =ln 7-2ln 2-ln 3≈-0.6,
60 12 12-0.6 -0.6
则x≈ = =7.5,所以在相同条件下,刚泡好的茶水大约需要放置7.5 min才能达到最佳饮用
ln e-0.08 -0.08
口感。
