文档内容
2023 届高三年级西部联考卷
理科数学
注意事项:
1.本试卷满分150分,考试时间120分钟。
2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再
选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.回答选考题时,考生须按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 , 则
A. B.
C. D.
2. 已知复数 满足 , 则复数 的虚部是
A. B. C. I D. 1
3. 4个人排成一排, 则甲不站两边的概率为
A. B. C. D.
4. 在前 项和为 的等差数列 中, 若 , 则
A. 39 B. 40 C. 41 D. 42
5. 已知某种食品保鲜时间与储存温度有关, 满足函数关系 （ 为保鲜时间, 为储存温度),
若该食品在冰箱中 的保鲜时间是144 小时,在常温 的保鲜时间是48 小时, 则该食品在高温
的保鲜时间是
A. 16 小时 B. 18 小时 C. 20 小时 D. 24 小时
6. 右图是战国时期的一个铜镞,其由两部分组成,前段是高为 、底面边长 为
1cm的正三棱锥, 后段是高为0.6cm的圆柱, 圆柱底面圆周与正三棱锥底面的 正
三角形内切, 则此铜镞的体积约为
A. B. C. D.
7. 已知圆 经过点 , 半径为 2 , 若圆 上存在两点关于直线 对称, 则 的最大
值为
学科网（北京）股份有限公司A. 1 B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司8. 执行如图所示的程序框图, 则输出 的值为
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
9. 如图, 在平面四边形 中, ,
现将 沿 折起, 并连接 , 使得平面 平面 , 若所得三棱
锥 的外接球的表面积为 , 则三棱锥 的体积为
A. B. C. D.
10. 已知当 时, 函数 的图象与函数 的图象有且只有两个交点, 则
实数 的取值范围是
A. B. C. D.
11. 如图 1 所示, 双曲线具有光学性质: 从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射, 其反
射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点. 若双曲线 的左、右焦点分别为
, 从 发出的光线经过图 2 中的 两点反射后, 分别经过点 和 , 且
, 则双曲线 的离心率为
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
12. 已知函数 , 则下列结论正确的是
学科网（北京）股份有限公司A. 是奇函数 B. 的最大值为 2
C. D.
二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 已知非零向量 满足 ,且 ,则 与 的夹角为_____.
14. 在等比数列 中, 若 , 则 _____.
15. 已知 , 则 _____.
16. 椭圆 的左、右焦点分别为 , 离心率为 为椭圆 的左顶点, 且
, 过原点的直线交椭圆 于 两点, 则 的取值范围为_____.
三、解答题: 共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 题为必考题, 每个
试题考生都必须作答. 第 22、23题为选考题, 考生根据要求作答.
(一) 必考题:共 60 分.
17. (本小题满分 12 分)
在 中, 内角 所对的边分别为 , 且 .
(1) 若 , 求 ;
(2) 若 为 边上一点, 且 , 求 的面积.
18. (本小题满分 12 分)
如图, 在三棱柱 中, 平面 平面
, 四边形 是菱形,
是 的中点.
(1) 证明: 平面 ;
(2) 求二面角 的正弦值.
19. (本小题满分 12 分)
学科网（北京）股份有限公司我国出现了新冠疫情后, 医护人员一直在探索治疗新冠的有效药, 并对确诊患者进行积极救治. 现
有6位症状相同的确诊患者,分成 两组, 组3人, 服用甲种中药, 组3人, 服用乙种中药. 服
药一个疗程后, 组中每人康复的概率都为 , 组3人康复的概率分别为 .
(1) 设事件 表示 组中恰好有 1 人康复,事件 表示 组中恰好有 1 人康复, 求 ;
(2) 求 组康复人数比 组康复人数多的概率.
20. (本小题满分 12 分)
已知函数 , 其中 为非零实数.
(1)讨论 的单调性;
(2)若 有两个极值点 , 且 , 证明: .
21. (本小题满分 12 分)
已知抛物线 ( 为正常数) 的焦点为 是抛物线 上任意一点, 圆 的方程为
的最小值为 4 .
(1) 求 的值;
(2) 过点 作圆 的两条切线分别与抛物线 相交于点 (异于点 ), 证明: 直线 也始终与
圆 相切.
(二)选考题: 共10分.请考生在第 22 、23题中任选一题作答. 如果多做,则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中, 曲线 的参数方程为 ( 为参数). 以坐标原 为极
点, 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 则曲线 的极坐标方程为 .
(1) 分别求曲线 和曲线 在平面直角坐标系中的标准方程;
(2) 若曲线 和曲线 相交于 两点, 求 .
23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲
已知 均为正数, 且满足 . 证明:
(1) ;
学科网（北京）股份有限公司(2) .
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