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2010年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）
文科数学
参考公式：
样本数据x ,x x 的标准差 锥体体积公式
1 2L n
1 1
s = é(x - x)2 +(x - x)2 + +(x - x)2ù V = sh
në 1 2 L n û 3
其中x为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积，体积公式
4
V =Sh S =4pR2,V = pR3
3
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A= x x £2,xÎR,B= x| x £4,xÎZ |，则A B=
I
（A）（0，2） （B）[0，2] （C）|0，2| （D）|0，1，2|
（2）a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a，b夹角的余弦
值等于
8 8 16 16
（A） （B）- （C） （D）-
65 65 65 65
3+i
（3）已知复数z = ，则︱z︱=
(1- 3i)2
1 1
(A) （B） （C）1 （D）2
4 2
（4）曲线y= x2 -2x+1在点（1,0）处的切线方程为
（A）y = x-1 （B）y =-x+1
（C）y =2x-2 （D）y =-2x+2
（5）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-
2），则它的离心率为
（A） 6 （B） 5
第1页 | 共6页6 5
（C） （D）
2 2
（6）如图，质点 p在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为 p （ 2 ，
0
- 2 ），角速度为1，那么点 p到x轴距离d 关于时间t的函数图像大致为
(7)
设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面
积为
（A）3pa2 （B）6pa2 （C）12pa2 （D） 24pa2
（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数
等于
5
（A）
4
4
（B）
5
6
（C）
5
5
（D）
6
(9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x³0），则
x f x-2>0 =
（A） x x<-2或x>4 （B）
x x<0或x>4
（C） x x<0或x>6 （D） x x<-2或x>2
4 p
（10）若sina= - ，a是第一象限的角，则 sin(a+ )=
5 4
第2页 | 共6页7 2 7 2 2 2
（A）- （B） （C） - （D）
10 10 10 10
（11）已知 ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-
2），点（x，y）在 ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是
（A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20）
ìlgx1,0£ x£10
ï
（12）已知函数f(x)= í 1 若a，b，c互不相等，且f(a)= f(b)=
ï- x+6,x>0
î 2
f(c)，则abc的取值范围是
（A）（1，10） （B）(5，6) （C）(10，12) （D）(20，24)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每
个试题考生都必须做答。第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做
答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）圆心在原点上与直线x+ y-2=0相切的圆的方程为 。
（14）设函数y = f(x)为区间0,1上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有
0£ f x£1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y = f(x)及直线x=0，x=1
，y =0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N 个）区间0,1上的均匀随机
数x x x 和y y y ，由此得到N个点（x，y）（i=1，2，…，N）.再数出其
1, 2..... n 1, 2..... n i i
中满足y y£≤ff((xx)(i =1,2.....N)的点数N ，那么由随机模拟方法可得S的近似值为___
1 i i 1
________
(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_
______(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
(16)在△ABC中，D为BC边上一点， BC =3BD,AD= 2,ÐADB=135o.若
AC = 2AB，则BD=________ .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
设等差数列a 满足a =5，a =-9。
n 3 10
第3页 | 共6页（Ⅰ）求a 的通项公式；
n
（Ⅱ）求a 的前n项和S 及使得S 最大的序号n的值。
n n n
（18）（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,AC ^ BD,垂足为
H ，PH 是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面PAC ^ 平面PBD；
（Ⅱ）若AB= 6 ,ÐAPB=ÐADB=60°,求四棱锥P-ABCD的体积。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则
按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（19）（本小题满分12分）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该
地区调查了500位老人，结果如下：
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别
有关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，
需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。
第4页 | 共6页（20）（本小题满分12分）
y2
设 F , F 分别是椭圆E：x2+ =1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过 F 的直线l
1 2 b2 1
与E相交于A、B两点，且 AF ， AB ， BF 成等差数列。
2 2
（Ⅰ）求 AB
（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值。
（21）本小题满分12分）
设函数 f = x ex -1 -ax2
x
1
（Ⅰ）若a= ，求 f 的单调区间；
2 x
（Ⅱ）若当x≥0时 f ≥0，求a的取值范围
x
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图：已知圆上的弧AC = BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于
E点，证明：
（Ⅰ）ÐACE=ÐBCD。
（Ⅱ）BC2=BE x CD。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
ìx =1+tcosa ìx =cosq
已知直线C：í （t为参数），C ：í （q为参数），
1 îy =tsina 2 îy =sinq
p
（Ⅰ）当a= 时，求C 与C 的交点坐标；
1 2
3
（Ⅱ）过坐标原点O做C的垂线，垂足为A，P为OA中点，当a变化时，求P点的轨迹的参数
1
方程，并指出它是什么曲线。
第5页 | 共6页（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数f(x)= 2x-4 + 1。
（Ⅰ）画出函数y= f(x)的图像：
（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求n的取值范围
第6页 | 共6页
