文档内容
东北师大附中 2025-2026 学年上学期
高三年级第一次摸底考试（数学）科试卷
注意事项：
1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形
码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，
超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合 ，再由交集运算即可求解.
【详解】 ，
由 ，可得： ，
所以 ，
故选：B
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可.
【详解】由 可得 ，解得 ，
由 解得 或 ，
因为集合 是集合 的真子集，
即由 可推出 或 ，由 或 ，推不出 ，
所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件，
故选：A
3. 已知函数 为奇函数，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数为奇函数，求得 ，即可求解.
【详解】由题意可得： ，
所以 ，可得： ，
所以 ， .
故选：C
.
4 若 ， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据二倍角的正余弦公式化简，再由同角三角函数的基本关系得解.
【详解】由 ， ，
可得 ，
即 ，故 ，
故选：C
5. 若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换底公式结合指数与对数间的运算，求得 或 ，代入 ，即可化简求得结
果.
【详解】由题知， ，
则
，可得 或 ，
所以 或 ，
若 ，又 ，
则 ，所以 ，
则 或 （舍去）， ， ；
若 ，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，所以 ，
则 或 （舍去），
所以 ，
综上， .
故选：B
6. 已知 ， ，若 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合基本不等式，即可求解最值.
【详解】由 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
令 ， ，可得 ，
解得 或 （舍去），
即 .
故选：D
7. 设函数 的导函数为 ，且 ，则 的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由 求 ，解不等式 求单调区间.
【详解】 定义域为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
由 解得 ，
所以 的单调递减区间为 .
故选：A.
8. 已知可导函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 且 ，则不
等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】公众号：高中试卷君
【分析】构造函数 ，由题设条件可得其单调性，从而可求函数不等式的解.
【详解】构造函数 ，则 ，
∴函数 在 上单调递减，
∵ ，∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司由 得 ，即 ，
∵函数 在 上单调递减，∴ ，
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数 在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的
是（ ）
A. 函数 的值域为
B. 是函数 图象的一个对称中心
C. 该函数的解析式为
D. 函数 的减区间是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据所给三角函数的图像，可求得函数 的解析式，再结合正弦函数的图像性质，逐项进行
求解即可.
【详解】根据所给函数图像，可知 的最大值为 ，最小值为 ，
所以函数 的值域为 ，且 ，故A选项正确；
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学科网（北京）股份有限公司函数 的周期 满足 ，所以 ，即 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
根据函数图像，点 在图像上，即 ，
解得 ，又 ，所以 ，
所以 ，故C选项错误；
由正弦函数对称中心公式，可得其对称中心的横坐标满足 ，
解得 ，当 时， ，
故 是函数 图象的一个对称中心，B选项正确；
根据正弦函数的单调性，得其递减区间满足 ，
解得 ，故D选项正确.
故选：ABD
10. 已知 的定义域为 ，其函数图象关于直线 对称且 ，当 时，
，则下列结论正确的是（ ）
A. 为偶函数 B. 在 上单调递减
C. 关于 对称 D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，由函数关于直线 对称及 ，结合偶函数定义判断；对B，由函数
周期性得 在 解析式，判断其单调性；对C，由偶函数性质及函数关于直线 对称可得；
对D，由函数周期性可求.
【详解】对于A：因为 的图象关于直线 对称，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ， 为偶函数，A正确；
对于B：因为 ，所以 ，即 周期为 ，
， ， ，
所以 ，因为 在 单调递增，
所以 在 单调递增，B错误；
对于C：因为 为偶函数，因为 的图象关于直线 对称，
所以 关于 对称，C正确；
对于D：因为 周期为 ，所以 ，又 关于 对称，
所以 ，D正确；
故选：ACD.
11. 数学中有很多优美的图形，如图2所示的叶子形状的曲线，是由函数 与
的部分图象组合而成的封闭曲线 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 是轴对称图形
B. 的弦长的最大值为
C. 直线 被 截得弦长的最大值为
的
D. 面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用反函数概念可判断 ；联立方程，求出交点即可判断 ；找出过 与曲线相切且与 平行
的点 即可 ；由 ，计算即可判断 .
【详解】由 得 ，
的反函数为 ，两者关于 对称，故A正确.
由 得 ，
令 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减； 上单调递增，
注意到 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司在 和有一个零点 ，另一个零点为 ，
，故B错误.
与曲线 对称轴 垂直，
如图，只需考察曲线 上 到 距离大最大值即可，
找出过 与曲线相切且与 平行的点 即可，
令 ，令 ，
此时 到 的距离 ，
直线 被 截得弦长最大值 为，故 正确.
，故D不正确.
.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分.
