辽宁省大连市2024-2025学年高三上学期期末双基测数学试卷及答案_2025年1月_250116辽宁省大连市2024-2025学年高三1月期末双基测试（全科）

{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}2025 年大连市高三双基测试 数学参考答案 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一 半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、单项选择题： 1. C 2. A 3. B 4. C 5. B 6. C 7. A 8. D 二、多项选择题： 9. AD 10. ABD 11. ABD 三、填空题 9 12. 7 13. 4√3+2 14. 8 第14题答案提示：满足|𝑥−𝑚|+|𝑦−𝑛|=𝑑的点(𝑥,𝑦)在以(𝑚,𝑛)为中心，对角线长为2𝑑 的正方形上，如图（1）所示. 𝑓(𝑥) =|𝑎+1−sin𝑥|+ 1 |2𝑏+5−cos2𝑥| =|𝑎+1−sin𝑥|+|𝑏+2+sin2𝑥|， 2 令𝑡 =sin𝑥,𝑡 ∈[−1,1]，则y =|𝑎+1−𝑡|+|𝑏+2−(−𝑡2)|为(𝑎+1,𝑏+2)到 (𝑡,−𝑡2) ,𝑡 ∈[−1,1]的曼哈顿距离.故数形结合如图（2）所示可得最小值为 9 . 8 图（1） 图（2） 数学答案 第1页（共7页） {#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}四、解答题： 15．（本小题满分13分） 解析：（1）因为∠𝐵𝐴𝐶 =120°，𝐴𝐵 =𝐴𝐶，所以∠𝐴𝐶𝐷 =30°，因为𝐴𝐷 =𝐷𝐶，所以 ∠𝐷𝐴𝐶 =30°，因为∠𝐵𝐴𝐶 =120°，∠𝐵𝐴𝐷 =90°所以𝐴𝐷 ⊥𝐴𝐵，…………………………2分 又因为平面𝑃𝐴𝐵 ⊥平面𝐴𝐵𝐶，平面𝑃𝐴𝐵∩平面𝐴𝐵𝐶 =𝐴𝐵，𝐴𝐷 ⊂平面𝑃𝐴𝐷，所以𝐴𝐷 ⊥平面 𝑃𝐴𝐵，…………………………………………………………………………………………4分 又因为𝑃𝐵 ⊂平面𝑃𝐴𝐵，所以𝑃𝐵 ⊥𝐴𝐷．……………………………………………………5分 （2）在平面𝑃𝐴𝐵内，过点𝐴作𝐴𝐵的垂线交𝑃𝐵于𝐸，则𝐴𝐷 ⊥𝐴𝐸，以点𝐴为坐标原点， 数学答案 第2页（共7页） A B , A D , 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ 方向分别为𝑥,𝑦,𝑧轴正方向，建立如图所示 的空间直角坐标系𝐴−𝑥𝑦𝑧，不妨设𝐴𝐷 =𝐷𝐶 =1，则 𝐴𝐶 =√3，𝐵𝐴=𝐴𝑃 =√3，则 𝐴(0,0,0),𝐶(− √3 , 3 ,0),𝐷(0,1,0),𝑃(− √3 ,0, 3 )，𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ = 2 2 2 2 (− √3 , 1 ,0),𝐷⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ =(− √3 ,−1, 3 ) 2 2 2 2 设平面𝑃𝐴𝐷的法向量为𝑚⃗⃗ =(𝑥,𝑦,𝑧)， 𝑦=0 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ⋅𝑚⃗⃗ =0, 则{ 即{ ，令 √3 3 𝐴⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ ⋅𝑚⃗⃗ =0, − 𝑥+ 𝑧 =0 2 2 x = 3 ，可取𝑚⃗⃗ =(√3,0,1)，……………………8分 设平面𝑃𝐷𝐶的法向量为𝑛⃗ =(𝑝,𝑞,𝑟)， √3 1 𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ⋅𝑛⃗ =0, − 𝑝+ 𝑞 =0 则{ 即{ 2 2 ，令𝑝 =1，可得𝑛⃗ =(1,√3,√3)，………………10分 𝐷⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ ⋅𝑛⃗ =0, − √3 𝑝−𝑞+ 3 𝑟 =0 2 2 所以𝑐𝑜𝑠⟨𝑚⃗⃗ ,𝑛⃗ ⟩=| 2√3 |= √21，……………………………………………………………12分 2×√7 7 由图可知二面角𝐴−𝑃𝐷−𝐶的平面角为钝角， 因此二面角𝐴−𝑃𝐷−𝐶的余弦值为− √21．………………………………………………13分 7 16． （本小题满分15分） 解析：（1）设椭圆C与其伴随双曲线Γ的离心率分别为𝑒 ，𝑒 ， 1 2 依题意可得𝑎2 =4，𝑒 = √3 𝑒 ，即𝑒2 = 1 𝑒2， 1 3 2 1 3 2 即4−𝑏2 = 1 × 4+𝑏2 ，解得𝑏2 =2，…………………………………………………………4分 4 3 4 所以椭圆C：𝑦2 + 𝑥2 =1，则椭圆C伴随双曲线Γ的方程为𝑦2 − 𝑥2 =1．………………6分 4 2 4 2 {#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}（2） 由（1）可知𝐹(0,√6)，直线𝑙的斜率存在，故设直线𝑙的斜率为𝑘，𝐴(𝑥 ,𝑦 )，𝐵(𝑥 ,𝑦 )，则直 1 1 2 2 线𝑙的方程𝑦 =𝑘𝑥+√6， 与双曲线𝑦2 − 𝑥2 =1联立并消去𝑦，得(𝑘2−2)𝑥2+2√6𝑘𝑥+2=0，………………8分 4 2 则𝑘2−2≠0，𝛥 =16𝑘2+16 >0，𝑥 +𝑥 = −2√6𝑘，𝑥 𝑥 = 2 ，………………9分 1 2 𝑘2−2 1 2 𝑘2−2 𝑥 𝑥 = 2 <0则𝑘2 <2，……………………………………………………………10分 1 2 𝑘2−2 4√𝑘2+1 4√𝑘2+1 又|𝑥 −𝑥 |=√(𝑥 +𝑥 )2−4𝑥 𝑥 = = ， 1 2 1 2 1 2 √(𝑘2−2)2 2−𝑘2 则|𝐴𝐵|=√1+𝑘2 4√𝑘2+1 =8，解得𝑘2 =1，…………………………………………12分 2−𝑘2 又 𝑆 = 1 |𝑂𝐴||𝑂𝐵|sin𝜃 ， 所 以 𝑆 = 1 × |𝑂𝐴||𝑂𝐵|sin𝜃 = 1 |𝑂𝐴||𝑂𝐵|cos𝜃 = 1 𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ⋅𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ = 2 tan𝜃 2 tan𝜃 2 2 1 (𝑥 𝑥 +𝑦 𝑦 )= 1 [𝑥 𝑥 +(𝑘𝑥 +√6)(𝑘𝑥 +√6)]= 1 [(1+𝑘2)𝑥 𝑥 +√6𝑘(𝑥 +𝑥 )+6] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 因为𝑘2 =1，所以 𝑆 =7．……………………………………………………………15分 tan𝜃 17.