2009 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文史类）
一，选择题：
（1） 设集合S = x x <5 ,T = x x+7x-3<0 ，则S T =
I
(A) {x∣-7＜x＜-5} (B) {x∣3＜x＜5 }
(C) {x∣-5＜x＜3} (D) {x∣-7＜x＜5}
(2)函数y =2x+1（x∈R）的反函数是
（A）y =1+log x（x＞0） (B) log (x-1)（x＞1）
2 2
（C）y =-1+log （x＞0） (D) log (x+1)（x＞-1）
2 2
（3）等差数列 a 的公差不为零，首项a =1，a 是a 和a 等比中项，则数列 a 的前
n 1 2 1 5 n
10项之和是
（A）90 (B) 100 (C) 145 (D) 190
p
（4）已知函数 f(x)=sin(x- )(xÎR)，下面结论错误的是
2
（A）函数 f(x)的最小正周期为2p
é pù
(B) 函数 f(x)在区间 0, 上是增函数
ê ú
ë 2û
(C) 函数 f(x)的图像关于直线x=0对称
(D) 函数 f(x)是奇函数
5-1
（5）设矩形的长为a，宽为b，其比满足b:a= »0.618，这种矩形给人美感，称
2
为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加
工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是
（A）甲批次的总体平均数与标准值更接近。
第1页 | 共13页（B）乙批次的总体平均数与标准值更接近
（C）两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
（D）两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
（6）如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA^平面ABC，PA=2AB,则下列
结论正确的是
（A）PB^AD
（B）平面PAB^平面PBC
（C）直线BC//平面PAE
（D）直线PD与平面ABC所成的角为450
（7）已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a-c>b-d ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
x2 1
（8） 已知双曲线 - =1(b>0)的左、右焦点分别为F、F ，其一条渐进线方程为
2 b2 1 2
uuur uuuur
y = x,点 p( 3,y )在该双曲线上，则PF PF =
0 1g 2
A -12 B -2 C 0 D 4
（9） 如图，在半径为 3 的球面上有 A.B.C 三点，ÐABC =90o，
3 2
BA=BC，球心O到平面ABC的距离是 ，则B.C两点的球
2
面距离是
p 4
A B p C p D 2p
3 3
（10） 某企业生产甲、乙两种产品。已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；
生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元、
每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，
B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是
A 12万 B 20万 C 25万 D 27万
（11） 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3为女生中有且只有
两位女生相邻，则不同排法的种数是
第2页 | 共13页A 60 B 48 C 42 D 36
（12） 已知函数 f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有
5
xf(x+1)=(1+x)f(x)，则 f( )的值是
2
1 5
A 0 B C 1 D
2 2
第Ⅱ卷
本卷共10小题，共90分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
（13）抛物线y2 =4x的焦点到准线的距离是 .
1
（14）(2x- )6的展开式的常数项是 .（用数字
2x
作答）
（15）如图，已知正三棱柱ABC-ABC 的各条棱长都相等，M
1 1 1
是侧棱CC 的中点，侧异面直线AB和BM所成的角的大小是 .
1 1
（16）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射 f :V ®V, aÎV,记a的象为 f(a).
若映射 f :V ®V 满足：对所有a,bÎV 及任意实数l、m都有
f(la+mb)=lf(a)+mf(b),则f 称为平面M上的线性变换，现有下列命题：
① 设 f 是平面M上的线性变换，a、bÎV,则f(a+b)= f(a)+ f(b);
② 若e是平面M上的单位向量，对aÎV,设f(a)=a+e,则f 是平面M上的线性变换；
③ 对aÎV,设 f(a)=-a,则 f 是平面M上的线性变换；
④ 设 f 是平面M上的线性变换，aÎV ，则对任意实数k均有 f(ka)=kf(a).
其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
在△ABC 中，A、B 为锐角，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且
5 10
sinA= ,sinB= .
