2010年海南高考理科数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-
（24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答
题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上
的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号
，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效
。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题
号涂黑。
参考公式：
样本数据x ,x , x 的标准差 锥体体积公式
1 2 n
1 1
s = [(x -x)2 +(x -x)2 + +(x -x)2] V = Sh
n 1 2 n 3
其中x为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式
球的表面积，体积公式[来源:Z。xx。k.Com]
4
V =Sh S = 4pR2 V = pR3
3
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第1页 | 共22页第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
（1）已知集合A={|x|£2,xÎR}},B={x| x £4,xÎZ},则AÇB=
(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}
3+i
(2)已知复数z = ，z是z的共轭复数，则z·z=
(1- 3i)2
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
x
(3)曲线y = 在点（-1，-1）处的切线方程为
x+2
（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2
(4)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P （ 2 ，-
0
2 ），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为
（5）已知命题
p ：函数y =2x -2-x在R为增函数，
1
第2页 | 共22页p ：函数y =2x +2-x在R为减函数，
2
则在命题q ： p Ú p ，q ： p Ù p ，q ：-p Ú p 和q ： p Ù-p 中，真命
1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2
题是
（A）q ，q （B）q ，q （C）q ，q （D）q ，q
1 3 2 3 1 4 2 4
（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需
再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为
（A）100 （B）200 （C）300 （D）400
（7）如果执行右面的框图，输入N =5，则输出的数等于
5
（A）
4
4
（B）
5
6
（C）
5
5
（D）
6
（8）设偶函数 f(x)满足 f(x)= x3-8(x³0)，则{x| f(x-2)>0}=
(A) {x|x<-2或x>4} (B) {x|x<0或x>4}
第3页 | 共22页(C) {x|x<0或x>6} (D) {x|x<-2或x>2}
a
1+tan
4
2
（9）若cosa=- ，a是第三象限的角，则 =
5 a
1-tan
2
1 1
(A) - (B) (C) 2(D) -2
2 2
（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表
面积为
7 11
(A)
pa2
(B)
pa2
(C)
pa2
(D)
5pa2
3 3
ì|lgx|,0< x£10,
ï
（11）已知函数 f(x)=í 1 若a,b,c互不相等，且 f(a)= f(b)= f(c),则
- x+6,x>10.
ï
î 2
abc的取值范围是
(A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24)
（12）已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两
点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程式为
x2 y2 x2 y2
(A) - =1 (B) - =1
3 6 4 5
x2 y2 x2 y2
(C) - =1 (D) - =1
6 3 5 4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都
必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）设y = f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0£ f(x)£1，可以用随机模拟方法
1
近似计算积分ò f(x)dx，先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数x ,x ,… x
1 2 N
0
和y ,y ,… y ，由此得到N个点(x ,y )(i =1,2,… ,N)，再数出其中满足
1 2 N 1 1
第4页 | 共22页1
y £ f(x )(i =1,2,… ,N)的点数N ，那么由随机模拟方案可得积分ò f(x)dx的近似值为
1 1 1
0
。
（14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）
（15）过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为____
1
(16)在△ABC中，D为边BC上一点，BD= DC，ÐADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为
2
3- 3，则ÐBAC=_______
三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤
（17）（本小题满分12分）
设数列a 满足a =2,a -a =3 22n-1
n 1 n+1 n g
（1） 求数列a 的通项公式；
n
（2） 令b =na ，求数列的前n项和S
n n n
(18)（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-
ABCD的底面为等腰梯形，ABPCD,AC^BD，垂足为
H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点
