湖北省部分高中协作体2026届上学期一模联考
高三数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知a>b，且c>d，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A. ac>bd B. a+c>b+d C. ac<bd D. <
a b
【答案】B
【解析】对于A，C，取a=2，b=−2，c=1，d=−1，则ac=bd，A，C均错误；
对于B，由不等式的基本性质可得B正确；
1 1
对于D，取a=2，b=−2，则 > ，D错误.故选B.
a b
2.已知函数 的大致图象如图所示，则（ ）
f (x)=ax2+bx+c
A. b<a+c，c2<ab B. b<a+c，c2>ab
C. b>a+c，c2<ab D. b>a+c，c2>ab
【答案】D
【解析】由题图知，a>0，b>0，c<0，f (1)=a+b+c=0，f (−1)=a−b+c<0，所以
， ，所以 ，即 .故选 .
c=−(a+b) b>a+c c2−ab=[−(a+b)] 2−ab=a2+b2+ab>0 c2>ab D
π
3.已知f(x)=sin(2x+ )，则（ ）
6
A. f(2)<f(1)<f(0) B. f(2)<f(0)<f(1)
C. f(0)<f(2)<f(1) D. f(1)<f(2)<f(0)
【答案】B
π 2π π π π 2π
【解析】易知f(x)在( , )上单调递减，又f(0)=f( )，且 <1< <2< ，
6 3 3 6 3 3
π
所以f(1)>f( )=f(0)>f(2)，即f(2)<f(0)<f(1).
34.数列2，−5，9，−14，⋯ 的一个通项公式可以是（ ）
A. B.
a =(−1) n−1 (3n−1) a =(−1) n (3n−1)
n n
n(n+3) n(n+3)
C. a =(−1) n−1 D. a =(−1) n
n 2 n 2
【答案】C
【解析】显然B，D中的第一项均为负数，故排除B，D；A中，a =−5，a =8，故排除
2 3
A.故选C.
5.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则在如图所示的向量中，相
等向量有（ ）
A. 一组 B. 两组 C. 三组 D. 四组
【答案】A
【解析】由相等向量的定义可知，题图中只有一组向量相等，即⃗CE=⃗EA.
6.已知平面α 的一个法向量为m=(1,2,−2)，平面β 的一个法向量为n=(2,2,1)，
则平面α 与平面β 夹角的正切值为 （ ）
4 9 4√65 √65
A. B. C. D.
9 4 65 4
【答案】D
【解析】设平面 与平面 的夹角为 ( π)，
α β θ 0≤θ≤
2
|m⋅n| 4
则cosθ=|cos⟨m,n⟩|= = ，
|m|⋅|n| 9
则
sinθ=√1−cos2θ=
√
1−
(4) 2
=
√65，
9 9
√65
9 √65
所以tanθ= = .
4 4
9
7.为调查某校学生每天学习的时间，现采用按比例分配的分层随机抽样，抽取
高一学生400人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生
600人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生1 000人，其
每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差
为（ ）
A. 1.25 B. 1.35 C. 1.45 D. 1.55
【答案】C
【解析】由题意可得，抽取的总人数为400+600+1000=2000，
400 600 1000
则高一、高二、高三抽取的学生人数的频率分别为 =0.2, =0.3 =0.5，
2000 2000 2000所以该校学生每天学习时间的平均数x=0.2×8+0.3×9+0.5×10=9.3（小时），
方差 .故选
s2=0.2×[0.5+(8−9.3) 2 ]+0.3×[0.8+(9−9.3) 2 ]+0.5×[1+(10−9.3) 2 ]=1.45
C.
8.若
(1−2x) 2023=a +a x+a x2+⋯+a x2023
，则a
1+
a
2+⋯+
a
2023=
（ ）
0 1 2 2023 2 22 22023
1
A. −1 B. 0 C. D. 1
2
【答案】A
【解析】令 ，可得 ，令 1，可得 a a a 1 2023 ，
x=0 a =1 x= a + 1+ 2+⋯+ 2023=(1−2× ) =0
0 2 0 2 22 22023 2
故a 1+ a 2+⋯+ a 2023=0−a =−1 .故选 A .
2 22 22023 0
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多
项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.
(多选题)函数y=f (x)的导函数y=f ′(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是
（ ）
A. f (a)<f (b)<f (c) B. f (e)<f (d)<f (c)
C. 当x=c时，f (x)取得最大值 D. 当x=d时，f (x)取得最小值
【答案】AB
【解析】由题图可知，当x∈(−∞,c)∪(e,+∞)时，f ′(x)>0;当x∈(c,e)时，f ′(x)<0，
∴f (x)在(−∞,c),(e,+∞)上单调递增,在(c,e)上单调递减，
对于A,∵a<b<c,∴f (a)<f (b)<f (c),A正确;对于B,∵c<d<e,∴f (e)<f (d)<f (c),B正确;
对于 ,由单调性知 为极大值,当 时,可能存在 , 错误;
C f (c) x >e f (x )>f (c)C
0 0
对于D,由单调性知f (e)<f (d),D错误.
10.
