2012年高考数学试卷（文）（福建）（解析卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2012·高考数学真题

本套试题主要特点是注重基础、贯穿所学的考点，有实际应用问题（数学思想和 方法解答实际问题，彰显了数学魅力），又由知识的综合与巧妙的结合（第17题 把数列与概率巧妙的结合在一起，在知识交汇处命题，体现了高考命题的原则） 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.复数（2+i）2等于 A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i 2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是 [来源:学,科,网] A.NÍM B.M∪N=M C.M∩N=N D.M∩N={2} 【解析】显然A，B,C错，D正确； 【答案】D 【考点定位】考查集合包含关系与运算.属基础题. [来源:学科网ZXXK] 3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是 1 A.x=- B.x-1 C.x=5 D.x=0 2 【解析】有向量垂直的充要条件得2（x-1)+2=0,所以x=0.D正确. 【答案】D 【考点定位】考查数量积的运算和性质，要明确性质. x2 y2 5 已知双曲线 - =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 a2 5 3 14 3 2 3 4 A B C D 14 4 2 3 3 【解析】  a2 532,a 2,e .C正确. 2 【答案】C 【考点定位】本题主要考察双曲线的标准方程、简单的几何性质，把握性质是关键. 第1页 | 共9页7.直线x+ 3y -2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于 A. 2 5 B 2 3. C. 3 D.1 -2 【解析】  圆心（0,0），半径r 2,弦长 AB =2 22 -( )2 2 3.B正确. 12 3 【答案】B 【考点定位】该题主要考查直线和圆的位置关系，考查计算求解能力. 1, x0  1 x为有理数 9.设 f(x)0 x0,g(x) ，,则f(g(π))的值为  0,x为为无理数 -1,x0  A 1 B 0 C -1 D π 【解析】 g()0, f(g()) f(0)0.B正确.  【答案】B 【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域和值域，考查求值计算能力. 第2页 | 共9页x y-30  10.若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件x-2y-30，则实数m的最大值为  xm  3 A.-1 B.1 C. D.2 2 【解析】 x y-30和y 2x交点为（1,2），只有m1才能符合条件.B正确.  【答案】B [来源:学科网ZXXK] 【考点定位】本题主要考察一元二次不等式表示平面区域，考查分析判断能力、逻辑推理 能力和求解能力. n 11.数列{a }的通项公式a ncos ,其前n项和为S ，则S 等于 n n 2 n 2012 A.1006 B.2012 C.503 D.0 12、已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论： ①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 第Ⅱ卷（非选择题共 90分） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分。把答案填在答题卡的相 应位置。 13.在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC= 3，则AC=_______ 第3页 | 共9页14.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层 抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员 人数是_______ 98-56 【解析】 28=12. 98 【答案】12 【考点定位】此题考查分层抽样的概念和具体做法，明确分层抽样的本质是关键. 15.已知关于x的不等式x2-ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_____ ____ 16.某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线 表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能 到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间 可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10. 现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________。 D 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分） 在等差数列{a }和等比数列{b }中，a =b =1，b =8，{a }的前10项和S =55. n n 1 1 4 n 10 （Ⅰ）求a 和b ； n n 第4页 | 共9页（Ⅱ）现分别从{a }和{b }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的 n n 值相等的概率 18.(本题满分12分) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到 如下数据： 单价x（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y（件） 90 84 83 80 75 68 （I）求回归直线方程y=bx+a，其中b=-20，a=y-bx； （II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/ 件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本） 【考点定位】本题主要考察回归分析，一元二次函数等基础知识，考查运算能力、应用意 第5页 | 共9页识、转化与化归思想、特殊与一般思想. 19.（本小题满分12分） 如图，在长方体ABCD-A B C D 中，AB=AD=1，AA =2，M为棱DD 上的一点。 1 1 1 1 1 1 Ⅰ求三棱锥A-MCC 的体积； 1 Ⅱ当A M+MC取得最小值时，求证：B M⊥平面MAC 1 1 20. （本小题满分13分） 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 （1）sin213°+cos217°-sin13°cos17° （2）sin215°+cos215°-sin15°cos15° （3）sin218°+cos212°-sin18°cos12° （4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48° （5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 第6页 | 共9页Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论 21.（本小题满分12分） 如图，等边三角形OAB的边长为8 3，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。 [来源:学。科。网Z。X。X。K] （1） 求抛物线E的方程； （2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q。证明以PQ为直径的圆 恒过y轴上某定点 【解析】 （1）依题意OB 8 3，BOY 30，设点B（x,y),则x8 3sin304 3. y 8 3cos3012,B(4 3,12)在抛物线上，(4 3）2=2p12,p 2, 抛物线E的方程为x2 4y. 1 1 （2）设点P（x ,y ),x 0, y  x2,y x, 0 0 0  4 2 1 1 1 切线方程：y-y  x (x-x ),即y  x x- x2 0 2 0 0 2 0 4 0  1 1  x2-4 y  x x- x2 x= 0 x2-4 由  2 0 4 0 得  2x ,Q( 0 ,-1). 0 2x  y -1   y -1 0 第7页 | 共9页  x2 -4   设M(0，y ),MP(x ,y - y ),MQ( 0 ,-1- y ), MPMQ0, 1 0 0 1 2x 1  0 x2 -4 1 0 - y - y y  y  y2 0,又y  x2(x 0),联立解得y =1. 2x 0 0 1 1 1 0 4 0 0 1 0 故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M（0,1）. 【答案】x2 4y 【考点定位】本题主要考察抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基 本知识，考查运用求解能力、推理论证能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般 思想. 22.（本小题满分14分） 3 é ù -3 已知函数 f(x)axsinx- (aR),且在, 0, 上的最大值为 ， ê ú 2 ë 2û 2 （1）求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明 【解析】  （1） f(x)a(sinxxcosx),x(0, ),sinxxcosx0,  2 3 当a0时，f(x)- 不合题意； 2 3 当a0时，f(x)0, f(x)单调递减，f(x)  f(0)- 不和题意； max 2   3 -3 当a0时，f(x)0, f(x)单调递增，f(x)  f( ) a-  . max 2 2 2 2 3 a1.综上f(x) xsinx- . 2 （2）f(x)在（0，）上有两个零点.证明如下： 第8页 | 共9页3 3  -3 由（1）知（f x) xsinx- ,（f 0)- 0,（f ) 0, 2 2 2 2 é ù é ù  f(x)在 0， 上至少有一个零点.又由（1）知（f x)在 0， 上单调递增， ê ú ê ú ë 2û ë 2û é ù é ù 故在 0， 上只有一个零点.当x , 时，令g(x) f(x)sinxxcosx, ê ú ê ú ë 2û ë2 û  é ù é ù g( )10,g()-0,g(x)在 , 上连续，m , ,g(m)0. ê ú ê ú 2 ë2 û ë2 û é ù é ù g(x)2cosx-xsinx0,g(x)在 , 上递减.当x ,m 时，g(x) g(m)0, ê ú ê ú ë2 û ë2 û   -3  f(x)0, f(x)递增，当m( ,m)时，f(x) f( ) 0, f(x)在( ,m)上无零点; 2 2 2 2 当x(m,)时，g(x) g(m)0, f(x)0, f(x)在(m,)上递减， f(m)0, f()0,   f(x)在(m,)上只有一个零点.综上f(x)在（0，）上有两个零点. 3 【答案】（1） f(x) xsinx- ;（2）2个零点. 2 [来源:学科网ZXXK] 【考点定位】本题主要考察函数的最值、零点、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运 算求解能力、考查函数与方程思想、、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想. 第9页 | 共9页