5 10
第3页 | 共13页（Ⅰ）求A+B的值；
（Ⅱ）若a-b= 2-1,求a、b、c得值.
（18）（本小题满分12分）
为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外
人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公
3
司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客，
4
1 2
在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡.
3 3
（Ⅰ）在该团中随即采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；
（Ⅱ）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相当的概率.
（19）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互
相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）设线段 CD、AE 的中点分别为 P、M，求证：PM∥平面
BCE；
（Ⅲ）求二面角F-BD-A的大小.
（20）（本小题满分12分）
已知函数 f(x)= x3+2bx2 +cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y =5x-10.
第4页 | 共13页（Ⅰ）求函数 f(x)的解析式；
1
（Ⅱ）设函数g(x)= f(x)+ mx,若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数
3
g(x)取得极值时对应的自变量x的值.
（21）（本小题满分12分）
x2 x2 2
已知椭圆 + =1(a >b>o)的左、右焦点分别为F、F ,离心率e= ，右准线
a2 b2 1 2 2
方程为x=2.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
uuuur uuuur 2 26
（Ⅱ）过点F 的直线l 与该椭圆相交于M、N两点，且|F M +F N |= ,求直线
1 2 2 3
l 的方程式.
（22）（本小题满分14分）
设数列a 的前 n 项和为 s ,对任意的正整数 n，都有 a =5s +1成立，记
n n n n
4+a
b = n (nÎN+).
n 1-a
n
（Ⅰ）求数列a 与数列b 的通项公式；
n n
（Ⅱ）设数列b 的前n项和为R ，是否存在正整数k，使得R ³4k成立？若存在，
n n k
找出一个正整数k;若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）记c =b -b (nÎN+),设数列|c |的前n项和味T ，求证：对任意正整数
n 2n 2n-1 n n
3
n，都有T < .
n 2
第5页 | 共13页数学（文史类）参考答案
一． 选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分.
(1)C (2)C (3)B (4)D (5)A (6)D
(7) B (8)C (9)B (10)D (11)B (12)A
二．填空题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分.
(13) 2 (14) -20 (15) 90 (16) 134
三．解答题
(17)本小题主要考查同角三角函数间的系统、两角和差的三角函数公式、正弦定理等基础
知识及基本运算能力.
解(Ⅰ)∵A、B为锐角，sinA= 5 ,sinB= 10 ,
5 10
2 5 3 10
∴cosA= 1-sin2 A = ,cosB= 1-sin2 B =
5 10
2 5 3 10 5 10 2
∴ cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB = - * =
5 10 5 10 2
∵0<A<B< ,
p
p
∴A+B= . ………………………6分
4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=3p,∴sinC= 2 .
4 2
a b c
= =
由正弦定理 sin A sinB sinC 得
5a= 10b= 2c,即a= 2b,c= 5b
∵a-b= 2 -1,
∴ 2b-b= 2 -1,
第6页 | 共13页∴b=1
∴a= 2,c= 5 . … …………………………12分
(18)本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概率计算，考查运用概率知识实际问题的能
力。
解（I）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银
卡。
设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡。
C1C1 2
P(A)= 6 30 =
C2 7
36
2
所以采访该团2人，恰有1人持银行卡的概率是
7
（Ⅱ）设事件B为“采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等”，
事件A为“采访该团2人中，0人持金卡，0人持银卡”，
1
事件A 为“采访该团2人中，1人持金卡，1人持银卡”，
2
P(B)= P(A)+P(A )
1 2
C2 C1C1
= 21 + 9 6
C2 C2
36 36
1 3
= +
3 35
44
=
105
44
所以采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等的概率是 ………………………..12
105
分
（19题）本小题主要考查平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等
基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。
解法一：
（Ⅰ）因为平面ABEF ^平面ABCD,BC Ì平面ABCD，BC ^ AB，
平面ABEFI 平面ABCD= AB
所以BC ^平面ABEF
第7页 | 共13页因为DABE为等腰直角三角形，AB= AE,
所以ÐFEB=450 +450 =900
即EF ^ BE
因为BC Ì平面BCE,BE Ì平面BCE
BCI BE = B,
所以EF ^平面BCE
// 1 //
(Ⅱ)取BE的中点N，连结CN,MN,则MN= AB=PC,
2
所以PMNC为平行四边形，所以PM //CN
因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，
所以PM //平面BCE
(Ⅲ)由EA^ AB,平面ABEF ^平面ABCD,易知EA^平面ABCD.