（本小题共15分） sin𝐴 sin𝐶 𝑎 𝑐 解析：（1）由 + =1及正弦定理得 + =1， sin𝐵+sin𝐶 sin𝐴+sin𝐵 𝑏+𝑐 𝑎+𝑏 整理得𝑎2+𝑐2−𝑏2 =𝑎𝑐，由余弦定理得cos𝐵 = 𝑎2+𝑐2−𝑏2 = 1，………………2分 2𝑎𝑐 2 因为𝐵 ∈(0,𝜋)， 𝜋 所以𝐵 = ，……………………………………………………………………………4分 3 2𝜋 又𝐴+𝐵+𝐶 =𝜋，所以𝐴+𝐶 = ，则𝐴−𝐵 =𝐵−𝐶， 3 所以𝐴,𝐵,𝐶成等差数列．……………………………………………………………6分 （2）方法一：由（1）可知：𝑎2+𝑐2−𝑏2 =𝑎𝑐及𝑏 =√3，𝑐−𝑎=√2， 得𝑏2 =(𝑐−𝑎)2+𝑎𝑐，即(√3) 2 =(√2) 2 +𝑎𝑐，解得𝑎𝑐 =1，…………………8分 𝑎 sin𝐷 在△𝐵𝐶𝐷中，由正弦定理得 = ， 𝐶𝐷 sin∠𝐶𝐵𝐷 数学答案 第3页（共7页） {#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}𝑐 sin𝐷 在△𝐴𝐵𝐷中，由正弦定理得 = ， 𝐴𝐷 sin∠𝐴𝐵𝐷 𝑎 𝑐 由 = 得sin∠𝐶𝐵𝐷 =sin∠𝐴𝐵𝐷，……………………………………………………10分 𝐶𝐷 𝐴𝐷 所以∠𝐶𝐵𝐷+∠𝐴𝐵𝐷 =𝜋， 即∠𝐶𝐵𝐷+∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐶𝐵𝐷 =𝜋，所以∠𝐶𝐵𝐷 = 𝜋， …………………………………12分 3 设△𝐴𝐵𝐷的面积为𝑆 ， △𝐴𝐵𝐷 则𝑆 = 1 𝑐𝐵𝐷sin∠𝐴𝐵𝐷 = 1 𝑐𝑎sin∠𝐴𝐵𝐶+ 1 𝑎𝐵𝐷sin∠𝐶𝐵𝐷， △𝐴𝐵𝐷 2 2 2 即𝑐𝐵𝐷 =1+𝑎𝐵𝐷，又𝑐−𝑎 =√2，解得𝐵𝐷 = √2，所以𝐵𝐷的长为 2 数学答案 第4页（共7页） 2 2 .………………15分 方法二：由（1）可知：𝑎2+𝑐2−𝑏2 =𝑎𝑐及𝑏=√3，𝑐−𝑎=√2， 得c= √6+√2 , …………………………………………………………………………………7分 2 𝑎 = √6−√2，…………………………………………………………………………………8分 2 在△𝐴𝐵𝐶中，cos∠𝐵𝐶𝐴= 𝑎2+3−𝑐2 = √2−√6，则cos∠𝐵𝐶𝐷 = √6−√2，…………………10分 2√3𝑎 4 4 又 𝑎 = 𝑐 ，则 √6− 2 √2 = √6+ 2 √2 ，解得𝐶𝐷 = 3−√3，………………………………………12分 𝐶𝐷 𝐴𝐷 𝐶𝐷 𝐶𝐷+√3 2 在△𝐵𝐶𝐷中，由余弦定理知𝐵𝐷2 =𝑎2+𝐶𝐷2−2𝑎𝐶𝐷cos∠𝐵𝐶𝐷 = 1 ， 2 即𝐵𝐷 = √2，所以𝐵𝐷的长为 2 2 2 .………………………………………………………15分 18．（本小题共17分） 解析：（1）欲证原不等式只需证ln𝑥− 1 𝑥2 <− 𝑥，令𝐹(𝑥) =ln𝑥− 1 𝑥2，则𝐹′(𝑥)= 1−𝑥2 ，令 2 e𝑥 2 𝑥 𝐹′(𝑥)>0，解得0<𝑥 <1；令𝐹′(𝑥)<0，解得𝑥 >1，即𝐹(𝑥)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞) 上单调递减，则𝐹(𝑥) ≤𝐹(1) =− 1 . ……………………………………………………2分 2 令𝐺(𝑥) =− 𝑥 （𝑥 >0），则𝐺′(𝑥) = 𝑥−1，令𝐺′(𝑥)<0，解得0<𝑥 <1；令𝐺′(𝑥)>0，解得 e𝑥 e𝑥 𝑥 >1 ， 即𝐺(𝑥) 在(0,1) 上 单调 递减 ，在(1,+∞) 上 单调 递增 ，则𝐺(𝑥) ≥𝐺(1) = − 1 . …………………………………………………………………………………………4分 𝑒 又− 1 <− 1，则ln𝑥− 1 𝑥2 <− 𝑥，原不等式得证. ……………………………………5分 2 𝑒 2 e𝑥 （2） 𝑚(𝑥) =𝑎ln𝑥−2ln(𝑥+1)， 𝑚′(𝑥)= 𝑎 − 2 = (𝑎−2)𝑥+𝑎， 𝑥 𝑥+1 𝑥(𝑥+1) 令𝑚′(𝑥)=0，解得𝑥 = 𝑎 ，……………………………………………………………6分 2−𝑎 {#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}因为0<𝑎<2,所以 𝑎 >0 ，又𝑥 >0， 2−𝑎 当𝑥变化时，𝑚′(𝑥)，𝑚(𝑥)的变化情况如下表： 𝑎 𝑎 𝑎 𝑥 (0, ) ( ,+∞) 2−𝑎 2−𝑎 2−𝑎 𝑚′(𝑥) 数学答案 第5页（共7页） + 0 − 𝑚(𝑥) ↗ 极大值 ↘ 则函数𝑦 =𝑚(𝑥)单调递增区间是(0, 𝑎 )，单调递减区间是( 𝑎 ,+∞)，………………8分 2−𝑎 2−𝑎 即𝑚(𝑥)的最大值为 𝑚( 𝑎 )=𝑎ln 𝑎 −2ln( 𝑎 +1)=𝑎ln𝑎+(2−𝑎)ln(2−𝑎)−2ln2. ………9分（不化简不 2−𝑎 2−𝑎 2−𝑎 扣分） （3）设ℎ(𝑎)=𝑎ln𝑎+(2−𝑎)ln(2−𝑎)，(0<𝑎 <2)，ℎ′(𝑎)=ln𝑎−ln(2−𝑎)， 令ℎ′(𝑎)=0，解得𝑎 =1.又0 <𝑎<2，当𝑎变化时，ℎ′(𝑎)，ℎ(𝑎)的变化情况如下表： 𝑎 (0,1) 1 (1,2) ℎ′(𝑎) − 0 + ℎ(𝑎) ↘ 极小值 ↗ 而ℎ(1)=0， 则𝑎ln𝑎+(2−𝑎)ln(2−𝑎)≥0，………………………………………11分 2 3 2𝑛−1 当𝑛 ≥2时，要证( 1 )( 2 ) ( 3 ) ⋯( 2𝑛−1 ) >1， 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 2 3 2𝑛−1 两边同时取对数，即证ln[( 1 )( 2 ) ( 3 ) ⋯( 2𝑛−1 ) ]>ln1，即证 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 2𝑛−1 𝑘 ∑ 𝑘⋅ln( )>0 𝑛 𝑘=1 两边同时乘以2，即证 𝑛 2𝑛−1 𝑘 𝑘 2 ∑ ( )⋅ln( )>0 𝑛 𝑛 𝑘=1 而 2𝑛−1 𝑘 𝑘 2 ∑ ( )⋅ln( ) 𝑛 𝑛 𝑘=1 2𝑛−1 2𝑛−1 𝑘 𝑘 2𝑛−𝑘 2𝑛−𝑘 = ∑ ( )⋅ln( )+ ∑ ( )⋅ln( ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑘=1 𝑘=1 {#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}2𝑛−1 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 = ∑ [( )⋅ln( )+(2− )⋅ln(2− )] 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑘=1 ………………15分 又𝑎ln𝑎+(2−𝑎)ln(2−𝑎)≥0， 令𝑎= 𝑘，(𝑘 =1，2⋯，2𝑛−1)，𝑘 ∈(0,2)，代入上式， 𝑛 𝑛 得( 𝑘 )⋅ln( 𝑘 )+(2− 𝑘 )⋅ln(2− 𝑘 )≥0，且只有在𝑘 =𝑛时等号成立，所以有 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 2𝑛−1 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 ∑ [( )⋅ln( )+(2− )⋅ln(2− )]>0 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑘=1 原不等式得证. ………………………………………………………………………………17分 19.