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2025 年 4 月高三年级适应性考试
数 学
2025.4
本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，满分 150分.考试时
间为120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上.
2．回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号
涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4．请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并
收回.
第 I 卷（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x10x 2025,xN}，B={y y =2x}，则A B=
A．{,,,} B．{,,}
C．{,} D．{}
y
2．双曲线C: −x =的渐近线方程为
1
A．y = x B．y = x
2
C．y =x D．y =x
数学试卷 第 1 页（共6页）
{#{QQABbYao4giYgFSACI4KAwWkCUiQsJCiJWoMBUCdOAwLQYNABIA=}#}3．直线x+y−=的一个方向向量是
A．(,−) B．(,)
C．(−,) D．(,)
4．2023年，深度求索(DeepSeek)公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为
1000PetaFLOPS(千亿亿次浮点运算/秒). 根据技术规划，DeepSeek 的算力每年增长50%.
截止至2025年，其算力已提升至2250 PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率.问：
DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？
（参考数据：lg.，lg.，lg.）
A．2026年 B．2027年
C．2028年 D．2029年
5．在等差数列{a }中，前n项和为S ，若S =(a +a +a +a +a )，则k =
n n k
A．18 B．33
C．36 D．40
6．已知函数 f(x)=sin(2x− )，若 f(x)在区间[−a,a](a)上单调递增，则a的最大
4
值为
A． B．
C． D．
7．在△ABC中，C =. 将△ABC分别绕直角边BC，直角边AC和斜边AB旋转一
周，所得旋转体的体积依次为V ，V ，V ，则
A．V +V =V B．V +V =V
C． + = D． + =
V V V V V V
a
8．若函数 f(x)= x +ax+b+ + 有零点，则a +b的最小值为
x x
A．1 B．
C． D．2
数学试卷 第 2 页（共6页）
{#{QQABbYao4giYgFSACI4KAwWkCUiQsJCiJWoMBUCdOAwLQYNABIA=}#}二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．某校研究学生每周自习时间 X(小时）与数学成绩 Y(分）的关系，计算
得相关系数 r =−.，并建立线性回归模型，得到决定系数 R =..对残差
进行分析时，发现残差与预测值的散点图（是以预测值为横轴，残差为纵轴）
呈现明显的先负后正的分布趋势，则
A．R =.，说明该模型的拟合效果较差
B．残差平方和等于0.64
C．相关系数为负，说明自习时间与成绩无关
D．残差图显示模型可能不符合线性假设，建议改用非线性模型
10．已知抛物线C: y =x的焦点为F ，过F 的直线l与C交于A,B两点，O为坐标原
点，则
A．若AB=，则直线l的斜率等于1
B．若AF =，则BF =
OA+OB
C．设AB的中点到准线的距离为d ，则d
D．AOB是钝角
11．在△ABC 中，(BC+2AC)AB=0，A= ，则
AC
A．cosB=
BC
B．tanB =
C．cosC =
D．AC 在AB上的投影向量为 AB
数学试卷 第 3 页（共6页）
{#{QQABbYao4giYgFSACI4KAwWkCUiQsJCiJWoMBUCdOAwLQYNABIA=}#}第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知复数z满足(+i)z =−i，则 =______.
z
13．2025的不同正因数的个数为______.
14．在平面直角坐标系 xOy 中，将函数 f(x) 的图象绕坐标原点逆时针旋转
()后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 f(x)为“旋转函数”.则
aln x
y =x_____90°旋转函数(填：“是”或者“不是”) ；若 f(x)= 是45°旋转函数，则
x
a的取值范围是______.
四、解答题：共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本题满分13分）
如图所示，三棱柱ABC−ABC 中，AC =BC =3,AB=3 2，点M 在线段AB上，四
1 1 1
边形BCC B 是正方形，平面BCC B ⊥平面ABC.
1 1
（1）当M 是线段AB的中点时，证明AC // 平面BMC ；
1
1
（2）当AM = AB时，求直线AC 与平面BMC 所成角的正弦值．
3 1 1
数学试卷 第 4 页（共6页）
{#{QQABbYao4giYgFSACI4KAwWkCUiQsJCiJWoMBUCdOAwLQYNABIA=}#}16．（本题满分15分）
a +
已知数列{a }中，a =，a = n .
n n+ a +
n
（1）求a ，a 的值；
a −
（2）设b = n ，证明{b }是等比数列，并求其通项公式；
n a + n
n
n 4
（3）证明：(a −1) .
k 3
k=1
17．（本题满分15分）
x y
已知椭圆C: + =(a b)的离心率为 ，且经过点P(, )，其左、右焦点分
a b
别为F ，F .
（1）求C的方程.
（2）设过F 的直线l与C交于A,B两点，且 AB = .
（i）求直线l的斜率；
（ii）设M 为C上异于A,B的动点，求△MAB面积的最大值.
18．（本题满分17分）
已知函数 f(x)=ex −x +(−a)x−.
（1）当a=时，求曲线y = f(x)在x=处的切线方程；
（2）当a = 时，讨论 f(x)的单调性；
（3）当x≥0时， f(x)≥0，求a的取值范围.
数学试卷 第 5 页（共6页）
{#{QQABbYao4giYgFSACI4KAwWkCUiQsJCiJWoMBUCdOAwLQYNABIA=}#}19．（本题满分17分）
某在线教育平台现有两种数学课程A和B，其课程完成率与用户占比如下表所示. 为测试
新课程C的效果，平台将其开放给 100名学生学习，设课程 C 的完成率为 p( p)，
且每位学生是否完成课程相互独立.
课程类型 A（旧课） B（旧课） C（新课）
完成率 85% 65% p
用户占比 50% 50% 待调整
（1）记学习新课程 C 的这 100 名学生中恰有 70 人完成课程的概率为 f(p)，求 f(p)的
最大值点 p .
（2）以（1）中确定的 p 作为 p的值. 当新课程C的用户占比达到多少时，能保证从完成
课程的学生中随机抽取一人，其使用C课程的概率为70%？（课程A，B用户减少的占比，
均为课程C增加占比的一半）
（3）根据市场调研，C课程的用户占比X的概率分布为：
20%≤X<40%时概率0.2，40%≤X<60%时概率0.5，X≥60%时概率0.3.
某在线教育平台计划增加新课程C，但新课程C的智能辅导系统配置套数受用户占比
的影响，关系如下表：
用户占比X 20%≤X<40% 40%≤X<60% X≥60%
最多配置数 1 2 3
每套系统运行年收益100万元，未运行的系统每年需维护费30万元. 为使总收益期望
最大，应配置几套系统？
数学试卷 第 6 页（共6页）
{#{QQABbYao4giYgFSACI4KAwWkCUiQsJCiJWoMBUCdOAwLQYNABIA=}#}