作FG ^ AB交BA的延长线与G则，FG//EA,从而，FG ^平面ABCD.
作GH ^ BD于H,连结FH,则由三垂线定理知，BD^ FH。
因此ÐFHG为二面角F -BD-A的平面角
因此FA= FE,ÐAEF =450,
所以ÐAFE =900,ÐFAG =450,
2
设AB=1,则AE =1,AF =
2
1
FG = AF×sinFAG =
2
1 3
在Rt△BGH中∠GBH=450,BG=AB+AG=1+ = 。
2 2
3 2 3 2
GH=BG sinGBH = × =
g
2 2 4
FG 3
在Rt△FGH中，tanFHG = =
GH 2
2
故二面角F-BD-A的大小为arctan ………………….12分
3
第8页 | 共13页解法二：
（Ⅰ）因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以AE⊥AB,
又因为平面ABEF⊥平面ABCD，AEÌ平面ABEF
平面ABEF Ç平面ABCD= AB
所以AE⊥平面ABCD
所以AE⊥AD
因此，AD，AB，AE两两垂直，建立如图所示的直角坐
标系A-xyz.
设AB=1，则AE=1，B（0，1，0），D（1，0，0），
E（0，0，1），C（1，1，0）
因为FA=FE，∠AEF=450,
所以∠AEF=900.
1 1
从而，F（0，- ， ）.
2 2
uuur 1 1 uuur uuur
EF =(0,- ,- ),BE =(0,-1,1),BC =(1,0,0).
2 2
uuur uuur 1 1 uuur uuur
EF×BE =0+ - =0,EF×BC =0
2 2
所以EF⊥BE，EF⊥BC.
因为BEÌ平面BCE，BCÌ平面BCE，BCÇBE=B，
所以EF⊥平面BCE. …………………………………4分
1 1
（Ⅱ）M（0，0， ）.P（1, ,0）.
2 2
uuuur 1 1
从而PM =（-1, - ， ）.
2 2
uuuur uuur 1 1 1 1
于是PM ×EF =（-1,- ，）（× 0,- ，- ）=0
2 2 2 2
所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，
故PM∥平面BCE. ………………………8分
uur uur
（Ⅲ）设平面BDF的一个法向量为n ，并设n =（x，y，z）
1 1
uuur uuur 3 1
BD=(1，-1，0)，BF =(0,- , )
2 2
第9页 | 共13页uur uuur ìx- y =0
ì ïn ×BD =0 ï
í 1 即í 3 1
uur uuur
ïî n ×BF =0 ï - y+ z =0
1 î 2 2
uur
去y=1，则x=1，z=3，从n =（0，0，3）
1
uur
取平面ABD的一个法向量为n =（0，0，1）
2
uuruur
uur uur n ×n 3 3 11
cos n ,n = 1 2 = =
uur uur
1 2 |n |×|n | 11×1 11
1 2
3 11
故二面角F-BD-A的大小为arccos . ……………………….12分
11
（20）本小题考查函数、函数极值的概念，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运
算能力。
解：（Ⅰ）由已知，切点为（2，0）故有 f(2)=0，即4b+c+3=0 …….①
f '(2) = x3 -2x2 + x-2，由已知 f '(2) =12+8b+c =5.
