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2024-2025 学年第一学期高二开学摸底测试卷 数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求
的．
1．已知复数 （ 为虚数单位），则实数 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．如图,三棱柱 中,侧面 的面积是 ,点 到侧面 的距离是 ,则三棱柱 的体积
为( )
A． B． C． D．
3．已知向量 ，且 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．6
4． 是 所在平面上一点满足 的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5．如果满足 ， ， 的 有且只有一个，那么实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
学科网（北京）股份有限公司6．在平面直角坐标系 中， 、 ，若点 是线段 上的动点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
7．已知角 顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线 上，则 （ ）
A． B． C．2 D．
8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 ，且 ，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6
分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．复数 的虚部为 B． ，若 ，则 或
C．若 ，则 的最小值为1
D．若 是关于 的方程 的根，则
10．已知 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 的最小正周期是
C． 图象的一个对称中心是 D． 上 单调递增
11．如图，正方体 的棱长为1，P是线段 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
试卷第2页，共3页A．三棱锥 的体积为定值 B． 平面
C． 的最小值为
D．当 ，C， ，P四点共面时，四面体 的外接球的体积为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某几何体底面的直观图为如图矩形 ，其中 ， 该几何体底面的面积为 ．
13．已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 ， ，则 .
14．已知 在 上的投影向量为 ，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．正四棱台两底面边长分别为2和4．
(1)若侧棱长为 ，求棱台的表面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
试卷第3页，共3页
学科网（北京）股份有限公司16．如图，在 中，已知 ， ， ，N是 的中点， ，设 与 相交于点
P．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值．
17．在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，角 的平分线与AC交于点 ，且 ，求边 的值．
18．如图，在四棱锥 中， 底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且 ，四边形ABCD
为正方形， .
(1)证明： ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求二面角 的余弦值.
19．对于平面向量 ，记 ，若存在
试卷第4页，共3页，使得 ，则称 是 的“ 向量”．
(1)设 ，若 是 的“ 向量”，求实数 的取值范围；
(2)若 ，则 是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说
明理由；
(3)已知 均为 的“ 向量”，其中 ．设平面直角坐标系 中的点列
满足 （ 与原点 重合），且 与 关于点 对称， 与 关于点
对称．求 的取值范围．
试卷第5页，共3页
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