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数学参考答案
一、单选题
1.D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B 8.D
二、多选题
9.BC 10.ABC 11.BCD 12.ACD
三、填空题
2+ 6
13.4 14.10 15. 16.
7
4
17解：(1)因为a =2s + 2.，所以n ≥ 2 时，a = 2s + 2，
n+1 n n n-1
所以a -a = 2(s -s ) = 2a ，所以a = 3a (n ≥ 2)， …………2分
n+1 n n n-1 n n+1 n
因为a = 2s + 2 = 2a + 2， …………3分
2 1 1
又因为a 为等比数列，所以a = 3a ,所以a = 2， …………4分
n 2 1 1
所以a = 2∙3n-1， …………5分
n
(2)要证n > 2 时，a -b > 0，即证n > 2 时，2∙3n-1 > 2n+1，
n n
3 n-1
需证n > 2 时，（ ） > 2， …………8分
2
3 n-1 9
因为n > 2，所以( ） > > 2，所以原不等式成立. …………10分
2 4
18.解：（1）由正弦定理得sinAcosC + 3sinAsinC-sinB-2sinC = 0，…………1分
因为B = π-A-C，所以sinAcosC + 3sinAsinC-sin（A+C）-2sinC = 0，…2分
所以sinAcosC + 3sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC-2sinC = 0，
即 3sinAsinC-cosAsinC-2sinC = 0， …………3分
又sinC≠0，所以 3sinA-cosA = 2， …………4分
π
即2sin（A- ） = 2，又A ∈ （0，π）， …………5分
6
π π 2π
所以A- = ，所以A = . …………6分
6 2 3
sinB 2 b sinB 2
（2）因为 = ，所以由正弦定理得 = = ， …………7分
sinC 3 c sinC 3
设∠BAD= θ，则∠CAD= 120°-θ， …………8分
因为AD为BC边上的中线，所以S = S ，
∆ABD ∆ACD
{#{QQABLYAUggCoABJAABhCQQVSCAMQkBEACAgGhEAIsAAASBNABAA=}#}1 1
c∙AD∙sinθ = b∙AD∙sin (120°-θ)， …………10分
2 2
3sinθ = 2sin (120°-θ)，3sinθ = 2（ 3 cosθ + 1 sinθ），
2 2
所以tanθ = 3，即tan∠BAD = 3. …………12分
2 2
19.
(1)证明：过点D作DF⊥AP,垂足为点F, …………1分
因为平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB= AP,所以DF⊥平面PAB，…………3分
所以DF⊥AB,因为AD⊥AB，又AD ∩ DF = D,所以AB⊥平面PAD, …………4分
因为AB ⊂ 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. …………5分
(2)如图，以点D为原点，DA为X轴，DC为Y轴建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)、A（2,0,0）、B（2,2,0）、C（0,2,0）， …………6分
设P（a，0，c）（c > 0）， …………7分
a c π
则E（ ，1，, ）,因为∠PAD= ，所以a + c = 2, …………8分
2 2 4
（ ） （ ）
⃗ ⃗ a c c c
所以AP = （a-2，0，c） = (-c，0，c)，BE = -2，-1， = - -1，-1， ，
2 2 2 2
c2 c2
+c+
因为异面直线BE与PA所成角为 π ，所以cos= 2 2 = 3，
6 c 2 c2 2
2c∙ （ +1） +1+
2 4
化简得c2 + 2c-8 = 0，解得c=2（c=-4舍），所以a= 0； …………10分
8
所以P(0,0,2),PA ⊥ 平面ABCD，所以四棱锥P-ABCD的体积为 . …………12分
3
1 2
20.解：顺时针移动到下一个顶点的概率为 ，逆时针移动到下一个顶点的概率为
3 3
{#{QQABLYAUggCoABJAABhCQQVSCAMQkBEACAgGhEAIsAAASBNABAA=}#}2 1 1 2 4
(1) 投掷2次骰子后，该点恰好回到A点的概率为： ∙ + ∙ = ； …………4分
3 3 3 3 9
(2) X = 0、1、2； …………5分