(多选题)已知半径为R的球与圆台的上、下底面和侧面都相切.若圆台上、下
底面半径分别为r 和r ，母线长为l，球的表面积与体积分别为S 和V ，圆台的
1 2 1 1
表面积与体积分别为S 和V ，则下列说法正确的是（ ）
2 2
A. B.
l=r +r R=√r r
1 2 1 2C. S V D. S 的最大值为2
1= 1 1
S V S 3
2 2 2
【答案】ABC
【解析】由切线长定理易得l=r +r ，A正确；
1 2
由勾股定理知 (2R) 2=(r +r ) 2−(r −r ) 2=4r r ，解得 R=√r r ， B 正确；
1 2 1 2 1 2 1 2
S 4πR2 4πR2 2R2
因为 1= = = ，
S π[r2+r2+(r +r )l] 2π(r2+r2+r r ) r2+r2+r r
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4
πR3
V 3 2R2 S V
1= = ，所以 1= 1 ,C正确；
V 2 1 π(r2+r2+r r )×2R r 1 2+r 2 2+r 1 r 2 S 2 V 2
3 1 2 1 2
S 2r r 2 2
1= 1 2 = ≤
，当且仅当 时，等号成立，这与圆台的定义矛盾，
S r2+r2+r r r r 3 r =r
2 1 2 1 2 1+ 2+1 1 2
r r
2 1
故D错误.
11. (多选题)如图所示，下列四条直线l 1 ，l 2 ，l 3 ，l 4 斜率分别是k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，
倾斜角分别是α ，α ，α ，α ，则（ ）
1 2 3 4
A. k <k <k <k B. k <k <k <k
2 1 4 3 3 2 1 4
C. α <α <α <α D. α <α <α <α
2 1 4 3 3 2 1 4
【答案】BC
π π
【解析】由题图和倾斜角的定义知，0<α <α < ，α > ，α =0，∴α <α <α <α ，
1 4 2 3 2 2 2 1 4 3
故C正确；由题图知，k =0，k <0，0<k <k ，∴k <k <k <k ，故B正确.
2 3 1 4 3 2 1 4
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.探空气球是将探空仪器带到高空进行温度、大气压力、湿度、风速、风向等
气象要素测量的气球，利用探空仪将实时探测到的大气垂直方向上的气象数据
反馈给地面雷达，通过数据处理，成为全球预报员制作天气预报的重要依据.大
气压强对气球能到达的最大高度和停留时间有非常大的影响.已知大气压强随海
拔高度 单位： 的变化规律是 ，其中 是海平面大气
ℎ( m) p=p e−kℎ(k=0.000126) p
0 0
压强.若探空气球在A，B两处测得的大气压强分别为p ，p ，且p =4 p ，那么
1 2 1 2
A，B两处的海拔高度的差约为______m.(参考数据：ln2≈0.693)
【答案】11 000【解析】因为 ， ，且 ，所以 ，
p =p e−kℎ1 p =p e−kℎ2 p =4 p e−kℎ1=4e−kℎ2
1 0 2 0 1 2
即4=e−kℎ1 +kℎ2，
两边取自然对数得ln4=k(ℎ −ℎ )，
2 1
2ln2 2×0.693
所以ℎ −ℎ = ≈ =11000，
2 1 k 0.000126
所以A，B两处的海拔高度的差约为11000m.
nπ
13.设数列{a }的通项公式为a =(2n−1)⋅cos ，其前n项和为S ，则S =__.
n n 2 n 100
【答案】100
nπ
【解析】当n=4k−3或n=4k−1，k∈N∗时，cos =0，a =a =0；
2 4k−3 4k−1
nπ
当n=4k−2，k∈N∗时，cos =−1，a =[2×(4k−2)−1]×(−1)=−8k+5；
2 4k−2
nπ
当n=4k，k∈N∗时，cos =1,a =2×4k−1=8k−1，
2 4k
∴a +a +a +a =4，
4k−3 4k−2 4k−1 4k
∴S =25×4=100.
100
14.下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个
开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状
态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次例如：先按(1,1)，
再按 ，则 和 的最终状态都未发生改变的概率为________.
(4,4)) (2,3) (4,1)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
41
【答案】
120
【解析】要使得(2,3)的状态发生改变，则需要按(1,3)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,3)这五
个开关中的一个，要使得(4,1)的状态发生改变，则需要按(3,1)，(4,1)，(4,2)这三个开
关中的一个，所以要使得(2,3)和(4,1)的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中
的两个或(1,3)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,3)中的两个或(3,1)，(4,1)，(4,2)中的两个，
故所求概率为 A2 8 +A 5 2+A 3 2 = 41 .
A2 120
16
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知函数 有最小值 ，且 的解集为
f (x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R) −4 f (x)<0
{x|−1<x<3}.
