2012年高考数学试卷（理）（上海）（空白卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2012·高考数学真题

绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定 位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得 分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（56分）： 3i 1．计算：  （i为虚数单位）。 1i 2．若集合A{x|2x10}，B {x|| x1| 2}，则A  B  。 2 cosx 3．函数 f(x)  的值域是 。 sinx 1 4．若n (2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。 2 5．在(x )6的二项展开式中，常数项等于 。 x 1 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、 2 为公比的等比数列，体积分别记为V 1 ，V 2 ，  ，V n ，  ，则lim(V 1 V 2   V n )  。 [ n 7．已知函数 f(x) e|xa|（a为常数）。若 f(x)在区间[1,)上是增函数，则a的取值范围是 。 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为 。 9．已知y  f(x) x2是奇函数，且 f(1) 1，若g(x)  f(x)2，则g(1)  。  10．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角 ， 6 若将l的极坐标方程写成 f()的形式，则 f()  。 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选 择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。  12．在平行四边形ABCD中，A ，边AB、AD的长分别为2、1，若M 、N 分别是边 3 | BM | |CN | BC、CD上的点，且满足  ，则AM AN 的取值范围是 。 | BC | |CD| 1 13．已知函数y  f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B( ,5)、C(1,0)， 2 第1页 | 共4页函数y  xf(x)（0 x 1）的图象与x轴围成的图形的面积为 。 14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC  2，若AD  2c， 且ABBD  AC CD  2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最 大值是 。 [来 二、选择题（20分）： 15．若1 2i是关于x的实系数方程x2 bxc 0的一个复数根，则（ ） A．b  2,c 3 B．b  2,c 3 C．b  2,c  1 D．b  2,c  1 16．在ABC中，若sin2 Asin2 B sin2C，则ABC的形状是（ ） [来 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 17．设10 x  x  x  x 104，x 105，随机变量取值x、x 、x 、x 、x 的概率 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 x  x x  x x  x x  x x  x 均为0.2，随机变量 取值 1 2 、2 3、3 4 、4 5、5 1 的概率也均为0.2，若 2 2 2 2 2 2 记D、D 分别为、 的方差，则（ ） 1 2 1 2 A．D  D B．D  D 1 2 1 2 C．D  D D．D与D 的大小关系与x、x 、x 、x 的取值有关 1 2 1 2 1 2 3 4 1 n 18．设a n  n sin 25 ，S n  a 1 a 2   a n ，在S 1 ,S 2 ,  ,S 100 中，正数的个数是（ ） A．25 B．50 C．75 D．100 三、解答题（74分）： 19．（6+6=12分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD是矩形，PA [来 底面ABCD，E是PC的中点，已知AB  2，AD  2 2，PA 2，求： （1）三角形PCD的面积； （2）异面直线BC与AE所成的角的大小。 20．（6+8=14分）已知函数 f(x) lg(x1)． （1）若0 f(12x) f(x)1，求x的取值范围； （2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0 x 1时，有g(x)  f(x)，求函数y  g(x)（ x[1,2]）的反函数。 21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里 12 A处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y  x2；②定位后救援船即刻沿 49 直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t ． （1）当t 0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向； （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ 第2页 | 共4页22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C ：2x2  y2 1． 1 （1）过C 的左顶点引C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形 1 1 的面积； （2）设斜率为1的直线l交C 于P、Q两点，若l与圆x2  y2 1相切，求证：OP OQ； 1 （3）设椭圆C ：4x2  y2 1，若M 、N 分别是C 、C 上的动点，且OM ON ，求证： 2 1 2 O到直线MN的距离是定值。 23．（4+6+8=18分）对于数集X {1，x 1 ，x 2 ，  ，x n }，其中0 x 1  x 2    x n ，n 2 ，定义向量集Y {a|a (s,t),sX,tX}，若对任意a Y ，存在a Y ，使得 1 2 a a 0，则称X 具有性质P．例如{1,1,2}具有性质P． 1 2 （1）若x  2，且{1,1,2,x}具有性质P，求x的值； （2）若X 具有性质P，求证：1X ，且当x 1时，x 1； n 1 （3）若X 具有性质P，且x 1 1、x 2  q（q为常数），求有穷数列x 1 ，x 2 ，  ，x n 的通项公 式。 第3页 | 共4页第4页 | 共4页