得8b+c+7 =0 …..② 联立①、②，解得c=1,b=-1
于是函数解析式为 f '(2) = x3 -2x2 + x-2 ……………..4分
1
（Ⅱ）g(x) = x3 -2x2 + x-2+ mx
3
m
g'(x) =3x2 -4x+1+ ，令g'(x) =0
3
m
当函数有极值时，△³0，方程3x2 -4x+1+ =0有实根，
3
由△=4（1-m）³0，得m £1
2 2
①当m=1时，g'(x) =0有实根x = ，在x = 左右两侧均有g'(x) >0，故
3 3
函数g(x) =0无极值。
1 1
②m <1时，g'(x) =0有两个实根，x = (2- 1-m)，x = (2+ 1-m)，
1 3 2 3
当x变化时，g'(x)、g(x)的变化情况如下表：
第10页 | 共13页故在mÎ(-¥,1)时，函数g(x)有极值：
1
当x = (2- 1-m)时g(x)有极大值；
3
1
当x = (2+ 1-m)时g(x)有极大值。………………………12分
3
（21）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问
题及推理运算能力。
ìc 2
ï =
ïa 2
解：（Ⅰ）由条件有í 解得a= 2 ,c=1
ïa2
= 2
ï
î c
\b = a2 -c2 =1
x2
所以，所求椭圆的方程为 + y2 =1 ………………….4分
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F(-1,0)、F (1,0)
1 2
若直线L的斜率不存在，则直线L的方程为x= —1，
2
将x= —1代入椭圆方程的y = ±
2
2 2
不妨设M (-1, )、N (-1,- )
2 2
uuuuur uuuur 2 2
\F M +F N =(-2, )+(-2,- ) =(-4,0)
2 2 2 2
uuuuur uuuur
\| F M +F N |= 4,与题设矛盾。
2 2
∴直线l的斜率存在
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y =k(x+1)
设M(x ,y )、N(x ,y )
1 1 2 2
ìx2
ï + y2 =1
联立í 2 ,消y得(1+2k2)x2 +4k2x+2k2 -2=0
ï
îy =k(x+1)
第11页 | 共13页-4k2 2k
由根与系数的关系知x +x = ，从而y + y =k(x +x +2)=
1 2 1+2k2 1 2 1 2 1+2k2
uuuur uuuur
又∵F M =(x -1,y ),F N =(x -1,y )，
2 1 1 2 2 2
uuuur uuuur
∴F M +F N =(x +x -2,y + y )
2 2 1 2 1 2
uuuur uuuur
\|F M +F N |2=(x +x -2)2 +(y + y )2
2 2 1 2 1 2
8k2 +2 2k
=( )2 +( )2
1+2k2 1+2k2
4(16k2 +9k2 +1)
=
4k4 +4k2 +1
4(16k4 +9k2 +1) 2 26
\ =( )2
4k4 +4k2 +1 3
化简得40k4 -23k2 -17=0
17
解得k2 =1或k2 =- （舍）
40
\k =±1
∴所求直线l的方程为y = x+1或y =-x-1
（22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识，化归思想等数学思想方法，以及推理论证、
分析与解决问题的能力。
1
解：（Ⅰ）当n=1时，a =5a +1,\a =-
1 1 1 4
又∵a =5S +1,a =5S +1
n n n+1 n+1
1
∴a -a =5a ，即a =- a
n+1 n n+1 n+1 4 n
1
∴数列{a }成等比数列，其首项a =- a
n n+1 4 n
1
4+(- )n
4
∴a =
n 1
1-(- )n
4
（Ⅱ）不存在正整数k，使得R ³4k成立
k
下证：对任意的正整数n，都有R <4n成立
k
第12页 | 共13页5
由（Ⅰ）知b =4+
n (-4)n -1
5 5
b +b =8+ +
Q 2k-1 2k 1 (-4)2k -1
(- )2k-1-1
4
5 20
=8+ -
16k -1 16k +4
1516k -40
=8- <8
(16k -1)(16k +4)
第13页 | 共13页
