文档内容
腾·云联盟 2023—2024 学年度上学期高三年级八月联考
数学试卷
命题学校：洪山高中 命题教师：付勇 审题教师：戴露
考试时间：2023年8月16日 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，若 ，则实数a的所有可能取值构成的集合
为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则z的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知向量 ， 满足 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知圆台上下底面半径之比为 ，母线与底面所成的角的正弦值为 ，圆台体积为 ，则该圆台的侧
面面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知椭圆C： 的左右焦点分别为 ， ，则在椭圆C上存在点P使得成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知过点P与圆 相切的两条直线的夹角为 ，设过点P与圆 相切的
两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 心理学家有时使用函数 来测定在时间t分钟内能够记忆的量 ，其中A表示需要记忆
的量，k表示记忆率.假设一个学生有100个单词需要记忆，心理学家测定出在5分钟内该学生记忆25个单词，
则该学生记忆率k所在区间为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 ， ，且 ，则下列结论一定不正确的是（
）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某医院护士对甲、乙两名住院病人一周内的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（
）
A. 病人甲体温的极差为
B. 病人乙的体温比病人甲的体温稳定
C. 病人乙体温的众数、中位数与平均数都为D. 病人甲体温的上四分位数为
10. 已知点P为正方体 底面ABCD的中心，用与直线 垂直的平面 截此正方体，所得
截面可能是（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
11. 已知数列 的通项为 ， ，则（ ）
A. 数列 的最小项为 B. 数列 的最大项为
C. 数列 的最小值为－0.8 D. 数列 的最大值为2.4
12. 已知函数 的定义域为 ，满足 ，且 ，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知 且 ，若函数 为奇函数，则 ______.
14. 有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐租了两
辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一个该夫妻
自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为______.
15. 已知函数 的图象关于点 中心对称，关于直线 轴对称，
且函数 在 上单调递减，则 ______.
16. 已知双曲线C： 的左右焦点分别为 ， ，点A为双曲线C右支上一点，直线 交双曲
线的左支于点B，若 ，且原点O到直线 的距离为1，则C的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知等比数列 的前n项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，证明： 时， .
18.（12分）
在 中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c， .
（1）求角A；
（2）若 ，AD为BC边上的中线，求 .
19.（12分）
在四棱锥 中，底面ABCD为正方形，平面 平面PAB， ， .
（1）证明：平面 平面ABCD；
（2）若E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角为 ，求四棱锥 的体积.
20.（12分）
如图， 是正三角形，一点从A出发，每次投掷一枚骰子，若向上点数大于或等于5，则沿 的
边顺时针移动到下一个顶点；若向上的点数小于或等于4，则沿 的边逆时针移动到下一个顶点.
（1）求投掷2次骰子后，该点恰好回到A点的概率；
（2）若投掷4次骰子，记经过B点的次数为X，求EX.
21.（12分）
已知函数 .（1）证明： 有唯一的极值点；
（2）若 恒成立，求实数a的取值范围.
22.（12分）
已知过点 的直线交抛物线 于A，B两点，且 （点O为坐标原点），M，
N，P是抛物线上横坐标不同的三点，直线MP过定点 ，直线NP过定点 .
（1）求该抛物线的标准方程；
（2）证明：直线MN过定点.
数学参考答案
一、单选题
1. D 2. A 3. B 4. C 5. A 6. C 7. B 8. D
二、多选题
9. BC 10. ABC 11. BCD 12. ACD
三、填空题
13. 4 14. 10 15. 16.
17. 解：（1）因为 ，所以 时， ，
所以 ，所以 ，……2分
因为 ，……3分
又因为 为等比数列，所以 ，所以 ，……4分
所以 .……5分
（2）要证 时， ，即证 时， ，
需证 时， ，……8分
因为 ，所以 ，所以原不等式成立.……10分18. 解：（1）由正弦定理得 ，……1分
因为 ，所以 ，……2分
所以 ，
即 ，……3分
又 ，所以 ，……4分
即 ，又 ，……5分
所以 ，所以 .……6分
（2）因为 ，所以由正弦定理得 ，……7分
设 ，则 ，……8分
因为AD为BC边上的中线，所以 ，
，……10分
， ，
所以 ，即 .……12分
19.（1）证明：过点D作 ，垂足为点F，……1分
因为平面 平面PAB，平面 平面 ，所以 平面PAB，……3分
所以 ，因为 ，又 ，所以 平面PAD，……4分
因为 平面PAB，所以平面 平面PAD.……5分
（2）如图，以点D为原点，DA为X轴，DC为Y轴建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，……6分设 ，……7分
则 ，因为 ，所以 ，……8分
所以 ， ，
因为异面直线BE与PA所成角为 ，所以 ，
化简得 ，解得 （ 舍），所以 ；……10分
所以 ， 平面ABCD，所以四棱锥 的体积为 .……12分
20. 解：顺时针移动到下一个顶点的概率为 ，逆时针移动到下一个顶点的概率为 ，
（1）投掷2次骰子后，该点恰好回到A点的概率为： ；……4分
（2） 、1、2；……5分
；……6分
；……8分
；……10分所有X得分布列为：
X 0 1 2
P
……11分
所以 .……12分
21.（1）证明： 定义域为 ，……1分
因为 ，
所以 在定义域内单调递增，且值域为 ，
所以 有唯一的零点 ，使得 ，……3分
当 时， ， 单调递减；当 时， ，
单调递增，所以 有唯一的极值点.……5分
（2）由（1）知， 在 取得极小值点，也是最小值点，……6分
由 得 ，……7分
所以
，……8分
当 时， ， ，所以 ；
当 时， ， ，所以 ，
因为 ，所以 .……10分
设 ，因为 单调递减，……11分所以 ，即 .……12分
22. 解：（1）设直线AB方程为 ， ， ，
联立得 ，消x得 ，
得 ， ，……2分
因为 ，所以 ，
即 ， ，……4分
所以抛物线的解析式为： .……5分
（2）设 ， ， ，……6分
因为M、P、C三点共线，所以 ，即 ，①……7分
因为N、P、D三点共线，所以 ，即 ，②……8分
直线MN方程为： ，即 ③……9分
由①②得 ，即 ，……10分
