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2025 年 4 月高三年级适应性考试
数学参考答案与评分建议
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C B C D B
二、选择题
题号 9 10 11
答案 AD CD ABC
三、填空题
12. − + i，
13. 15
14. 是；[−e,]
四、解答题
15.（13分）
解：(1)如图1所示，连接BC 交BC于N ，则N 是BC 的中点，又因为M 是AB的中
点,所以MN是ABC 的中位线，所以MN// AC .
1
又因为MN 平面BMC，AC 平面BMC，
所以AC //平面BMC
1
.……………………………………………………………………………………6分
图1
{#{QQABbYao4giYgFSACI4KAwWkCUiQsJCiJWoMBUCdOAwLQYNABIA=}#}(2)因为AC =BC =3,AB=3 2，即AC +BC = AB，所以AC⊥BC.
又因为平面BCC B ⊥平面ABC，平面BCC B 平面ABC=BC，
1 1
所以AC ⊥平面BCC B ，所以AC ⊥CC .
因为四边形BCC B 是正方形，所以CC ⊥ BC.
故CA,CB,CC 两两垂直.
1
以点C为坐标原点，CA,CB,CC 分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图2所示的空
1
间直角坐标系C−xyz.
图2
则C(0,0,0),C (0,0,3),A(3,0,0),B(0,3,0),B(0,3,3),
1 1
所以AC =(−3,0,3),CB =(0,3,3),AB=(−3,3,0),
1 1
1
因为AM = AB=(−1,1,0),所以CM =CA+AM =(2,1,0).
3
nCM =0 2x+ y =0
设n=(x,y,z)是平面BMC 的一个法向量，则 ,即 ，
1
nCB =0
3y+3z =0
1
取x=1，则y =−2,z =2，得n=(1,−2,2).
| AC n| 2
设直线AC 与平面BMC 所成的角为，则sin= 1 = ，
1 1
| AC ||n| 6
1
2
故直线AC 与平面BMC 所成的角的正弦值为 .
1 1
6
……………………………………………………………………………………13分
{#{QQABbYao4giYgFSACI4KAwWkCUiQsJCiJWoMBUCdOAwLQYNABIA=}#}16.（15分）
解：(1)a = ，a = .
.……………………………………………………………………………………2分
(2)解：由题意可得
a + a −
a −= n −= n
n+ a + a +
n n ，
a + (a +)
a += n += n
n+ a + a +
n n ，
a − a − −
所以 n+ = n ，即b = b ，又b = = ，
a + a + n+ n +
n+ n
所以{b }是等比数列，且b = .
n n n
.……………………………………………………………………………………8分
+
a − b + n n +
(3)由 n =b a = n = = .
a + n n −b n −
n n −
n
(n −)+
所以a = =+ .
n n − n −
3 1
≤ 34n−1≤4n −14n−1≥1，
4n −1 4n−1
而4n−1≥1显然成立（当且仅当n=时等号成立），
3 1
所以 ≤ .
4n −1 4n−1
+
（或者，由糖水不等式得，当n≥2时， = ）
n − (n −)+ n−
因此
1
1−
n
(a −1)≤
4n
=
4
−
1
4
.
k 1 3 34n−1 3
k=1 1−
4
.……………………………………………………………………………………15分
17.（15分）
解：(1)由题意得
c
+ =， = ，又a =b +c.
a b a
{#{QQABbYao4giYgFSACI4KAwWkCUiQsJCiJWoMBUCdOAwLQYNABIA=}#}联立解得a =,b =,c= .
x y
所以C的方程为 + =.
.……………………………………………………………………………………4分
(2)(i)F(− ,)，设l:x=my− ，A(x ,y ),B(x ,y ).
x=my−
(m +)y − my−=.
x +y −=
m −
所以y + y = ，y y = .
m + m +
所以
AB = +m (y + y ) −y y
m (m +)
= +m +
(m +) (m +)
(m +)
= .
m +
(m +)
由 = ，解得m =，即m=.
m +
所以直线l的斜率为.
.……………………………………………………………………………………9分
(ii)由(i)知直线AB的方程为x=y− ，根据对称性，只需考虑其中一种情况即可.
不妨取直线AB的方程为x−y+ =.
因为M 在C上，故可设M( cos, sin)，
则点M 到直线AB的距离为
2 2cos− 6sin+ 2 14cos(+)+ 2
14+ 2
d = = ≤ = 7+1.
2 2 2
当cos(+)=时，等号成立.
所以点M 到直线AB的距离的最大值为 +.