(
2
)2 (
1
)2
4
P（X=0） = ∙ = ； …………6分
3 3 81
(
2
)3
1
(
2
)2 (
1
)2
2
(
1
)3 (
1
)4
31
P（X=1） = ∙ ×2 + ∙ ×3 + ∙ + = ; …………8分
3 3 3 3 3 3 3 81
(
2
)4 (
2
)3
1
(
2
)2 (
1
)2
2
(
1
)3
46
P（X=2） = + ∙ ×2 + ∙ ×2 + ∙ ×3 = ;…………10分
3 3 3 3 3 3 3 81
所有X得分布列为：
X 0 1 2
4 31 46
P
81 81 81
…………11分
4 31 46 41
所以EX = ×0 + ×1 + ×2 = . …………12分
81 81 81 27
21.(1)证明：f(x)定义域为（0，+∞）， …………1分
x-4 4
因为f'(x) = lnx + + 2x + a = lnx- + 2x + a + 1，
x x
所以f'(x)在定义域内单调递增，且值域为R，
所以f'(x)有唯一的零点x ∈ (0, + ∞)，使得f'( x ) = 0， …………3分
0 0
当x∈ （0，x ）时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；当x∈ （x ， + ∞）时，f'(x) > 0，
0 0
f(x)单调递增，所以f(x)有唯一的极值点. …………5分
（2）由（1）知，f(x)在x = x 取得极小值点，也是最小值点， …………6分
0
4
由f'( x ) = 0 得a =-lnx -2x + -1， …………7分
0 0 0 x
0
所以f( x ) = ( x -4)lnx + x 2 + ax -2
0 0 0 0 0
（ ）
4
= ( x -4)lnx + x 2 + -lnx -2x + -1 x -2
0 0 0 0 0 x 0
0
=-4lnx -x 2-x + 2 =-4lnx - ( x +2 ) (x -1)， …………8分
0 0 0 0 0 0
当0< x ≤ 1 时，-4lnx ≥ 0，- ( x +2 )( x -1 ) ≥ 0，所以f( x ) ≥ 0；
0 0 0 0 0
当x > 1 时，-4lnx < 0，- ( x +2 )( x -1 ) < 0，所以f( x ) < 0，
0 0 0 0 0
{#{QQABLYAUggCoABJAABhCQQVSCAMQkBEACAgGhEAIsAAASBNABAA=}#}因为f( x ) ≥ 0，所以0< x ≤ 1. …………10分
0 0
4
设h（x） =-lnx-2x + -1(0 < x ≤ 1)，因为h（x）单调递减， …………11分
x
所以a = h （ x ） ≥ h（1） = 1，即a ≥ 1. …………12分
0
y 2 y 2
22.解：（1）设直线AB方程为x = my + 3，A( 1 ,y )，B( 2 ,y )，
2p 1 2p 2
{ y2=2px
联立得 ，消x得y2-2pmy-6p = 0，
x=my+3
得y + y = 2pm，y y =-6p， …………2分
1 2 1 2
⃗ ⃗ y 2 y 2
因为AO⊥BO，所以OA∙OB = 1 ∙ 2 + y y = 0，
2p 2p 1 2
（-6p）2 3
即 -6p = 0，p = ， …………4分
4p2 2
所以抛物线的解析式为：y2 = 3x. …………5分
y 2 y 2 y 2
（2））设M( 3 ,y )，N( 4 ,y )，P( 0 ,y )(y 2 ≠ y 2 ≠ y 2), …………6分
3 3 3 4 3 0 0 3 4
y -0 y -y
因为M、P、C三点共线，所以 0 = 0 3 ，即y y = 6， ①…………7分
y 2 y 2 y 2 0 3
0 -（-2） 0 - 3
3 3 3
因为N、P、D三点共线，所以 y 0 -2 = y 0 -y 4 ，即y y -2 （ y +y ） =-6，②…………8
y 2 y 2 y 2 0 4 0 4
0 -2 0 - 4
3 3 3
分
直线MN方程为： y-y 3 = y 4 -y 3 ，即3x- （ y +y ） y+y y = 0 ③…………9分
y 2 y 2 y 2 3 4 3 4
x- 3 4 - 3
3 3 3
（ ）
由①②得 6 ∙y -2 6 +y =-6,即y y = 3 （ y +y ） -6, …………10分
y 4 y 4 3 4 3 4
3 3
代入③得3x- （ y +y ） y + 3 （ y +y ） -6 = 0，所以直线MN过定点R（2，3）.……12
3 4 3 4
分
{#{QQABLYAUggCoABJAABhCQQVSCAMQkBEACAgGhEAIsAAASBNABAA=}#}