（1） 证明：PE^BC
（2） 若ÐAPB=ÐADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值
(19)(本小题12分)
为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老
年人，结果如下：
是否需要志愿 性别 男 女
需要 40 30
不需要 160 270
（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助
的老年人的比例？说明理由
第5页 | 共22页附：
（20）（本小题满分12分）
x2 y2
设F,F 分别是椭圆E: + =1(a >b>0)的左、右焦点，过F 斜率为1的直线i
1 2 a2 b2 1
与E相交于A,B两点，且 AF , AB , BF 成等差数列。
2 2
（1）求E的离心率；
（2） 设点 p(0,-1)满足 PA = PB ，求E的方程
（21）（本小题满分12分）
设函数 f(x)=ex -1-x-ax2。
（1） 若a=0，求 f(x)的单调区间；
（2） 若当x³0时 f(x)³0，求a的取值范围
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已经圆上的弧 ，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；
（Ⅱ）BC2=BF×CD。
第6页 | 共22页（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
ìx =1+tcosa ìx =cosq
已知直线C í （t为参数），C í （q为参数），
1 îy =tsina 2 îy =sinq
p
（Ⅰ）当a= 时，求C 与C 的交点坐标；
1 2
3
（Ⅱ）过坐标原点O做C的垂线，垂足为 ，P为OA中点，当a变化时，求P点的轨迹的参数
1
方程，并指出它是什么曲线。
（24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选项
设函数 f(x)=2x-4l+1
（Ⅰ）画出函数y = f(x)的图像
（Ⅱ）若不等式 f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围。
第7页 | 共22页数学试题参考答案
一、选择题
（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）B
（7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B
二、填空题
N
（13） 1 （14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）
N
（15）(x-3)2 + y2 =2 （16）60°
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）由已知，当n≥1时，
a =[(a -a )+(a -a )+ +(a -a )]+a
n+1 n+1 n n n-1 2 1 1
=3(22n-1+22n-3+ +2)+2
=22(n+1)-1。
而 a =2,
1
所以数列{a }的通项公式为a =22n-1。
n n
（Ⅱ）由b =na =n×22n-1知
n n
S n =1×2+2×23+3×25 + +n×22n-1 ①
从而
22×S n =1×23+2×25 +3×27 + +n×22n+1 ②
①-②得
(1-22)×S =2+23 +25 + +22n-1-n×22n+1 。
n
1
即 S = [(3n-1)22n+1+2]
n 9
（18）解：
以H 为原点，HA,HB,HP 分别为x,y,z轴，线段HA的长为单位长，
建立空间直角坐标系如图， 则A(1,0,0),B(0,1,0)
第8页 | 共22页（Ⅰ）设 C(m,0,0),P(0,0,n)(m
p
0,n
f
0)
1 m
则 D(0,m,0),E( , ,0).
2 2
1 m
可得 PE =( , ,-n),BC =(m,-1,0).
2 2
m m
因为PE×BC = - +0=0
2 2
所以 PE ^ BC
3 3
（Ⅱ）由已知条件可得 m=- ,n=1,故 C( - ,0,0)
3 3
3 1 3
D(0,- ,0),E( ,- ,0),P(0,0,1)
3 2 6
设 n=(x,y,x)为平面PEH 的法向量
ì ïn×HE =o, ì ï 1 x- 3 y=0
2 6
则 í 即í
ïîn×HP=o, ï î z =0
因此可以取n=(1, 3,0)，
uuur
由PA=(1,0,-1)，
uuur 2
可得 cos PA,n =
4
2
所以直线PA与平面PEH 所成角的正弦值为
4
（19）解：
第9页 | 共22页（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要
70
帮助的老年人的比例的估算值为 =14%
500
500´(40´270-30´160)2
（2）K2 = =9.967。
200´300´70´430
由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。
(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区
男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老
年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽
样方法更好．
（20.）解：
（I）由椭圆定义知 AF + BF + AB =4a，又2 AB = AF + BF ，
2 2 2 2
4
得 AB = a
3
l的方程为y = x+c，其中c= a2 -b2 。
设Ax ,y ，Bx ,y ，则A、B两点坐标满足方程组
1 1 2 2
ìy = x+c
ï
íx2 y2
+ =1
ï
îa2 b2
化简的 a2 +b2 x2 +2a2cx+a2 c2 -b2 =0
-2a2c a2 c2 -b2
则x +x = ,x x =
1 2 a2 +b2 1 2 a2 +b2
因为直线AB斜率为1，所以 AB = 2 x -x = 2éx +x 2 -4x x ù
2 1 ë 1 2 1 2û
4 4ab2
得 a= ,故a2 =2b2
3 a2 +b2
c a2 -b2 2
所以E的离心率e= = =
a a 2
（II）设AB的中点为Nx ,y ，由（I）知
0 0
第10页 | 共22页x +x -a2c 2 c
x = 1 2 = =- c，y = x +c= 。
0 2 a2 +b2 3 0 0 3
由 PA = PB ，得k =-1，
PN
y +1
即 0 =-1
x
0
得c=3，从而a=3 2,b=3
x2 y2
故椭圆E的方程为 + =1。
18 9
（21）解：
（1）a=0时， f(x)=ex -1-x， f '(x)=ex -1.