12. 曲线 在 处的切线方程为____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，知切线的斜率 ，
又切线过切点 ，
所以切线方程为 ，即 .
故答案为：
13. 已知函数 在 处有极小值，则 的值为____________.
【答案】1
【解析】
【分析】由函数 在 处取得极小值，可得 ，求得 或 ，根据函数极值的概念，
分别代入验证，即可求解.
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 在 处取得极小值，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
①当 时，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 在 处取得极小值，符合题意.
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学科网（北京）股份有限公司②当 时，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 在 处取得极大值，不符合题意，
综上可得， .
故答案为：1
14. 设函数 ，若函数 有三个零点 ，
则 ____________.
【答案】3
【解析】
【分析】画出 的图象，利用函数的图象判断函数零点个数，求出 的值即可求解.
【详解】作出 的图象如图所示，
令 ，由图象可知当 时 有三个解，当 时 有两个解，
因为关于 的方程 有三个零点，所以 只能有一个根 ，
所以由 解得 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， 公众号：高中试卷君
故答案为：3
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）设函数 ，求 的值域.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得 ，由此可得值域.
【小问1详解】
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
函数 的单调递增区间为 .
【小问2详解】
，
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学科网（北京）股份有限公司所以
，
所以函数 的值域为 ，
16. 已知定义域为 的函数 为奇函数.
（1）求 和 的值；
（2）求不等式 的解集.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质可得 ，可得 ，又由 可得出关于 的等
式，由此可解得实数 的值，即可求解；
（2）由（1）的结论，分析可得 在 上是增函数且为奇函数，进而可以将不等式转化为
，结合函数的单调性即可得 ，求解即可．
【小问1详解】
由题意知函数 为定义在 上的奇函数，
则有 ，解得 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为函数 为奇函数，则 ，
而 ，
所以 ，整理可得 ，
即 对任意的 恒成立，解得 ，
所以 ， ；
【小问2详解】
由（1）可得 ，所以 在 上单调递增，
由 可得 ，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
17. 已知函数 ， .
（1）若 ，证明： ；
（2）若 ，证明： 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1） 求出函数导数判断函数单调性，利用单调性即可证明；
（2）求导可得 ，设 ，易得 在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司进而可求出函数 的符号分布情况，即可求出函数的极值点，再根据零点的存在性定理即可得证.
【小问1详解】
当 时， ，
，
所以 在 上单调递减，
所以当 时， ，
即 .
【小问2详解】
由题得 ，
因为 ，所以 ，设 ，
则 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，
，令 ，
所以当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上存在唯一极值点，
对函数 有 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上恒成立，
时 ，所以 时 ，
又因为 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以存在唯一零点 使得 ，即 在 上存在唯一零点.
18. 设数列 前 项之积为 ，满足 .
（1）求 ， ；
（2）证明数列 为等比数列，并求通项公式 ；
（3）设数列 的前 项之和为 ，证明： .
【答案】（1） ，
（2）证明见解析，
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据递推关系，将 代入即可求解；
（2）根据等比数列的定义证明 为等比数列，利用等比数列的通项公式和 与 的关系求通项公
式 即可；
（3）利用（2）中结论可得 ，通过判断增减性和放缩证明即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为数列 前 项之积为 ，满足 ，
所以当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
所以 ， .
【小问2详解】
由（1）易知 ，
由 可得当 时 ，
又因为当 时 ，所以 ，
两边同除以 得 ，即 ，
又 ， ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，解得 ，
当 时 ，当 时， ，
经检验当 时 仍成立，
所以 .
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（2）可得 ，
所以 ，所以 ，
当 时， ，
当 时 ，
则当 时
，
即随着 的增大， 不断减小，所以 ，
又 ，
所以 得证.
19. 设函数 .
（1）当 时，求 的最大值；
（2） ， ，使得 恒成立，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据两角和公式和二倍角公式化简 ，利用换元法可得 ， ，
再利用导数求 的最大值即可；
（2）将原问题转化为 ，按 的不同取值范围分类讨论即可.
【小问1详解】
当 时， ，
因为
，
所以 ，
令 ，则函数变为 ， ，原问题转化为求 的最大值，
因为 ，令 解得 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
因为 ， ，
的
所以 最大值为 ，即 的最大值为 .
【小问2详解】
问题转化对 ， 使 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司即 需满足 ，
其中 ， 为 在 的最小值，
设 ，则 时， ，
当 时， 的最小值为 ；
当 时， 的最小值为 （即 ）。
当 （ ）时， ，最大值为 ；
当 （ ）时， ，最大值为 ；
当 （ ）时， ，求导得 ，在区间内
单调递增，最大值为 ，
所以 的最小值为 .
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学科网（北京）股份有限公司
