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2025 年高考考前信息必刷卷 05（新高考 II 卷）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C A A D C A D B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BCD AC ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）【详解】（1）由正弦定理及 ．得
，即 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ．
（2）由题意得 的面积 ，所以 ①．
又 ，且 ，所以 ②．
由①②得 ．
16．（15分）【详解】（1）由题设，易知y与x线性相关，且 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司由于 ，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强．
（2）由题设， ， ，
所以 ，因此 关于x的回归方程为 ，
当 时， ，即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元；
（3）由题意，2018年到2024年这七年的“试销年”为三个，
因此从2018年到2024年这七年中任取2个，取到“试销年”的个数 能取的值为 ，
则 ， ， ，
因此 的分布列如下：
所以其数学期望为 .
17．（15分）【详解】（1）将 代入 得 ，则 的方程为 ，
其焦点坐标为 ，因为 也是椭圆 的一个焦点，所以 ① ；
又 过点 ，所以 ② ，联立① ② 得 ，
所以 ，故 的方程为 ．
（2）当直线斜率为0时，直线 与抛物线只有一个交点，不合要求，
故直线 的斜率不为0，设方程为 ，
联立 与 ，可得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，故 ，
则 ，
故 ，
联立 与 ，可得 ， ，
设 ，则 ，
则 ，
所以 ，解得 ，所以直线 方程为 .
18．（17分）【详解】（1）如图，连接 ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为 底面 ，又 平面 ，所以 ，
又底面 为正方形，则 ，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在
直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ， 分别为 ， 的中点．则 ， ， ，
所以 ， ． 设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ， ，所以 ．
因为平面 的一个法向量为 ，所以 ，
所以平面 与底面 夹角的余弦值为 ．
（3）平面 与棱 交于一点，由（2），设交点 ，则 ， ，
又 ，所以 ，则 ，所以 ，
又 ， ，则 ，即 ，
所以平面 与四棱锥 表面的交线围成的图形的周长为 ．
19．（17分）【详解】（1） ；
（2）对于数列 ，当 时， ，
当 时，因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 有界；
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学科网（北京）股份有限公司对于数列 ，先证 时， ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
令 ，有 ，所以 ，
对于 ，令 ， ，所以 无界；
（3）记点 ，则由条件得 ，
①若点 重合，则 ，所以 ，所以 ；
②若点 不重合，则点 在以线段 为直径的圆上，
所以 是单调不增的数列，因为 ，所以 ，
当 充分大时，要么 ，所以 与 重合，所以 ，
要么 ，所以 充分大时，所有点 均重合，
所以存在 ，使得 ．
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