当xÎ(-¥,0)时， f '(x)<0；当xÎ(0,+¥)时， f '(x)>0.故 f(x)在(-¥,0)单调
减少，在(0,+¥)单调增加
（II） f '(x)=ex -1-2ax
由（I）知ex ³1+x，当且仅当x=0时等号成立.故
f '(x)³ x-2ax=(1-2a)x，
1
从而当1-2a³0，即a£ 时， f '(x)³0 (x³0)，而 f(0)=0，
2
于是当x³0时， f(x)³0.
1
由ex >1+x(x¹0)可得e-x >1-x(x¹0).从而当a> 时，
2
f '(x)<ex -1+2a(e-x -1)=e-x(ex -1)(ex -2a)，
故当xÎ(0,ln2a)时， f '(x)<0，而 f(0)=0，于是当xÎ(0,ln2a)时， f(x)<0.
1
综合得a的取值范围为(-¥, ].
2
（22）解：
（I）因为AC = BC,
所以ÐBCD=ÐABC .
又因为EC与圆相切于点C，故ÐACE =ÐABC ，
第11页 | 共22页所以ÐACE =ÐBCD.
（II）因为ÐECB=ÐCDB,ÐEBC =ÐBCD,
BC CD
所以DBDC∽DECB，故 = ，
BE BC
即BC2 = BE´CD.
(23)解：
p
a=
（Ⅰ）当 3 时，C 的普通方程为y = 3(x-1)，C 的普通方程为x2 + y2 =1。联立
1 2
ìïy = 3(x-1) æ1 3ö
方程组í ，解得C 与C 的交点为（1,0）ç ，- ÷。
ïîx2 + y2 =1 1 2 ç è 2 2 ÷ ø
（Ⅱ）C 的普通方程为xsina- ycosa-sina=0。
1
A点坐标为 sin2a-cosasina ，
故当a变化时，P点轨迹的参数方程为：
ì 1
x= sin2a
ï
ï 2
í
a为参数
1
ï
y =- sinacosa
ïî 2
2
æ 1ö 1
x- + y2 =
ç ÷
è 4ø 16
P点轨迹的普通方程为 。
æ1 ö 1
故P点轨迹是圆心为ç ，0 ÷，半径为 的圆。
è4 ø 4
（24） 解：
ì-2x+5，x<2
f(x)=í
（Ⅰ）由于
î2x-3，x³2
则函数y = f(x)的图像如图所示。
第12页 | 共22页1
a³
y = f(x) y =ax 2 a<-2
（Ⅱ）由函数 与函数 的图像可知，当且仅当 或 时，函数
y = f(x) y =ax f(x)£ax a
与函数 的图像有交点。故不等式 的解集非空时， 的取值范围
为
é1 ö
-¥，-2 ，+¥
Uê ÷
ë2 ø
。
第13页 | 共22页选择填空解析：
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2010•海南）已知集合A={x∈R||x|≤2}}， ，则A∩B=（
）
A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2] D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
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【专题】计算题．
【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求
解．
【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，
故A∩B={0，1，2}．
应选D．
【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函
数等知识，属于基础题．
2．（5分）（2010•海南）已知复数 ， 是z的共轭复数，则 =（
）
A． B． C．1 D．2
【考点】复数代数形式的混合运算．
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【分析】因为 ，所以先求|z|再求 的值．
【解答】解：由 可得 ．
另解：
故选A．
【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数
的一些运算性质可以简化运算．
3．（5分）（2010•海南）曲线y= 在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】常规题型；计算题．
第14页 | 共22页【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数
求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决
．
【解答】解：∵y= ，
∴y′= ，
所以k=y′| =2，得切线的斜率为2，所以k=2；
x=﹣1
所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：
y+1=2×（x+1），即y=2x+1．
故选A．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方
程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
4．（5分）（2010•新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P
0
（ ，﹣ ），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
A． B． C．
D．
【考点】函数的图象．
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【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案
．
【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为 ，于是可以排除答案A，D，
再根据当 时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，
故应选C．
【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题
．
第15页 | 共22页5．（5分）（2010•海南）已知命题p ：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p ：函数y=2x+2﹣x在
1 2
R为减函数，则在命题q ：p ∨p ，q ：p ∧p ，q ：（￢p ）∨p 和q ：p ∧（￢p ）中，真
1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2
命题是（ ）
A．q ，q B．q ，q C．q ，q D．q ，q
1 3 2 3 1 4 2 4
【考点】复合命题的真假；指数函数与对数函数的关系．
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【专题】简易逻辑．
【分析】先判断命题p 是真命题，P 是假命题，故p ∨p 为真命题，（﹣p ）为真命题，p ∧
1 2 1 2 2 1
（﹣p ）为真命题．
2
【解答】解：易知p 是真命题，而对p ：y′=2xln2﹣ ln2=ln2（ ），
1 2
当x∈[0，+∞）时， ，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；
同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p 是假命题．
2
由此可知，q 真，q 假，q 假，q 真．
1 2 3 4
故选C．
【点评】只有p 与P 都是真命题时，p ∧p 才是真命题．只要p 与p 中至少有一个真命题，p
1 2 1 2 1 2
∨p 就是真命题．
1 2
6．（5分）（2010•海南）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有
发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．
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【专题】计算题；应用题．
【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽
率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个
，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．
【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000
，0.1）．
而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X
故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．
故选B．
【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．
属于基础性题目．
7．（5分）（2010•新课标）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）
第16页 | 共22页A． B． C． D．
【考点】设计程序框图解决实际问题．
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【专题】操作型．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的
作用是累加并输出S= 的值．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出S= 的值．
∵S= =1﹣ =
故选D．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其
