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2025——2026 学年度上学期高中学段
高三联合考试数学科试卷
答题时间:120分钟 满分:150分 命题人 校对人:庞德艳 张欣
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知随机变量 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设集合 ， ， 且 ，则集合 （
）
A. B. C. D.
3. 已知随机变量 服从正态分布 ，有下列四个命题：
甲： ；
乙： ；
丙： ；
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4. 下列条件中，使 成立的必要而不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知 是定义域为 的偶函数，对 ，都有 当 时，
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学科网（北京）股份有限公司则 =（ ）
A. B. C. D.
6. 柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在
数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式： ，当且仅当
时等号成立.根据柯西不等式，已知 ， ，且 ，则 的
最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列 满足对任意正整数 恒有 ，且 ，
，则 的前30项的和为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 ，若 ，则m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一．我国某省
2024年9月份至2025年1月份这5个月新能源汽车月销量 （单位：千辆）与月份代码 的数据如表所示：
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学科网（北京）股份有限公司2024年10 2024年11 2024年12
月份 2024年9月 2025年1月
月 月 月
月份代码 1 2 3 4 5
月销量 /千
21 52 109
辆
若 与 线性相关，且经验回归方程为 ，则（ ）
A. B. 样本相关系数在 内
C. 相对于点 的残差为 D. 2025年2月份的销量一定为13.42万辆
10. 已知函数 其中 若 ， ，则下列结论正确
的是（ ）
.
A
B. 的图象关于直线 对称
的
C. 过点 直线与 的图象一定有公共点
D. 在 上单调递减
11. 记 、 分别为函数 、 的导函数，若存在 ，满足 且
，则称 为函数 与 的一个“ 点”，则下列说法正确的为（ ）
A. 函数 与 存在唯一“ 点”
B. 函数 与 存在两个“ 点”
C. 函数 与 不存在“ 点”
D. 若函数 与 存在“ 点”，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
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学科网（北京）股份有限公司12. 在等比数列 中， 是函数 的极值点，则 ______
13. 已知 ，则 _____．
14. 已知集合 ，集合 满足：①每个集合都恰有 8 个元素，②
的
集合 中元素 最大值与最小值之和称为集合 的特征数，记为 ，则
的最大值与最小值的和为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ，
（1） 的最小正周期是 ，求 ，并求 在区间 的解集；
（2）已知 ， ， ，求 值域和单调区间．
的
16. 等差数列 的首项 ，公差 ，前 项和 满足
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，求 .
17. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的
直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
直播带货评级
合计
优秀 良
本科及以上 60 40 100
主播的学历层次
专科及以下 30 70 100
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学科网（北京）股份有限公司合计 90 110 200
（1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？
（2）统计学中常用 表示在事件 条件下事件 发生的优势，称为似然比，当
时，我们认为事件 条件下 发生有优势.现从这200人中任选1人， 表示“选到的主播
带货良好”. 表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计 的值，并判断事
件 条件下 发生是否有优势：
（3）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人
中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数 的概率分布和数学期望.
附： ， .
0.050 0.010 0.001
.
1082
3.841 6.635
8
18. 已知 .
（1）若 ， ，求 ；
（2）设 ， ，证明： ；
（3）在（2）的条件下，若 ，证明数列 为等比数列并求 的通项公式.
19. 已知函数 （ ，且 ）.
（1）当 时，证明： 为增函数；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 存在两个极值点 ， .
（i）求 的取值范围；
（ii）设 的极大值为 ，求 的取值范围.
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