（1） 求函数f (x)的解析式；（7分）（2） 若对任意的x∈(1,+∞)，不等式f (x)>mx−m−6恒成立，求实数m的取值
范围.（8分）
【解析】
（1） 由题意得，−1,3分别为方程ax2+bx+c=0的两根，且a≠0，
4ac−b2
{ =−4,
4a
{
a=1,
则 − b =2, 解得 b=−2,∴f (x)=x2−2x−3.
a
c=−3,
c
=−3,
a
（ 2 ） ∀x∈(1,+∞)， f (x)>mx−m−6, 即 x2−2x−3>mx−m−6， 即
，
x2−2x+3>m(x−1)
， ， (x−1) 2+2 2 ，
∵x>1 ∴x−1>0 ∴m< =x−1+
x−1 x−1
2 2 √ 2
令ℎ(x)=x−1+ ，x>1，则ℎ(x)=x−1+ ≥2 (x−1)⋅ =2√2，当且仅
x−1 x−1 x−1
2
当x−1= ，即x=√2+1时等号成立，
x−1
故 ，则 .
ℎ(x) =2√2 m<2√2
min
16.（本小题满分16分）
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的内心，记
， , 的面积分别为 ， ， ，且 ， .
△OBC △OAC△OAB S S S S2+S2−S S =S2 c=2
1 2 3 1 3 1 3 2
（1） 若△ABC为锐角三角形，求b的取值范围；（7分）
1−2cosA 1−2cosB
（2） 在①4sinBsinA+cos2A=1,② + =0,
sin A sinB
③acosC+ccosA=1中选一个作为条件，判断△ABC是否存在.若存在，求出
△ABC的面积；若不存在，请说明理由.（9分）
【解析】
（1） 设△ABC内切圆的半径为r，
因为 S2+S2−S S =S2 ，所以(1 ar ) 2 + (1 cr ) 2 − (1 ar ) ⋅ (1 cr ) = (1 br ) 2，
1 3 1 3 2 2 2 2 2 2
化简并整理得a2+c2−b2=ac，
a2+c2−b2 1
所以cosB= = ，
2ac 2
因为 ( π)，所以 π，所以 2π，
B∈ 0, B= A+C=
2 3 3b c c⋅sinB √3
因为 = ，所以b= = ，
sinB sinC sinC sinC
因为△ABC为锐角三角形，
π
{ 0<C< ,
所以 2 解得π π，
<C<
2π π 6 2
0< −C< ,
3 2
1
所以 <sinC<1，
2
所以 的取值范围为 .
b (√3,2√3)
（2） 选择①，因为4sinBsinA+cos2A=1，
所以4sinBsin A=1−cos2A=2sin2A，
因为sinA≠0，所以sinA=2sinB，
所以a=2b，
由（1）知a2+c2−b2=ac，所以4b2+4−b2=4b，整理得3b2−4b+4=0，此方程无实
数根，所以△ABC不存在.
1−2cosA 1−2cosB
选择②，由 + =0得，
sin A sinB
sin A+sinB−2(sin AcosB+cosAsinB)=0，
所以sin A+sinB=2sin(A+B)，
即sinA+sinB=2sinC，所以a+b=2c=4，
由（1）知a2+c2−b2=ac，所以a2+4−b2=2a，
所以 ，解得 ，
a2+4−(4−a) 2=2a a=b=2
1 1 √3
所以△ABC存在且唯一，则△ABC的面积S= acsinB= ×2×2× =√3.
2 2 2
a2+b2−c2 b2+c2−a2
选择③，因为acosC+ccosA=1，所以a⋅ +c⋅ =b=1，
2ab 2bc
由（1）知a2+c2−b2=ac，
所以a2+4−1=2a，整理得a2−2a+3=0，
此方程无实数根，所以△ABC不存在.
17.（本小题满分15分）
已知公比不为1的等比数列{a }满足a ＋a ＝5，且a ，a ，a 构成等差数列.
n 1 3 1 3 2
(1)求{a }的通项公式；（7分）
n
(2)记S 为{a }的前n项和，求使S ＞成立的最大正整数k的值.（8分）
n n k
【解析】
(1)设公比为q.由题意得a＋a＝2a，
1 2 3
∴a(1＋q－2q2)＝0，
1
又∵a≠0，∴q＝－或1(舍)，
1∵a＋a＝5，∴a(1＋q2)＝5，∴a＝4，
1 3 1 1
∴a＝4·.
n
(2)S＝＝.
n
∵S＞，∴＞，
k
∴＜－，
显然，k为奇数，即＞＞＝.
解得k≤3，所以满足条件的最大正整数k的值为3.
18.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方
形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；（7分）
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.（8分）
【解析】
(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
所以四棱锥O－ABCD的体积
V＝×4×2＝.
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M
为OA中点，
∴ME∥OC，
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可
得DE＝，EM＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，
即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝＝＝.
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.
19.（本小题满分16分）
如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F ，F 分别为椭圆的左、
1 2
右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF 交椭圆于另一点B.
2
(1)若∠F AB＝90°，求椭圆的离心率；（7分）
1
(2)若椭圆的焦距为 2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程.（9
分）【解析】
(1)∵|AF|＝|AF|＝a，
1 2
且∠FAF＝90°，|FF|＝2c，
1 2 1 2
∴2a2＝4c2，∴a＝c，∴e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F(1，0)，设B(x，y)，
2
由AF2＝2F2B，解得x＝，y＝－，
代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3，
∴b2＝a2－c2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
