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2025 年高考考前信息必刷卷 05（新高考 II 卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：题型结构方面，预计选择题数量与分值将保持稳定，涵盖数学基础知识和基本运算。多选题
可能继续出现，考查知识点理解和综合运用。填空题考查精确计算和逻辑推理，数量与分值可能不变。解
答题作为重点，将注重考查学生的解题步骤、思维过程和创新能力。
高考·新考法：考试注重考查学生的应变和综合应用能力。基础知识如函数、数列、立体几何、概率统计等
仍是重点，淡化特殊技巧。命题将创设新情境，融入时代感和现实意义，要求学生有扎实数学基础和灵活
思维，能适应新情境，分析问题并解决。整体难度会根据教育部指导和考生水平适当调整，命题趋势在稳
定与创新间平衡，融入新元素和题型以考查学生创新思维和综合能力。
高考·新情境：试题将注重现实应用，强调跨学科知识融合，挖掘传统文化和探究性思维。题目设计结合现
实生活与前沿科技，涵盖智慧城市、碳中和、物流优化等热点，甚至涉及分形几何和机器学习算法的简化
模型。要求考生能将实际问题转化为数学模型，通过建模与求解展示解题技能。考试重点评估学生从复杂
现实场景中抽象数学问题，并综合运用知识解决实际问题的能力。
命题·大预测：本套试题题型多样，涵盖高中数学多个关键知识点，包括复数、向量、函数、数列、三角函
数和立体几何等，旨在评估学生的掌握与运用能力（如第2，5题，），及其运算、逻辑推理、空间想象和
规律探索能力（如第8，11题）。为备战2025年高考数学，建议如下：巩固基础知识，强化公式记忆；加
大训练力度，通过模拟考试提升应试技巧和时间管理，整理错题，针对性复习；注重心态调整，保持积极
乐观。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
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学科网（北京）股份有限公司第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知 为坐标原点，圆 ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】C
【详解】 ，则 .故选：C.
2．某AI系统通过摄像头识别手势，准确率为90%。若连续识别3次手势，至少有一次识别错误的概率是
（ ）
A. 1-0.93 B. 0.13 C. 3×0.1×0.92 D. 0.93
【答案】A
【详解】逆向计算“全对”概率为0.93，则至少一次错误概率为1-0.93.
3．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ，则由 得 ，所以 ，且 ，
所以 因此 ， ，故选:A
4．已知 是 所在平面内一点， 为边 的中点，且 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】连接 ，因为 为边 的中点，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故A、B、C错误；
由 ，可得 ，所以 ，故D正确．故选：D．
5．某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为 ，高为
16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂
料，则共需涂料（ ）
A． 克 B． 克 C． 克 D． 克
【答案】C
【详解】作圆台的轴截面如图：
梯形 为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为 、 ，再取 中点 ，连接 ，
则 中，因为 ，所以 ， ，所以 .
所以 .所以灯罩的侧面积为： .
所以100个灯罩的外表面面积为： .
又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料 克.故选：C
6．若函数 的导函数的图象关于 轴对称，则 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A，由 可得 ，显然 图象关于 轴对称，所以A
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学科网（北京）股份有限公司正确；
对于B，由 可得 ，显然 图象不关于 轴对称，所以B错误；
对于C，由 可得 ，显然 图象不关于 轴对称，所以C错误；
对于D，由 可得 ，由 知图象不关于 轴对
称，所以D错误.
故选：A
7．已知 ，则 （ ）
A．5 B． C．-5 D．
【答案】D
【详解】已知 ，可变形为 .
因为 ， ，所以 .
左边 ，
即 .
右边 ，
即 .
所以 .
可得： .
即 .所以 ，
也就是 . 故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司8．设函数 的图象由方程 确定．对于函数 ，给出下列命题：
①对于任意的 且 ，恒有 成立；
②对于任意的 ，恒有 成立；
③在函数 的图像上可以找到一点 ，使得 到原点的距离小于 ．
则其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】当 ， 时，方程 可化为 ，是椭圆的一部分；
当 ， 时，方程 可化为 ，是双曲线的一部分；
当 ， 时，方程 可化为 ，无解；
当 ， 时，方程 可化为 ，是双曲线的一部分.
所以函数 的图象的图象如下：
由图可知函数 在 上单调递减，故①错误；
因为双曲线 （ ， ）和 （ ， ）的渐近线均为 ，
所以 恒成立，即 恒成立，故②正确；
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学科网（北京）股份有限公司由椭圆、双曲线的性质可知，函数 图象上，点 到原点的距离最近，为 ，故③错误.
所以只有②正确.故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放
青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分（满分10分），
得到如图所示的折线统计图，则（ ）
A．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B．甲得分的众数大于乙得分的众数
C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差
【答案】BCD
【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下：甲： ，乙： ，
甲得分的中位数为 ，乙得分的中位数为 ，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确；
甲得分的众数 ，乙得分的众数为 ，甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确；
甲得分的平均数 ，乙得分的平均数 ，所以
甲得分的平均数等于乙得分的平均数，故A错误；
由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.
故选：BCD
10．《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如果以时间为横轴，音高为
纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数
的图象上，且图象过最高点 ，相邻最大值点与最小值点之
间的水平距离为 ，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．
B．当 时， 的值域为
C． 在区间 上单调递增
D．将 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
【答案】AC
【详解】由题设，函数 的周期满足： ，解得 ，且 ，
，即 ， ，因 ，则 ，
所以 .
