文档内容
2023 年高考考前押题密卷（全国甲卷）
数学（文科） 参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B D C D A D B B B D D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】 (答案不唯一) 16．【答
案】
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个
试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分．
17．【详解】（1）∵ ，
则 ， （3分）
∴ . （4分）
（2）由（1）可得 ，由正弦定理可得 ， （5分）
若选条件①：由余弦定理 ，即 ， （7分）
注意到 ，解得 ，则 ，由三角形的性质可知此时 存在且唯一确定， （9分）
∵ ，则 ，可得 ， （11分）
∴ 的面积 . （12分）
若选条件②：∵ ，可得 ，则有：
若 为锐角，则 ，由余弦定理 ，即 ，
整理得： ，且 ，解得 ，则 ；（7分）
1
学科网（北京）股份有限公司若 为钝角，则 ，由余弦定理 ，即 ，
整理得： ，且 ，解得 ，则 ；（10分）
综上所述：此时 存在但不唯一确定，不合题意.（12分）
若条件③：由题意可得： ，即 ，解得 ，则 ，（6分）
由三角形的性质可知此时 存在且唯一确定，（7分）
由余弦定理可得 ，（9分）
则 ，可得 ，（11分）
∴ 的面积 .（12分）
18．【详解】（1）解：令 ，则 关于 的线性回归方程为 ， （1分）
由题意可得 ， ， （3分）
则 ，所以， 关于 的回归方程为 . （5分）
（2）解：由 可得 ， （7分）
年利润 ， （9分）
当 时，年利润 取得最大值，此时 ， （11分）
所以，当年技术创新投入为 千万元时，年利润的预报值取最大值. （12分）
19．【详解】（1）证明：如图，作 中点 ，连接 ，
2
学科网（北京）股份有限公司因为 是平行四边形，所以 ， （2分）
在 中， 为中位线，故 ，所以 ，故 四点共面． （5分）
（2）设 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ， （7分）
在 中， ．故 的面积 ． （9分）
同理 ，由三棱锥 的体积 ， （10分）
所以 ，得 ．故 到平面 的距离为 ． （12分）
20．【详解】（1）由已知得： ， ， ，
设 ，因为M在椭圆上，所以 ①（2分）
因为 ，
将①式代入，得 ，得 ，（4分）
所以椭圆 ．（5分）
3
学科网（北京）股份有限公司（2）①证明：设 ，则 ， ，同理可得 ， ，
（6分）
联立方程 ，得 ， ，则 ． （7分）
同理联立方程 ，可得 ， ，则 . （8分）
又椭圆的右焦点为 ，所以 ， ，（9分）
因为 ，说明C，D， 三点共线， 即直线CD恒过 点．（10
分）
②周长为定值．因为直线CD恒过 点，根据椭圆的定义，所以 的周长为 ．（12分）
21．【详解】（1）∵ ，
∴ ， ，记 ，（1分）
①当 ，即 时， 恒成立，
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增.（2分）
4
学科网（北京）股份有限公司②当 ，即 时，
方程有两个不等实根，且 ， ，
∴ ， ， ， 单调递增，
， ， ， 单调递减，
， ， ， 单调递增，（4分）
综上所述：①当 时， 在 上单调递增，②当 时， 在 和
上单调递增，在 上单调递减.（5分）
（2）∵ ，∴ ，（6分）
由（1）可知 时， 在 上单调递增，故不妨设 ，
要证： ，即证： ，（7分）
又∵当 时， 在 上单调递增，∴只需证 ，
又∵ ，∴只需证： ，（8分）
即证： ，（ ），记 ， ，
，
∴当 时， 恒成立， 单调递增，（11分）
∴ ，∴原命题得证.即 .（12分）
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计
分．
[选修4-4：坐标系与参数方程] 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
5
学科网（北京）股份有限公司22．【详解】（1）设A、B两点的极坐标分别为 、 ，（2分）
则 ，
，因此， ；（5分）
（2）根据对称性，不妨设 、 ，
．（8分）
∵ ，则 ，
所以当 时，即 ， 时， ．（10分）
[选修4-5：不等式选讲]
23．【详解】（1）当 时， ，
解 ，即 ，解得 ；
当 时， ，
解 ，即 ，解得 ，无解；
当 时， ，
解 ，即 ，解得 .（4分）
综上所述，不等式 的解集为 . （5分）
6
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可知， .
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，（7分）
所以函数 的最小值为2，所以 ，所以 .（8分）
由柯西不等式可得， ，（9分）
当且仅当 时，等号成立.所以 ，所以 。（10分）
7
学科网（北京）股份有限公司8
学科网（北京）股份有限公司