（本小题满分17分） 解析：（1）因为 数学答案 第6页（共7页） 4 3 − − 3 1 = 1 2 ， 5 4 − − 4 2 = 1 2 ， 6 5 − − 5 3 = 1 2 ， 1 所以数列1，2，3，4，5，6的所有商 子列为 2 1，3，4； 2，4，5； 3，5，6. ………………………………………………………3分 （2）由题意， a − l+ 2 a − l+ 1 a l+ a l 1  1 ，从而 a l+ 2 − a l+ 1  a l+ 1 − a l ，𝑙 ∈ {1,2,…,𝑛−2} ，…………4分 因为 1  i  j  k  n ，所以 𝑎𝑘−𝑎𝑗 = (𝑎𝑘−𝑎𝑘−1 )+(𝑎𝑘−1−𝑎𝑘−2 )+⋯+(𝑎𝑗+1−𝑎𝑗) ≥ (𝑘−𝑗)(𝑎𝑗+1−𝑎𝑗) =𝑎 −𝑎 ，……………………6分 𝑗+1 𝑗 𝑘−𝑗 𝑘−𝑗 𝑘−𝑗 𝑎𝑗−𝑎𝑖 = (𝑎𝑗−𝑎𝑗−1)+(𝑎𝑗−1−𝑎𝑗−2)+⋯+(𝑎𝑖+1−𝑎𝑖 ) ≤ (𝑗−𝑖)(𝑎𝑗−𝑎𝑗−1) =𝑎 −𝑎 ，……………………8分 𝑗 𝑗−1 𝑗−𝑖 𝑗−𝑖 𝑗−𝑖 因为𝑎 −𝑎 ≥𝑎 −𝑎 ，所以 𝑎𝑘−𝑎𝑗 ≥ 𝑎𝑗−𝑎𝑖. ……………………………………………9分 𝑗+1 𝑗 𝑗 𝑗−1 𝑘−𝑗 𝑗−𝑖 a −a （3）由题意 l+2 l+1 =2，得𝑎 −2𝑎 =𝑎 −2𝑎 ， a −a 𝑙+2 𝑙+1 𝑙+1 𝑙 l+1 l 所以𝑎 −2𝑎 =𝑎 −2𝑎 =⋯=𝑎 −2𝑎 =𝑎 −2𝑎 =0 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−2 3 2 2 1 又因为𝑎 =1，故𝑎 =2𝑛−1,𝑛 ∈ 𝐍∗………………………………………………………11分 1 𝑛 (求通项公式的方法很多，其他方法请酌情给分) 设数列 a ,i a j , a k (1  i  j  k  n ) 是数列  a n  a −a 的商2子列，则 k j =2，即 a −a j i 2 2 k − 1 j− 1 − − 2 2 j− 1 i− 1 = 2 ， 整理得2k−i−1=32j−i−1−1，又k−i−12−1=1，所以2k−i−1为偶数，进而32j−i−1为奇数，所 以 j−i−1=0，进而2k−i−1 =2，k−i=2， {#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}故数列 数学答案 第7页（共7页）  a n  的商2子列只有数列a,a ,a (1ln−2).………………………………14分 l l+1 l+2 综上，数列  a n  的商2子列共有n−2个， 而数列 a ,i a j , a k (1  i  j  k  n ) 的个数为 C 3n = n  ( n − 1 ) 6  ( n − 2 ) ， 所以 P n = n C − 3n 2 = n  ( 6 n − 1 ) .…………………………………………………………………15分 因为 1 n  n 1 − 1 ， 2 n  n 3 + 1 6 6 9 6 9 ，所以   ，即 P  .……………17分 n2 n(n−1) n2−1 n2 n n2−1 {#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}