对于A， ，故A正确；
对于B，由 可得 ，故 ，故B错误；
对于C，由 可得 ，结合正弦函数的性质知 在 上单调递增，故
C正确；
对于D，将 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得
因 ，即得到的函数图象不关于点 对称，故D错误.
故选：AC
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学科网（北京）股份有限公司11．已知数列 满足： ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．存在 ，使得数列 为等差数列 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，数列 是等比数列
【答案】ABD
【详解】对于A，当 时， ，
又 ， 数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，故A正确；
对于B，当 时，
. 数列 是周期为 的周期数列，
又 ，故B正确；
对于C，当 时， ，若 ，则 ，又 ，
对于任意的 ，都有 ；
则
，若 ，则 ，
这与 矛盾，故C错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，当 时， ，
若 ，则 ，又 ， 对于任意的 ，都有 ；
则 ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故D正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同
的安排方法有 种.
【答案】
【详解】首先从四位家长中选三人有 种方法，然后将选出的三位家长分别安排到三个路口有
种方法，根据分步乘法计数原理，总的安排方法数为 种.故答案为：
13．已知袋中有 （ 为正整数）个大小相同的编号球，其中黄球7个，红球 个，从中任取两个球，
取出的两球是一黄一红的概率为 ，则 的最大值为 .
【答案】
【详解】 ，令 ，则 ，当
时， ；当 时， ，当 时， ，当 时， ，所以当 或
时， ，所以 ，故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司14．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交双曲线 的右支于
， 两点，若 ，点 满足 ，且 ，则双曲线 的离心率为 .
【答案】
【详解】
由双曲线定义知 ， ， ， ，
， ，又 ， ，
在 中， ，① 在 中， ，②
， ，结合①②化简得 ，
，即 平分 ，又 ， ，
， ，
在 中， ，在 中， ，
， ，
，化简得 ，
.故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求A；
(2)若 ， 的面积为 ，求b，c的值．
【详解】（1）由正弦定理及 ．得 ，即
，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ．
（2）由题意得 的面积 ，所以 ①．
又 ，且 ，所以 ②．
由①②得 ．
16．（15分）某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7
利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并
推断它们的相关程度；
(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润；
(3)把利润不超过4（亿元）的年份叫做“试销年”，从2018年到2024年这七年中任取2年，X表示取到
“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望．
参考数据： ， ， ，
参考公式：对于一组数据 ，①相关系数为： ；②经验
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学科网（北京）股份有限公司回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别 ， ．
【详解】（1）由题设，易知y与x线性相关，且 ，
，
由于 ，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强．
（2）由题设， ， ，
所以 ，因此 关于x的回归方程为 ，
当 时， ，即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元；
（3）由题意，2018年到2024年这七年的“试销年”为三个，
因此从2018年到2024年这七年中任取2个，取到“试销年”的个数 能取的值为 ，
则 ， ， ，
因此 的分布列如下：
所以其数学期望为 .
17．（15分）已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的一个焦点，
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学科网（北京）股份有限公司为 与 的一个公共点.
(1)求 ， 的方程；
(2)过点 的直线 交 于 两点，交 于 两点，若 ，求 的方程.
【详解】（1）将 代入 得 ，则 的方程为 ，
其焦点坐标为 ，因为 也是椭圆 的一个焦点，所以 ① ；
又 过点 ，所以 ② ，联立① ② 得 ，
所以 ，故 的方程为 ．
（2）当直线斜率为0时，直线 与抛物线只有一个交点，不合要求，
故直线 的斜率不为0，设方程为 ，
联立 与 ，可得 ， ，
设 ，故 ，
则 ，
故 ，
联立 与 ，可得 ， ，
设 ，则 ，
则 ，
所以 ，解得 ，所以直线 方程为 .
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学科网（北京）股份有限公司18．（17分）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ， ，
分别为 ， 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与底面 夹角的余弦值；
(3)求平面 与四棱锥 表面的交线围成的图形的周长．
【详解】（1）如图，连接 ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为 底面 ，又 平面 ，所以 ，
又底面 为正方形，则 ，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在
直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ， 分别为 ， 的中点．则 ， ， ，
所以 ， ． 设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ， ，所以 ．
因为平面 的一个法向量为 ，所以 ，
所以平面 与底面 夹角的余弦值为 ．
（3）平面 与棱 交于一点，由（2），设交点 ，则 ， ，
又 ，所以 ，则 ，所以 ，
又 ， ，则 ，即 ，
所以平面 与四棱锥 表面的交线围成的图形的周长为 ．
19．（17分）如果数列 满足：存在实数 ， ，使得对任意 ，有 ，则称数列
有界，其中 为 的下界， 为 的上界．
(1)写出数列 无界的定义；
(2)已知 ， ，数列 ， 的前 项和分别为 ， ，讨论数列 ， 的有界性：
(3)两个整数数列 ， 满足方程： ， ，证明：
存在 ，使得 ．
【详解】（1） ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）对于数列 ，当 时， ，
当 时，因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 有界；
对于数列 ，先证 时， ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
令 ，有 ，所以 ，
对于 ，令 ， ，所以 无界；
（3）记点 ，则由条件得 ，
①若点 重合，则 ，所以 ，所以 ；
②若点 不重合，则点 在以线段 为直径的圆上，
所以 是单调不增的数列，因为 ，所以 ，
当 充分大时，要么 ，所以 与 重合，所以 ，
要么 ，所以 充分大时，所有点 均重合，
所以存在 ，使得 ．
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