处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的
类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进
行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
8．（5分）（2010•海南）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}
=（ ）
A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}
【考点】偶函数；其他不等式的解法．
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【专题】计算题．
【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶
函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．
【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，
第17页 | 共22页则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2
解得x＞4，或x＜0．
应选：B．
【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键
是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．
9．（5分）（2010•海南）若 ，α是第三象限的角，则 =（ ）
A． B． C．2 D．﹣2
【考点】半角的三角函数；弦切互化．
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【专题】计算题．
【分析】将欲求式 中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角
的差别，注意消除它们之间的不同．
【解答】解：由 ，α是第三象限的角，
∴可得 ，
则 ，
应选A．
【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知
识以及相应的运算能力．
10．（5分）（2010•海南）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球
面上，则该球的表面积为（ ）
A．πa2 B． C． D．5πa2
【考点】球内接多面体．
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【专题】计算题．
【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表
面积．
【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点
就是球心，则其外接球的半径为 ，
第18页 | 共22页球的表面积为 ，
故选B．
【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和
空间形象能力．
11．（5分）（2010•海南）已知函数 ，若a，b，c互不相等
，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函
数的图像与性质．
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【专题】作图题；压轴题；数形结合．
【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可
．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，
则abc=c∈（10，12）．
故选C．
【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．
12．（5分）（2010•海南）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线
l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
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【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减
得x +x =﹣24，根据 = ，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可
1 2
得答案．
【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k =1，
PN
第19页 | 共22页设双曲线方程为 ，
A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则有 ，
两式相减并结合x +x =﹣24，y +y =﹣30得
1 2 1 2
= ，
从而= =1
即4b2=5a2，
又a2+b2=9，
解得a2=4，b2=5，
故选B．
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力
．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（2010•海南）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可
以用随机模拟方法近似计算积分 ，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的
均匀随机数x ，x ，…x 和y ，y ，…y ，由此得到N个点（x，y）（i=1，2，…，N），再
1 2 N 1 2 N i i
数出其中满足y≤f（x）（i=1，2，…，N）的点数N ，那么由随机模拟方案可得积分
i i 1
的近似值为 ．
【考点】模拟方法估计概率；定积分在求面积中的应用；几何概型．
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【专题】计算题．
【分析】要求∫ f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．
【解答】解：由题意可知 得 ，
故积分 的近似值为 ．
故答案为： ．
第20页 | 共22页【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基
础题．
14．（5分）（2010•海南）正视图为一个三角形的几何体可以是
三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分） （写出三种）
【考点】简单空间图形的三视图．
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【专题】阅读型．
【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视
图为线段的情形，即可回答本题．
【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥
、四棱锥等等．
故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．
【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力．
15．（5分）（2010•海南）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆
C的方程为 （x﹣3）2+y2=2 ．
【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．
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【专题】压轴题．
【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切
，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．
【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，
则 ，
解得 ，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．
故答案为：（x﹣3）2+y2=2．
【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解
．
16．（5分）（2010•海南）在△ABC中，D为边BC上一点，BD= DC，∠ADB=120°，AD=
2，若△ADC的面积为 ，则∠BAC= 60° ．
【考点】余弦定理的应用．
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【专题】计算题；压轴题．
【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积
求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BA
C，求得∠BAC的值．
【解答】解：由△ADC的面积为 可得
解得 ，则 ．
AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°= ，
第21页 | 共22页，
则 = ．
故∠BAC=60°．
【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决
问题的能力以及相应的运算能力．
第22页 | 共22页
