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2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则 A=（ ）
U
A．{1，2} B．{3，4，5} C．{1，2，3，4，5} D．
∁
2．（5分）若α为第二象限角，sinα= ，则cosα=（ ） ∅
A． B． C． D．
3．（5分）已知向量 =（λ+1，1）， =（λ+2，2），若（ + ）⊥（ ﹣ ），
则λ=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．（5分）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．
（﹣2，0）∪（0，2）
5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（ ）
A．28 B．56 C．112 D．224
6．（5分）函数f（x）=log （1+ ）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）
2
A． B． C．2x﹣1（x R） D．2x﹣1（x＞0）
∈
7．（5分）已知数列{a }满足3a +a =0，a =﹣ ，则{a }的前10项和等于（
n n+1 n 2 n
）
A．﹣6（1﹣3﹣10）B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
8．（5分）已知F （﹣1，0），F （1，0）是椭圆C的两个焦点，过F 且垂直
1 2 2
于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
第1页 | 共5页9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（5分）已知曲线 y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为 8，a=（
）
A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6
11．（5分）已知正四棱柱 ABCD﹣A B C D 中，AA =2AB，则CD与平面BDC 所
1 1 1 1 1 1
成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率
为k的直线与C交于A，B两点，若 ，则k=（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x [1，3）时，f（x）=x﹣2，
则f（﹣1）= ．
∈
14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等
奖，则可能的决赛结果共有 种．（用数字作答）
15．（5分）若x、y满足约束条件 ，则z=﹣x+y的最小值为 ．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O的半
径， ，则球 O 的表面积等于
．
第2页 | 共5页三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列{a }中，a =4，a =2a ，
n 7 19 9
（Ⅰ）求{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设b = ，求数列{b }的前n项和S ．
n n n
18．（12 分）设△ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为 a，b，c，满足
（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC= ，求C．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与
△PAD都是边长为2的等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．
第3页 | 共5页20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁
判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率
均为 ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．
21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．
（Ⅰ）求a= 时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x [2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．
∈
22．（12分）已知双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为
F ，F ，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为 ．
1 2
（I）求a，b；
第4页 | 共5页（II）设过 F 的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A、B 两点，且|AF |=|
2 1
BF |，证明：|AF |、|AB|、|BF |成等比数列．
1 2 2
第5页 | 共5页
