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2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 I 卷）
数学
本试卷共10页，19小题，满分150分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
.
2 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 当 时，曲线 与 的交点个数为（ ）
.
A 3 B. 4 C. 6 D. 8
8. 已知函数 的定义域为R， ，且当 时 ，则下列结论中一定
正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0
分.
9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入
（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 ，样本方差
，已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布 ，假设推动出口后的亩收入 服从
正态分布 ，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布 ， ）
A. B.
C. D.
10. 设函数 ，则（ ）A. 是 的极小值点 B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
11. 设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点
满足:横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积为4，则（ ）
A. B. 点 在C上
C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点 在C上时，
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作平行于 轴的直线交C于A，B
两点，若 ，则C的离心率为___________．
13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 __________.
14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡
片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选
一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的
卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 ，
（1）求B；（2）若 的面积为 ，求c．
16. 已知 和 为椭圆 上两点.
（1）求C的离心率;
（2）若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程．
17. 如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ， ．
（1）若 ，证明： 平面 ；
（2）若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 ．
18. 已知函数
（1）若 ，且 ，求 的最小值；
是
（2）证明：曲线 中心对称图形；
（3）若 当且仅当 ，求 的取值范围．
19. 设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项 和 后剩余
的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列 是 可分
数列．（1）写出所有 的， ，使数列 是 可分数列；
（2）当 时，证明：数列 是 可分数列；
（3）从 中一次任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率
为 ，证明： ．
