文档内容
2010年海南高考理科数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-
（24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答
题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上
的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号
，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效
。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题
号涂黑。
参考公式：
样本数据x ,x , x 的标准差 锥体体积公式
1 2 n
1 1
s = [(x -x)2 +(x -x)2 + +(x -x)2] V = Sh
n 1 2 n 3
其中x为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式
球的表面积，体积公式[来源:Z。xx。k.Com]
4
V =Sh S = 4pR2 V = pR3
3
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第1页 | 共22页第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
（1）已知集合A={|x|£2,xÎR}},B={x| x £4,xÎZ},则AÇB=
(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}
3+i
(2)已知复数z = ，z是z的共轭复数，则z·z=
(1- 3i)2
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
x
(3)曲线y = 在点（-1，-1）处的切线方程为
x+2
（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2
(4)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P （ 2 ，-
0
2 ），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为
（5）已知命题
p ：函数y =2x -2-x在R为增函数，
1
第2页 | 共22页p ：函数y =2x +2-x在R为减函数，
2
则在命题q ： p Ú p ，q ： p Ù p ，q ：-p Ú p 和q ： p Ù-p 中，真命
1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2
题是
（A）q ，q （B）q ，q （C）q ，q （D）q ，q
1 3 2 3 1 4 2 4
（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需
再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为
（A）100 （B）200 （C）300 （D）400
（7）如果执行右面的框图，输入N =5，则输出的数等于
5
（A）
4
4
（B）
5
6
（C）
5
5
（D）
6
（8）设偶函数 f(x)满足 f(x)= x3-8(x³0)，则{x| f(x-2)>0}=
(A) {x|x<-2或x>4} (B) {x|x<0或x>4}
第3页 | 共22页(C) {x|x<0或x>6} (D) {x|x<-2或x>2}
a
1+tan
4
2
（9）若cosa=- ，a是第三象限的角，则 =
5 a
1-tan
2
1 1
(A) - (B) (C) 2(D) -2
2 2
（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表
面积为
7 11
(A)
pa2
(B)
pa2
(C)
pa2
(D)
5pa2
3 3
ì|lgx|,0< x£10,
ï
（11）已知函数 f(x)=í 1 若a,b,c互不相等，且 f(a)= f(b)= f(c),则
- x+6,x>10.
ï
î 2
abc的取值范围是
(A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24)
（12）已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两
点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程式为
x2 y2 x2 y2
(A) - =1 (B) - =1
3 6 4 5
x2 y2 x2 y2
(C) - =1 (D) - =1
6 3 5 4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都
必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）设y = f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0£ f(x)£1，可以用随机模拟方法
1
近似计算积分ò f(x)dx，先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数x ,x ,… x
1 2 N
0
和y ,y ,… y ，由此得到N个点(x ,y )(i =1,2,… ,N)，再数出其中满足
1 2 N 1 1
第4页 | 共22页1
y £ f(x )(i =1,2,… ,N)的点数N ，那么由随机模拟方案可得积分ò f(x)dx的近似值为
1 1 1
0
。
（14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）
（15）过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为____
1
(16)在△ABC中，D为边BC上一点，BD= DC，ÐADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为
2
3- 3，则ÐBAC=_______
三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤
（17）（本小题满分12分）
设数列a 满足a =2,a -a =3 22n-1
n 1 n+1 n g
（1） 求数列a 的通项公式；
n
（2） 令b =na ，求数列的前n项和S
n n n
(18)（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-
ABCD的底面为等腰梯形，ABPCD,AC^BD，垂足为
H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点
（1） 证明：PE^BC
（2） 若ÐAPB=ÐADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值
(19)(本小题12分)