故△MAB面积的最大值为
{#{QQABbYao4giYgFSACI4KAwWkCUiQsJCiJWoMBUCdOAwLQYNABIA=}#}1 1 24 2 12 2
S = AB d = ( 7+1)= ( 7 +1).
2 2 7 7
.……………………………………………………………………………………15分
18.（17分）
解：(1)当a=时， f(x)=ex −x −，则 f()=， f'(x)=ex −x， f'()=.
故切线方程为y = x.
.……………………………………………………………………………………4分
(2)当a = 时， f(x)=ex −x − x−，则 f'(x)=ex −x− ， f''(x)=ex −.
令 f''(x)=ex −=，得x=ln.
当xln时， f''(x)；当xln时， f''(x).
所以 f(x)在(−,ln)上单调递减，在(ln,+)上单调递增.
1 3 3
所以 f '(x) = f '(ln2)=eln2 −2ln2− = −2ln2=2( −ln2).
min 2 2 4
因为e . =.=，所以 ln.
（或者，因为ln...= ）
故 f'(x) ，因此 f'(x)，从而 f(x)在R上单调递增.
min
.……………………………………………………………………………………10分
(3)解：当x=时，显然 f(x)≥0成立.
ex −x2 +2x−1
当x时， f(x)≥0 a≤ .
x
ex −x +x−
令g(x)= (x)，则
x
(x−)ex −x + (x−)(ex −x−)
g'(x)= = .
x x
令h(x)=ex −x−(x)，则h'(x)=ex −e −=. 所以h(x)在(,+)上单调递增，
故h(x)h()=，即ex −x−.
所以当 x时，g'(x)；当x时，g'(x).
{#{QQABbYao4giYgFSACI4KAwWkCUiQsJCiJWoMBUCdOAwLQYNABIA=}#}得g(x)在(,)上单调递减，在(,+)上单调递增，
故g(x) = g()=e.于是a≤e.
min
因此，a的取值范围是(−,e].
.……………………………………………………………………………………17分
19.（17分）
解：(1)记100名学生中恰有70人完成课程的人数为X ，则X B(,p).
所以 f(p)=C p(− p)，则
f '(p)=C70 70p69(1− p)30 −30p70(1− p)29=10C70 p69(1− p)29(7−10p).
100 100
令 f'(p)=，得 p=..
当 p(,.)时， f'(p)， f(p)单调递增；
当 p(.,)时， f'(p)， f(p)单调递减.
所以 f(p)的最大值点为 p =..
.……………………………………………………………………………………4分
(2)由(1)知， p =.，设新课C的用户占比达到x时满足要求.
事件M =“从完成课程的学生中随机抽取一名学生”，
事件N =“该学生使用A课程”，
事件N =“该学生使用B课程”，
事件N =“该学生使用C课程”.
则由全概率公式，有
P(M)=P(N )P(M N )+P(N )P(M N )+P(N )P(M N )，
因此
x x
P(M)=(0.5− )0.85+(0.5− )0.65+x0.7=0.75−0.05x.
2 2
由条件概率公式，得
P(N M)
P(N M)= ，
P(M)
所以
{#{QQABbYao4giYgFSACI4KAwWkCUiQsJCiJWoMBUCdOAwLQYNABIA=}#}.x
.= ，解得x= ..
.−.x
所以C用户占比需达到71.4%.
.……………………………………………………………………………………10分
（3）设随机变量Y 为新课程C产生的利润.
①若配置1套系统. 由于新课程C的用户占比总大于20%，所以运行一套系统即可，
无维护成本. 此时对应的
年利润Y =，P(Y =)=，
所以收益期望E(Y)=（万元）.
②若配置2套系统. 当20%≤X 40%时，运行一套系统，维护一套系统，
年利润Y =−=，P(Y =)=..
当X≥40%时，运行2两套系统，
年利润Y ==，P(Y =)=..
所以收益期望E(Y)=.+.=（万元）.
③当20%≤X 40%时，运行一套系统，维护2套系统，
年利润Y =−=，P(Y =)=..
当40%≤X 60%时，运行2套系统，维护1套系统，
年利润Y =−=，P(Y =)=..
当X≥60%时，运行3两套系统，
年利润Y =，P(Y =)=..
所以收益期望E(Y)=.+.+.=（万元）.
比较结果：配置3套系统时收益的期望最大（为183万元）.
综上，为使总收益期望最大，应配置3套智能辅导系统.
.……………………………………………………………………………………17分
{#{QQABbYao4giYgFSACI4KAwWkCUiQsJCiJWoMBUCdOAwLQYNABIA=}#}