为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老
年人，结果如下：
是否需要志愿 性别 男 女
需要 40 30
不需要 160 270
（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助
的老年人的比例？说明理由
第5页 | 共22页附：
（20）（本小题满分12分）
x2 y2
设F,F 分别是椭圆E: + =1(a >b>0)的左、右焦点，过F 斜率为1的直线i
1 2 a2 b2 1
与E相交于A,B两点，且 AF , AB , BF 成等差数列。
2 2
（1）求E的离心率；
（2） 设点 p(0,-1)满足 PA = PB ，求E的方程
（21）（本小题满分12分）
设函数 f(x)=ex -1-x-ax2。
（1） 若a=0，求 f(x)的单调区间；
（2） 若当x³0时 f(x)³0，求a的取值范围
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已经圆上的弧 ，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；
（Ⅱ）BC2=BF×CD。
第6页 | 共22页（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
ìx =1+tcosa ìx =cosq
已知直线C í （t为参数），C í （q为参数），
1 îy =tsina 2 îy =sinq
p
（Ⅰ）当a= 时，求C 与C 的交点坐标；
1 2
3
（Ⅱ）过坐标原点O做C的垂线，垂足为 ，P为OA中点，当a变化时，求P点的轨迹的参数
1
方程，并指出它是什么曲线。
（24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选项
设函数 f(x)=2x-4l+1
（Ⅰ）画出函数y = f(x)的图像
（Ⅱ）若不等式 f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围。
第7页 | 共22页数学试题参考答案
一、选择题
（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）B
（7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B
二、填空题
N
（13） 1 （14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）
N
（15）(x-3)2 + y2 =2 （16）60°
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）由已知，当n≥1时，
a =[(a -a )+(a -a )+ +(a -a )]+a
n+1 n+1 n n n-1 2 1 1
=3(22n-1+22n-3+ +2)+2
=22(n+1)-1。
而 a =2,
1
所以数列{a }的通项公式为a =22n-1。
n n
（Ⅱ）由b =na =n×22n-1知
n n
S n =1×2+2×23+3×25 + +n×22n-1 ①
从而
22×S n =1×23+2×25 +3×27 + +n×22n+1 ②
①-②得
(1-22)×S =2+23 +25 + +22n-1-n×22n+1 。
n
1
即 S = [(3n-1)22n+1+2]
n 9
（18）解：
以H 为原点，HA,HB,HP 分别为x,y,z轴，线段HA的长为单位长，
建立空间直角坐标系如图， 则A(1,0,0),B(0,1,0)
第8页 | 共22页（Ⅰ）设 C(m,0,0),P(0,0,n)(m
p
0,n
f
0)
1 m
则 D(0,m,0),E( , ,0).
2 2
1 m
可得 PE =( , ,-n),BC =(m,-1,0).
2 2
m m
因为PE×BC = - +0=0
2 2
所以 PE ^ BC
3 3
（Ⅱ）由已知条件可得 m=- ,n=1,故 C( - ,0,0)
3 3
3 1 3
D(0,- ,0),E( ,- ,0),P(0,0,1)
3 2 6
设 n=(x,y,x)为平面PEH 的法向量
ì ïn×HE =o, ì ï 1 x- 3 y=0
2 6
则 í 即í
ïîn×HP=o, ï î z =0
因此可以取n=(1, 3,0)，
uuur
由PA=(1,0,-1)，
uuur 2
可得 cos PA,n =
4
2
所以直线PA与平面PEH 所成角的正弦值为
4
（19）解：
第9页 | 共22页（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要
70
帮助的老年人的比例的估算值为 =14%
500
500´(40´270-30´160)2
（2）K2 = =9.967。
200´300´70´430
由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。
(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区
男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老
年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽
样方法更好．
（20.）解：
（I）由椭圆定义知 AF + BF + AB =4a，又2 AB = AF + BF ，
2 2 2 2
4
得 AB = a
3
l的方程为y = x+c，其中c= a2 -b2 。
设Ax ,y ，Bx ,y ，则A、B两点坐标满足方程组
1 1 2 2
ìy = x+c
ï
íx2 y2
+ =1
ï
îa2 b2
化简的 a2 +b2 x2 +2a2cx+a2 c2 -b2 =0
-2a2c a2 c2 -b2
则x +x = ,x x =
1 2 a2 +b2 1 2 a2 +b2
因为直线AB斜率为1，所以 AB = 2 x -x = 2éx +x 2 -4x x ù
2 1 ë 1 2 1 2û
4 4ab2
得 a= ,故a2 =2b2
3 a2 +b2
c a2 -b2 2
所以E的离心率e= = =
a a 2
（II）设AB的中点为Nx ,y ，由（I）知
0 0
第10页 | 共22页x +x -a2c 2 c
x = 1 2 = =- c，y = x +c= 。
0 2 a2 +b2 3 0 0 3
由 PA = PB ，得k =-1，
PN
y +1
即 0 =-1
x
0
得c=3，从而a=3 2,b=3
x2 y2
故椭圆E的方程为 + =1。
18 9
（21）解：
（1）a=0时， f(x)=ex -1-x， f '(x)=ex -1.
当xÎ(-¥,0)时， f '(x)<0；当xÎ(0,+¥)时， f '(x)>0.故 f(x)在(-¥,0)单调
减少，在(0,+¥)单调增加
（II） f '(x)=ex -1-2ax
由（I）知ex ³1+x，当且仅当x=0时等号成立.故
f '(x)³ x-2ax=(1-2a)x，
1
从而当1-2a³0，即a£ 时， f '(x)³0 (x³0)，而 f(0)=0，
2
于是当x³0时， f(x)³0.
1
由ex >1+x(x¹0)可得e-x >1-x(x¹0).从而当a> 时，
2
f '(x)
